专题08 三角函数常考大题归纳（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第三册

专题08 三角函数常考大题归纳 目录 典例详解 类型一、三角函数的化简与求值 类型二、求值域或最值 类型三、根据最值或者值域求参 类型四、根据单调性求参 类型五、零点个数问题 类型六、恒成立问题 类型七、存在性问题 类型八、根据根（零点）个数求参 类型九、求多个根（零点）的和与差 类型十、解不等式 类型十一、三角函数的应用 压轴专练 类型一、三角函数的化简与求值 角度处理：统一角度单位（弧度/角度）；利用诱导公式化简角度；优先化为锐角或内 函数统一：切化弦（）；弦化切（必要时）；统一为正弦、余弦函数 公式应用顺序：先诱导公式，再和差/倍角公式；降幂公式处理高次项；和差化积/积化和差处理乘积项 例1．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角和的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边分别与单位圆交于两点．已知点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由三角函数定义可得，由同角三角函数关系，诱导公式和齐次化可得, （2）先得到，再求出，结合角的范围得到答案. 【详解】（1）点的纵坐标为，故， 又为锐角，故，， 故, （2）点的横坐标为，故， 又为锐角，故， ， 又，故， 故. 变式1-1．（25-26高一上·江西南昌·期末）如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）设圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）设，根据题意得到，最后应用诱导公式计算求解即可. 【详解】（1）设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S．因为， 圆O的半径为，所以，所以，. ， 所以图中阴影部分的面积为． （2）设，则有，，所以，即， ，，，， 所以. 变式1-2．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的正切公式求得，所以，代入，即可求值； （2）由，利用同角三角函数关系式可得，由，利用同角三角函数关系式，可得，根据两角和的余弦公式可得. 【详解】（1），所以，即. 所以. （2）由，得. 因为，所以. 由，得，所以. 所以. 变式1-3．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知，且． (1)求的值； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数平方关系，和诱导公式即可求解； （2）由同角三角函数平方关系，结合即可求解. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以 ； （2）因为，，所以， 又，所以， 所以， 由（1）知，， 所以 类型二、求值域或最值 三角函数求值域的方法： 1、 利用诱导公式、三角恒等变换化简三角函数，若化简后是单一的三角函数，可以根据给定的定义域来求最值，注意最大值跟最小值是否在给定的区间内。 2、 若化简后的式子是关于三角函数的复合形式，则考虑需不需要换元来求最值，换元后要注意新的定义域。 3、 遇到与的时候，可以利用的关系进化互化，然后通过换元求最值 遇到齐次式的分式可以化成正切求最值 例2．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，求在上的值域． 【答案】(1)的单调递增区间为 (2) 【分析】（1）先由两角和的正弦和二倍角的正弦公式及辅助角公式化简，从而得到的解析式，结合原正弦函数的单调性即可求出单调递增区间； （2）由图象平移的性质得到，结合原正弦函数的单调性即可求出值域． 【详解】（1）， 由， 得， 所以的单调递增区间为； （2）由条件得， 由，得. 由正弦函数图象性质可知， 故在的值域为. 变式2-1．（25-26高一上·河北雄安·期末）将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象. (1)写出的函数表达式，并求其图象的对称轴方程； (2)若. ①求最小正周期及单调递减区间； ②当时，求的值域. 【答案】(1)，. (2)①，；②. 【分析】（1）由求解即可； （2）①化简得，由周期公式和不等式，求解即可；②由，得到，即可求解. 【详解】（1）由题可知， 令，解得， 即函数图象的对称轴方程为. （2） . ①最小正周期为， 令，解得， 所以单调递减区间为. ②令，当时，， 所以，所以， 所以的值域为. 变式2-2．（25-26高一上·天津·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】(1)最小正周期，单增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）根据三角函数的变换规则得到的解析式，再由的取值范围，求出的取值范围，即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为 ， 即，所以的最小正周期. 令，，解得，， ∴的单调递增区间为. （2）将的图象向左平移个单位长度得到 的图象， 再将的图象上所有点的横坐标缩小到原来的得到图象，即得到的图象，所以， 当，则， 当即时，单调递增, 当即时，单调递减， 又，，， ∴在的值域为. 变式2-3．（25-26高一上·四川成都·期末）已知． (1)化简，并写出的单调递减区间； (2)若，求在区间上的值域． 【答案】(1)，单调递减区间为，； (2). 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，再结合余弦函数的性质确定递减区间； （2）由已知得，再由余弦型函数的性质求值域. 【详解】（1），显然， ∴，，则， ∴的单调递减区间为，； （2）∵， ∴， ∵， ∴，且， ∵，即， ∴，故的值域为. 类型三、根据最值或者值域求参 1、 根据最值求参数，题目给出是否有最值或者有几个最值来讨论参数，通常根据最值个数等情况来讨论周期，然后根据周期来讨论参数。 2、讨论定义域或值域中的参数。根据函数的单调性讨论定义域或值域中最值的取得位置来求参数 例3．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，且最小正周期 (1)求的最大值及此时的值. (2)求的单调减区间和对称轴. (3)若函数在是否存在实数，使得的最小值为，最大值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)单调减区间是， (3)存在实数 【分析】（1）运用三角函数基本关系式和二倍角公式化简整理，求出解析式再求解； （2）利用正弦函数的单调性和对称性求解； （3）结合题意求函数值域判断是否存在参数即可. 【详解】（1） ， 因，所以， 当时，，令 此时. （2）由，得. 所以的单调减区间是. 由得， 所以的对称轴方程是. （3）存在实数符合题意. 易知， ，所以， 则， 令，解得， 所以存在实数符合题意. 变式3-1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若，，求的值； (3)当时，函数的最大值为，求m的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递减区间. （2）由（1）中函数求得，确定的范围求出，再利用和角的余弦公式计算得解. （3）利用二倍角公式，结合换元法，借助二次函数由最大值求出. 【详解】（1）依题意，函数， 由，得， 所以函数的单调减区间为. （2）由（1）得， 解得，由，得， 当时，，当时， ，因此，， 所以 . （3）由（1）得， 当时，，令， 函数， 依题意，函数在上的最大值为， 当时，，，不符合要求； 当时，，，不符合要求； 当时，，，则， 所以. 变式3-2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数. (1)求的值； (2)若函数的图象关于直线对称，且在区间上单调. （i）求的最小正周期； （ii）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若在区间上有最小值但没有最大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）（i）根据三角恒等变换公式将化简，再由对称性求出的取值，由单调性求出的范围，即可确定的值，从而求出函数解析式，最后由正弦函数的性质计算可得；（ii）法一：首先表示出的解析式，再根据的范围求出的范围，结合正弦函数的性质计算可得；法二：结合的图象得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）（i）因为 . 又函数的图象关于直线对称， 则，解得， 又因为在上单调，则，解得， 所以，则， 所以的最小正周期. （ii）法一：由， 将函数的图象向左平移个单位得， 由 由与， 由在区间上有最小值但没有最大值得：. 即的取值范围为； 法二：是的图象向左平移个单位长度， 根据的图象 因为在区间上有最小值但没有最大值，所以， 即的取值范围为； 变式3-3．（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数． (1)求函数的最大值以及取得最大值时相应的x的集合； (2)求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上存在最小值，求实数t的取值范围． 【答案】(1)函数取到最大值，； (2)； (3). 【分析】（1）利用三角恒等变形，结合辅助角公式，化为正弦型函数，问题即可求解； （2）利用正弦函数的单调性来求解即可； （3）利用正弦函数的性质来判断即可. 【详解】（1）由， 可得：当时，函数取到最大值，此时：； （2）因为正弦函数的单调递减区间是 所以由，解得， 即函数的单调递减区间是； （3）因为函数， 当时，， 而正弦函数在上是单调递增，在上是单调递减， 由于， 所以要使得函数在区间上取到最小值，则， 即实数t的取值范围是. 类型四、根据单调性求参 根据三角函数在给定区间内的单调性求 1、 根据题目给出的单调区间，可以判断，能找到最小周期的一个大概范围。 2、 根据三角函数的单调区间确定的范围 根据上述两点可以求出的范围 例4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若函数的图象与轴相邻的两个交点的距离为，将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调区间. 【答案】(1) (2)单调增区间为，；单调减区间为 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简，代入，求得此时的函数解析式，令，即可求对称中心； （2）根据其图象与轴相邻的两个交点的距离为，得出周期，利用周期公式得出，即可得出该的解析式；根据平移变换得出，再由函数的图象经过点，结合正弦函数的性质得出的最小值，进而得出，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在上的单调区间. 【详解】（1） 当时，， 令，，则， 则对称中心为. （2）由题意，，即，， 则， 则， ，即， 则，， 则，， ∵，∴当，取最小值，此时最小值为， 此时，. 令，则 当或，即当或时，函数单调递增 当，即时，函数单调递减. ∴在上的单调增区间为，；单调减区间为. 变式4-1．（25-26高一上·北京顺义·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最小值及对应的值； (3)若函数在区间上是单调函数，求实数m的最大值． 【答案】(1) (2)当时，最小值为 (3) 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数的周期公式算出答案； （2）根据正弦函数的单调性与最值进行求解，可得答案； （3）求出时，的取值范围，结合正弦函数的单调性建立关于的不等式，解之即可求得实数的最大值． 【详解】（1） 所以函数的最小正周期； （2）当时，， 结合正弦函数的性质，可知当即时，最小值为； （3）当时， 由正弦函数的性质可得，函数在为递增函数， 故函数在上单调递增， 所以，解得．又， 所以，故实数m的最大值为. 变式4-2．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知函数，其中． (1)若函数的周期为，求函数在的值域； (2)若在区间上为增函数，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的周期为可得，然后根据给定的范围，利用整体法求解函数的值域即可； （2）先求出的单调增区间，从而得到不等式关系，求解即可. 【详解】（1）由， 由周期为且，得， 解得，即，由，得，故，所以函数在上的值域为． （2）因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增． 由题知，存在使得成立，则必有 则，解得，故，所以的最大值为． 变式4-3．（25-26高一上·山西·期末）已知函数 (1)若的最小正周期为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由正弦和余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简得到，再由周期公式即可求解； （2）由得到，再结合正弦函数的单调区间，构造不等式求解即可. 【详解】（1） ， 最小正周期． （2）当时，， 若在上单调递增，则， 解得 又， 即的取值范围是 类型五、零点个数问题 1、 零点的个数问题可以转化为根的个数问题。 函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点 对三角函数而言，在给定的区间内讨论零点个数问题，就要了解三角函数零点的位置。 例5．（25-26高一上·河北唐山·期末）设函数，. (1)求在区间的最值； (2)判断的图象是否存在对称轴?若存在，写出对称轴的方程；不存在，请说明理由； (3)依据函数的性质，求在区间的零点个数. （参考数据：，，） 【答案】(1)最大值3；最小值. (2)存在，对称轴方程为，. (3)645个. 【分析】（1）利用二倍角余弦公式得，，然后利用换元法，按照二次函数性质求解最值即可； （2）设函数的图象存在对称轴为，利用两角和差余弦公式及二倍角公式化简，利用方程恒成立得函数对称轴方程为，即可求解； （3）由（2）对称性推得是的一个周期，由（1）知的单调性，结合零点存在性定理，依据对称性和周期性可得当时，有且仅有一个零点，从而判断零点个数. 【详解】（1），. 设，则，且. 当时，单调递减；当时，单调递增. 且，，， 则当且仅当，即时，取得最大值3； 当且仅当，即时，取得最小值. （2）假设函数的图象存在对称轴， 设其为，则，有， 即， 即， 即， 整理，得， 当且仅当，即，时，上式对恒成立. 因此，的图象存在对称轴，对称轴方程为，. （3）由（2）得是的图象的对称轴，即， 用代换，则，即. 再由（2）得是的图象的对称轴，， 则对恒成立，则是的一个周期. 由（1）知当时，仅有， 再由是偶函数，当时，仅有， 因此，是的最小正周期. 由（1）知，当时，，单调递减，且. 当时，，单调递增，且，. 则当时，有且仅有一个零点，且. 依据对称性，当时，有且仅有一个零点. 依据周期性，当时，有且仅有一个零点. 注意到，，则. 易知，在区间，有644个零点. 下面分析在区间的情况：注意到， 且，， 则存在一个零点， 即在区间上存在一个零点. 故函数在区间的零点个数为645个. 变式5-1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）已知函数． (1)若函数的定义域为，求实数的值； (2)若，求证：； (3)若，判断函数的零点个数并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)有且仅有一个零点，证明见解析 【分析】（1）由的解集为，即可求解； （2）由，，即可求证； （3）分，和结合函数单调性及零点存在性定理讨论即可. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以的解集为， 即的解集为 所以， 解得：. （2）时，， ，又，所以. （3）有且仅有一个零点，证明如下： 时，， 时，因为在上单调递增且图象不间断， ， 所以在上有且仅有一个零点； 时，，所以， 所以在上没有零点； 时，， 所以在上没有零点； 综上，在上有且仅有一个零点. 变式5-2．（25-26高一上·江苏连云港·期末）设函数，其中，，为实数. (1)若，求函数的值域； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，求，的值； (3)若，讨论函数在区间上的零点的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）运用三角基本关系式对函数化简整理，换元法将函数转化成一元二次函数求最值，即为函数的值域； （2）先求出的范围，再分类讨论与的关系，结合函数最值求解； （3）利用换元法构造二次函数，运用零点存在定理判断即可. 【详解】（1）由题可得 设，则， 当时，；当时，； 故函数的值域为. （2）， 因为，所以. 若，则，不符合题意； 若，则，解得； 若，则，解得. （3） 令，，则在区间上是单调减函数，且 设，则在区间上是减函数，且图象不间断， ， 若，，即，则在区间上有且只有一个零点， 从而在区间上有且只有一个零点； 若或，即或，则在区间上没有零点， 从而在区间上没有零点. 综上，若，则函数在区间上零点的个数为； 若或，则函数在区间上零点的个数为. 变式5-3．（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求在区间的值域； (3)求在区间上的零点． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为 (2) (3)、 【分析】（1）由正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，利用正弦型函数的对称性可得出函数的对称轴方程； （2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数在上的值域； （3）由得出，由可求出的取值范围，可得出的值，即可解得的值，即为所求. 【详解】（1）由题意可知函数的最小正周期为， 由可得， 故函数的对称轴方程为. （2）令，因为，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，，，所以的值域是. （3）令，可得， 因为，则， 所以或，解得或. 所以在区间上的零点是、. 类型六、恒成立问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有对恒成立问题而言，需要大于最大值，或小于最小值，问题转到求函数的最值问题。 例6．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的表达式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先根据最小正周期计算公式可得，由此得到； （1）因为正弦函数单调递减区间为，由整体思想，令，解出的取值范围即可； （2）由图象的伸缩变换和平移变换得出结论； （3）该问题为不等式恒成立问题，先根据复合函数求值域求出不等式左边函数的最大值，大于等于左边函数的最大值即可. 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以， 所以. 令， 得， 故的单调递减区间为. （2）的横坐标变为原来的2倍得到， 再将所得图象向左平移个单位长度得到. （3）令 令， 则， 因为， 所以当时，取得最大值， 所以， 解得或， 故实数的取值范围为. 变式6-1．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将函数的图象上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位得到的图象.若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的图象依次求出，即得函数的解析式； （2）利用平移伸缩变换求得，通过换元，将不等式通过参变分离化成在上恒成立问题，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围. 【详解】（1）由图象可知，的最大值为2，最小值为，且，故； 函数的最小正周期满足，则，解得 由时，函数取得最小值，即得， 即，，由，得 故 （2）因，则由 可得，即（*） 令，则， ∵∴，则 所以（*）等价于，整理得 令，，则（*）等价于 因，当时， 当时，单调递减且恒为负数，则在上单调递增， 所以，故； 当时，单调递减且恒为正数，则在上单调递增， 所以 ，则. 综上可得，的取值范围为 变式6-2．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递增区间为； (2). 【分析】（1）先化简函数解析式，接着解不等式即可得解； （2）对，先求出函数的值域，再将题设等价于对任意的恒成立，结合二次函数性质即可计算求解. 【详解】（1）由题函数 ， 令 所以函数的单调递增区间为； （2）当时，设， 所以对不等式恒成立， 等价于对任意的恒成立， 所以， 所以实数的取值范围. 变式6-3．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知函数，且的最小正周期为π. (1)求的单调递增区间和对称轴； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据辅助角公式，对原函数进行化简，再根据正弦函数最小正周期的性质，求出参数，进而根据正弦函数单调增区间和对称轴，列出不等式组和方程组，求出结果即可； （2）根据正弦函数单调性，求出在定义域内函数值域，进而求出函数最小值，列出一元二次不等式，求出结果即可. 【详解】（1）由题意可得， 因为的最小正周期为，即，解得， 因此， 令，解得，， 所以的单调递增区间为， 令，解得， 所以的对称轴为. （2）依题意得在上成立即可， 当时，，所以， 所以，即在上. 所以成立即可，解得， 所以a的取值范围是. 类型七、存在性问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有存在性问题而言，需要小于最大值，或大于最小值，问题转到求函数的最值问题。 例7．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)若存在使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将整理成，由函数的图象关于直线对称得到，计算得到. （2）求出，，，由，得到的不等式，令，可得在上单调递减，从而求出的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）， 而， ， 函数的图象关于直线对称，， ， ， 即 因不恒为0，故需使，即. （2）， ， ， 故等价于（*）， ，， 故（*）即存在，使得成立， 令，， 函数和函数在上均单调递减， 在上单调递减，的最小值在处取得， 故，即的取值范围为. 变式7-1．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知函数的最小正周期是. (1)求常数的值及函数图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若存在使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据余弦、正弦二倍角公式、辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数形式，结合正弦型函数的最小正周期公式、对称性进行求解即可； （2）根据正弦型函数的变换性质，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1） ， 因为函数的最小正周期是，， 所以，即， 由， 所以函数图象的对称轴方程； （2）因为函数的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以， ， 即， 因为存在使得成立， 所以只需大于等于的最小值，即 所以的取值范围为. 变式7-2．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，其图象相邻对称中心间的距离为，且经过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且，求的值； (3)将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将图象上所有的点向左平移个单位得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用周期求，利用代入点坐标，结合，可求得； （2）利用同角公式求得，再用诱导公式即可求解； （3）先求出，法一：再利用换元法和分离参变量法来求参数范围，法二：也可以利用换元法和一元二次方程根的分布来求参数范围. 【详解】（1）因为图象相邻对称中心间的距离为，所以，则. 因为点在图象上，所以. 所以，解得， 因为，所以，所以. （2）由得， 因为，所以， 所以， 所以， 即. （3）将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）， 可得，再将图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的图象， 即：， 法1（分离参数）：令， 因为，所以，所以，即， 由存在，使得不等式成立， 即存在，使成立 由，所以 令，， （当且仅当时取得等号） 所以实数的取值范围是 法2（分类讨论）：令， 因为，所以，所以，即 由存在，使得不等式成立， 即存在，使成立 令，，对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， ，解得， 又，所以此时无解； ②当，即时， ，解得或， 所以； ③当，即时，在上单调递减， ，解得， 所以. 综上，实数的取值范围是. 变式7-3．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，． 求单调递减区间： 由，得， 求单调递增区间： 由，得． 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）由题意，当时，关于的不等式有解， 即不等式有解; 因为当时，，所以有解， 只需要即可． 而． 令，则在上单调递减， 所以当时，，即， 所以实数的取值范围为． 类型八、根据根（零点）个数求参 求参问题有两种解决方法 1、 参变分离：先分离参数，然后确定然后根据解的个数或者零点个数，以及函数的值域来决定参数的值 2、交点个数：直接带参讨论函数图像（如参数跟斜率相关），根据交点个数来决定图像走势，从而决定参数范围。 例8．（25-26高一上·四川绵阳·期末）已知函数，在同一周期内，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值． (1)将函数的图象向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，方程有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用已知条件求出解析式，再通过平移伸缩得出； （2）分析函数在区间内的取值范围，结合零点个数求出的取值范围； （3）先求出在区间内的取值范围，结合已知方程有解构造新函数，结合函数单调性求的取值范围． 【详解】（1）由同一周期内，函数取得最大值和取得最小值的横坐标差可得， ， ， 当时，取最大值，则，， ， ， 向右平移个单位得， 横坐标伸长到原来的倍，则对应的系数变成原来的，得， 纵坐标伸长到原来的2倍，得． （2）当时，， 当时，从递减到， 当时，从递增到2， 当时，从2递减到1， 当时，在和上各有一个解； 当时，在和上各有一个解； 综上，． （3）当时，，故， 令，则， 转化为在上有解， 即，设，则对勾函数在上单调递减，在上单调递增， ，在单调递减，在单调递增， 当时取最小值， 当时，，当时，， 在上的取值范围是． 变式8-1．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数． (1)若直线为图象的两条相邻对称轴，且， ①求函数的解析式； ②若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； (2)若对任意，函数在区间上恰有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据函数周期性可得，代入点可得，即可得函数解析式；②根据题意可得，以为整体，结合正弦函数有界性运算求解； （2）设，则条件等价于函数在上恰有三个零点，根据正弦函数的性质可得，结合恒成立问题运算求解即可. 【详解】（1）①设的最小正周期为，且，则， 由题意可知：，即，解得， 则， 又因为，即， 又因为，则， 可得，解得， 所以； ②令，可得， 因为，则，可得， 可得，解得， 所以的取值范围是. （2）因为，且，则， 设，则条件等价于函数在上恰有三个零点， 因为，可知在上无零点， 可得，解得， 由于对任意成立，则，即， 所以的取值范围是． 变式8-2．（25-26高一上·广西柳州·期末）已知函数的最大值为2． (1)求实数的值和函数的单调递增区间； (2)将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再根据函数最值求得，根据整体代换求解函数单调递增区间； （2）由图象平移变换得，进而将问题转化为与在有两个不同的交点，再结合图象求解即可. 【详解】（1）由于函数 ， ∵函数的最大值为2，，即． ， 令，，可得，， 所以单调递增区间为， （2）将图象上所有点向右平移个单位 得， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 可得的图象． 在上有两个不同的解转化为 与在有两个不同的交点． 如图为函数在上的图象．   ，故由图可得有，即， ∴的取值范围为． 变式8-3．（25-26高一上·安徽滁州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得，利用三角函数的周期公式即可求解； （2）令，解出即可求解； （3）令，得，即，令，得，解出，要使函数有两个零点，只需，解出即可求解. 【详解】（1）由， 所以函数的最小正周期为 （2）令，解得， 的单调递减区间为； （3）令，即， (*)， 令， ，即， 由(*)可得，即，解得， 当时，对应原方程有一个根， 要使函数有两个零点，只需， 综上，实数的取值范围是. 类型九、求多个根（零点）的和与差 在三角函数的根的问题中，需要找其根的对称问题。其可能关于三角函数的某个对称轴对称。 1、对给定范围内的两个相邻的零点（通常为三角函数图像与直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即，再根据三角恒等变换可以求的正余弦值。 2、对给三角函数的零点（通常为三角函数图像与直线或者别的图像的交点），找到这些零点的对称点，然后根据这个对称来求和。 例9．（25-26高一上·山东济宁·期末）某同学用“五点法”画函数（其中）在某一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 2 0 0 (1)根据上表求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若方程在区间上恰有2个不等的实根，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦型函数图象的性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. （3）根据正弦型函数的对称性，结合余弦两角差公式进行求解即可. 【详解】（1）通过在某一个周期内的图象可以确定， 周期为，， 因为，所以，即， ，函数在上单调递减， ， 因为，所以令，即， 所以的解析式为； （2）， 所以的单调递增区间为； （3）， 因为方程在区间上恰有2个不等的实根， 所以， 因为， 所以不妨设， 所以， ， . 变式9-1．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）利用最小正周期公式求出最小正周期，用整体代入法求单调区间； （2）由题意可得，，进而计算可求解. 【详解】（1）的最小正周期， 因， 由，可得 所以单调递减区间为： （2）因为，所以， 由，得， 作出函数在上的图象如下： 有图可知，方程恰有两个不相等的实数根，等价于， 且此时，解得则 所以. 变式9-2．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数的最小值为-5． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求方程在上的所有根的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意求得的值，根据求最小正周期的公式，求得的最小正周期； （2）由复合函数的单调性判断方法，及正弦函数的单调性，求得的单调递增区间； （3）解方程，求得其所有根，相加可得方程在上的所有根的和． 【详解】（1）由题意得，解得，     则，它的最小正周期．   （2）令，，则. 因为和均是增函数， 所以当，即时，单调递增，也单调递增. 所以的单调递增区间为．     （3）由，得， 所以，解得．         因为，所以，即， 所以或或. 所以方程在上有3个根，分别为. 因为，所以方程在上的所有根的和为． 变式9-3．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求的值域； (3)若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用二倍角公式及辅助角公式化简，再应用单调递增区间计算求解； （2）求出，再应用正弦函数值域计算求解； （3）求出，再应用换元法结合正弦函数的值域，应用正弦函数的对称性得出参数范围. 【详解】（1）因为 ， 令， 解得 即的单调递增区间为. （2）因为，则，所以 即，故的值域为. （3）已知，则. 令，则，函数可记为. 则在有两个不同解，，其中，. 此时，则 ， 即， 所以，，. 所以， 又因为，且，可得， 所以， 所以的取值范围是. 类型十、解不等式 1、对解不等式问题，先令其不等号为等号，先解方程，求其交点。 2、可以通过画图，利用数形结合来确定交点情况。 3、对三角函数而言，其是周期性函数，所以解集要考虑周期性。 例10．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求的值域. (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位得到的图象，求不等式的解集 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)运用二倍角公式和辅助角公式对原式化简整理，结合正弦函数的单调增区间求解； (2)通过的范围得到的范围，再求值域； (3)先求出的解析式，再解不等式，即可求得结果. 【详解】（1）， ， 令， 解得， 即的单调递增区间为. （2）因为，则， 所以， 即，故的值域为. （3）由题意可知， 令， 则 解得， 所以不等式解集为 变式10-1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数的最小正周期为π． (1)求函数的对称中心； (2)求函数的单调递减区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由函数最小正周期求得，从而求得函数解析式，由正弦函数对称中心求得函数的对称中心； （2）由正弦函数单调递减区间求得，函数的单调递减区间； （3）由正弦函数图象解不等式，即可求得结果. 【详解】（1）， ， ∵函数最小正周期，∴，即， ∴， 令，则， ∴函数的对称中心. （2）令，则， ∴函数的单调递减区间为. （3），即， ∴，∴， ∴， 不等式的解集为. 变式10-2．（福建省三明市2025-2026学年高一上学期期末数学试题）已知函数． (1)求函数的单调递减区间和对称轴； (2)设，求使成立的的取值集合． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由正弦函数的递减区间和对称轴，令，即可求得函数的单调递减区间，令，即可求得函数的对称轴； （2）由和差角、二倍角及辅助角公式求得函数解析式，然后得到不等式，由正弦函数的性质求得不等式解集. 【详解】（1）由， 解得：， 所以的单调递减区间为； 由， 解得：， 所以的对称轴方程为 （2）由题意得     ， ， 由可得：． 所以． 解得： ， 所以使成立的的取值集合为． 变式10-3．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知函数， (1)求函数的最小正周期并说明的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 【答案】(1)，答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式，倍角公式，辅助角公式化简，再用周期公式可求周期；利用伸缩变换，平移变换的法则即可求解； （2）利用复合函数的单调性即可求解 （3）先将问题化为，再将作为一个整体，结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】（1）由题可知，               所以最小正周期     方法一： 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，     再将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，     再将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）， 可得到函数的图象；     方法二： 将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，     再将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，     再将函数的图象上各点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）， 可得到函数的图象. （2）     解得     即函数的单调递减区间为 （3）即.     所以     解得     所以满足要求的的取值集合为 类型十一、三角函数的应用 四大常见类型 1. 几何高度/距离：已知两观测点角度，用tan列高方程，辅助线构造直角三角形 2. 旋转/周期性运动：如摩天轮、弹簧振动，设，：振幅，：角速度，：中心位置 3. 航海/方位角：画方向图，用 正弦/余弦定理 解三角形，注意：方向角以正北为0°顺时针计 4. 面积/长度最值：将目标量表为的函数，用有界性（|sin|≤1）求最值 例11．（25-26高一上·福建莆田·期末）在2025莆田银河左岸音乐节上，主会场中央有一块边长为米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点、分别为、边上异于点的动点，现在顶点处有视角设置为的摄像机，正录制形如的移动区域内表演的某个节目，设米，米． (1)请将表示为的函数； (2)证明：周长为定值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析； (3) 【分析】（1）利用正切的两角和公式来得到与的关系式可得到函数关系； （2）利用第一问的函数关系来消元化简，即可得周长为定值； （3）利用面积公式，消元，再换元，即可用基本不等式求出最大值. 【详解】（1） 由题意得： 因为，所以， 即， 整理得：， 所以表示为的函数为，； （2）由周长， 代入，可得 ， 故周长为定值； （3）由图形可得：面积， 令，则 因为，当且仅当，即时取等号， 所以. 故面积的最大值为. 变式11-1．（25-26高一上·山西太原·期末）如图所示，扇形的半径为，且，点在线段（不含线段端点）上运动，为线段上一点．    (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的值； (3)若，且，求线段的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式、和角正切、正弦公式，结合同角公式求解. （2）根据给定条件，利用差角的正弦公式、辅助角公式及二倍角公式求解. （3）作于点，在上取点，使得，利用几何图形确定最小值的表达式，再利用二倍角的正弦公式求出最小值. 【详解】（1）依题意，， 整理得，而，则，， 由，得，则，而， 则，所以. （2）由，得 ， 由，得， 则，所以. （3）过点作于点，在上取点，使得，连接， 由，得平分，则，， 当且仅当与重合，且为与的交点时取等号， 在中，由，，得， 因此，， 所以线段的最小值为. 变式11-2．（25-26高一上·新疆伊犁·期末）已知扇形的半径，面积为的扇形纸张内裁剪一个矩形ABCD，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段OQ上，A，B均在线段OP上. (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设. （i）若，求BC的长； （ii）求矩形ABCD面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由扇形的面积公式建立方程，即可求出圆心角的大小； （2）（i）由（1）知，代入条件得到的值，由平方和关系求得，然后由和差角公式求得，从而求得的长；（ii）由直角三角形边角的关系分别表示出边长，然后表示出矩形的面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）设扇形的圆心角，由扇形的面积，得， 所以. （2）（i）由（1）知，，则， 由，得， 因此， 所以. （ii）由（i）知，在中，，， 在中，，则， 因此矩形的面积 ，由，得， 则当，即时，矩形的面积取得最大值. 变式11-3．（25-26高一上·贵州黔南·期末）筒车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1圈，筒车的轴心距水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分）之间的关系为.    (1)求出关于的函数解析式. (2)在筒车转动的一圈内，有多长时间盛水筒相对水面的高度不小于？ 【答案】(1) (2)分钟 【分析】（1）根据周期得出，再应用最值得出参数，最后代入特殊值计算得出； （2）根据解析式结合正弦函数的性质计算求解. 【详解】（1）由筒车每分转1圈，得. 由题可知的最大值为6，最小值为， 解得. 当时，，代入，解得. 又， . （2）令， 则， ， . 又. 所以， 故有分钟盛水筒相对水面的高度不小于. 1．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知关于的方程的两个不等实根分别是和. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案. （2）化简得到原式，再根据题意计算得到答案. 【详解】（1）因为关于的方程的两个不等实根分别是和 所以，即， ，， ， 从而， 则； （2） . 因为  ； 因为且，所以， 所以. 所以. 2．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知函数， (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)若将的图象向左平移个单位，得到的图象，求的解析式，并求在上的最大值和最小值． 【答案】(1)的最小正周期为，单调增区间为 (2)，在区间上的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再根据周期公式求出最小正周期，利用整体代换法求出单调增区间； （2）根据“左加右减”的平移规则写出新函数解析式，利用整体法即可求出最大、最小值. 【详解】（1）， 由（其中）得：， 令， 解得函数的单调递增区间为. （2）将图象向左平移个单位， 则， 当时，， 在该区间上，， 因此，. 3．（广东省肇庆市2025-2026学年高一上学期综合素质检测（期末）数学试题）已知函数. (1)求的最小正周期： (2)若且，求的值； (3)若在区间上单调递增，求实数的最大值. 【答案】(1); (2); (3). 【分析】（1）利用三角恒等变换即可化简求解周期； （2）利用特殊三角函数值结合取值范围来求解即可； （3）利用已知正弦函数的单调递增区间，即可求解的最大值. 【详解】（1）由函数 ， 所以的最小正周期为； （2）由， 因为，所以，即， 所以； （3）由，则， 因为正弦函数在区间上单调递增， 所以，即实数的最大值为. 4．（25-26高一上·青海海东·期末）已知函数. (1)求在上的值域； (2)若，，（且），求a的取值范围； (3)先将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简得，进而求函数值域； （2）先求的最大值，将问题转化为对数不等式有解，再分和讨论 的范围； （3）按图像变换得到 ，分析时的相位区间，根据 “有最大值无最小值” 的条件列不等式求 的范围. 【详解】（1）， 当 时，，， 故 ，即 在 上的值域为 . （2）因为，，， 所以 在 有解，即 在 有解. 当 时，只需即可，解得 . 当 时，，需 ，此时无解. 综上，. （3）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的4倍得函数的图象，再将所得图象向左平移 个单位得函数 的图象， 当 时，. 要使 有最大值无最小值，需区间包含 且不包含 ，即. 解得 且 ，结合 ，得 . 5．（25-26高一上·四川宜宾·期末）已知函数，其中． (1)若的最小正周期为． （ⅰ）求； （ⅱ）当时，求的值域； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）（ⅱ） (2) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式，把函数的解析式化成正弦型函数解析形式. （ⅰ）利用正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可； （ⅱ）利用正弦型函数的最值性质进行求解即可； （2）利用正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1） . （ⅰ）因为的最小正周期为，且， 所以； （ⅱ）由上可知：. 当时，， 所以当时，即时， 函数有最小值， 所以当时，即时， 函数有最大值， 所以当时，求的值域为. （2） 当时，，且， 因为在区间上单调递减， 所以， 要想该不等式组有解， 只需，解得，且， 所以，即， 所以的取值范围为. 6．（25-26高三上·天津和平·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间； (3)求的对称轴方程； (4)求在上的零点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式将函数化简为正弦型函数，利用周期公式求解； （2）先求出函数在上的单调递增区间，再找出时的递增区间即可； （3）整体代入法结合正弦函数的对称轴求解； （4）利用函数零点定义和正弦函数的性质，结合角的范围计算求解. 【详解】（1） 所以最小正周期为. （2）令, 解得, 因为, 所以在上的单调递增区间为. （3）令, 即对称轴方程为. （4）令，则， 所以, 所以在上的零点为. 7．（25-26高一上·四川遂宁·期末）已知函数． (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间和对称中心； (3)用五点法画出函数的图象，若函数在内有两个相异的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式化简原函数，再利用最小正周期的性质求解即可. （2）利用整体代入法求解单调增区间和对称中心即可. （3）利用五点作图法作出函数图象，再将零点问题转化为交点问题，进而求解取值范围即可. 【详解】（1）因为， 所以 ， 由题意得最小正周期为. （2）令， 解得， 则单调增区间为， 令，解得， 则对称中心为. （3）当时，由题意得， ，，，， 如图，利用五点作图法作出图象， 因为函数在内有两个相异的零点， 所以方程在内有两个相异的根， 则方程在内有两个相异的根， 可得与在内有两个相异的交点， 当时，则， 可得，得到， 而，，， 由图象可得在上单调递增，在上单调递减， 则，故实数的取值范围为. 8．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)令． （ⅰ）证明：是周期函数； （ⅱ）若，对，有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明过程见解析； 【分析】（1）利用辅助角公式对进行化简，结合对数函数的定义域、单调性及正弦型三角函数的单调性求解即可. （2）（ⅰ）结合周期性的定义证明即可. （ⅱ）分别求出在上及在的值域，结合存在性及任意性问题转化求解即可. 【详解】（1）. 不等式可化为，所以， 即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为 （2）（ⅰ） . 因为的周期为，的周期为， 故的周期也为. 所以 ， 所以是以为周期的周期函数. （ⅱ）. 当时，， 因为在单调递增，所以， 又在定义域内单调递减，故函数在单调递减， 又，在单调递减， 因此函数在单调递减， 所以当时，. 当时， . ，因为在上单调递减，所以， ， 又在定义域内单调递减，故在单调递减， 在上单调递增，而，故在单调递减，故 在单调递减 所以当时，. ，对，有成立， 等价于，即 当时，，故即，解得. 当时，，显然不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 综上可得， 故实数的取值范围为. 9．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数（，，）的图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的（横坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得的函数为，求函数的解析式； (3)若对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据周期，最值求，根据求即可； （2）利用变换求出解析式； （3）将问题转化为，求出，结合正弦函数的性质即可求出. 【详解】（1）由题意可知，，，得， 因为，所以，即， 因为，所以， 故函数的解析式为； （2）将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的（横坐标不变）得到函数的图象， 将得到的图象向右平移个单位长度，所得的函数为. （3）由题意得. 因为，所以，则， 故. 所以只需，即， 即 因为，所以， 所以，得， 则实数的取值范围为. 10．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知，，函数． (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若，且，求的值； (3)设，若方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为， (2) (3) 【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据正弦函数的对称中心公式求出对称中心； （2）先根据已知条件求出的值，再结合的范围求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值； （3）先求出的表达式，再将方程进行化简，然后通过换元法将方程转化为关于新变量的方程，最后根据方程有解求出的取值范围. 【详解】（1）由，可得， ， 令，，则，， 故函数图象的对称中心为，． （2）由，可得，化简得， 因为，所以，所以， ． （3）由题方程有解，， 所以方程变为，,即方程有解， 设，则，所以， 因为，所以，则， 则原方程可化为在上有解， 由题知，，故方程可化为在， 所以在上单调递增，所以， 所以，故，故实数m的取值范围为． 11．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间； (3)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合； (4)解不等式. 【答案】(1)； (2)的单调递增区间是， 的单调递减区间是； (3)，取最小值时的集合为； (4). 【分析】（1）将函数利用平方差公式，二倍角的正余弦公式，辅助角公式，两角和的余弦公式进行化简，得到，利用最小正周期公式求解； （2）利用余弦函数的图像和单调性的性质求解； （3）利用余弦函数的图像和值域的性质求解； （4）利用余弦函数的图像解不等式. 【详解】（1），， ， ， ， ， ， ； （2）， 当，即， 的单调递增区间是； 当，即， 的单调递减区间是； （3）， ，， 当时，即时， 取最小值为， 取最小值时的集合为； （4）， ，， ， ， ， 的解集为. 12．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)已知函数. （i）求使成立的的取值范围； （ii）若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据图像确定振幅，利用相邻关键点的距离确定周期，进而求出，再代入特殊点求出相位； （2）（i）先将化简为单一三角函数形式，再解不等式； （ii）分别求出在上的值域，以及在上的值域，根据求的范围. 【详解】（1）由图像得振幅, 周期，故，因此， 将点代入，得， 结合，解得， 因此； （2）依题意得：， （i）由，得：正弦函数满足该不等式的区间为：， 解得：， 所以的取值范围为； （ii）由，当时，， 所以，所以， 设，则， 令，则函数转化为， 关于的二次函数，开口向上，对称轴为：， 在区间上，当时，取最小值：， 当时，取最大值：， 因此在区间上的值域为：， 的值域的值域即：， 等价于，解得：. 故. 13．（25-26高一上·新疆和田·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及其图象的对称轴. (2)若将的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象. ①求的单调递增区间； ②若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)①② 【分析】（1）利用三角恒等变换及辅助角公式对化简得，利用公式即可求出最小正周期，结合正弦函数的图象即可求出对称轴； （2）①根据图象的变换得到，结合正弦函数的性质即可求出单调递增区间；②求出和在的值域，由题意可得当时，，列不等式即可求出答案. 【详解】（1） . 所以的最小正周期， 令，解得， 所以图象的对称轴为. （2）①由题意得， 令，解得， 所以的单调递增区间为. ②当时，， 由正弦函数图象可知，，所以， 当时，， 由正弦函数图象可知，，所以， 因为任意的，都有恒成立， 所以当时，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 14．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知函数在上单调递增，在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若，解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调区间以及正弦函数性质得出，可求得函数解析式； （2）将不等式化简可得，利用换元法以及二倍角公式并结合三角函数值的符号可解得不等式的解集为. 【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以是的最大值点， 根据正弦函数的性质，可得，即； 又因函数在上单调递增，在上单调递减， 所以,可得, 又,可得，解得 结合，取得, 所以的解析式为; （2）易知, 不等式即, 令,又，则, 不等式化为，即，， 因为,,可得,即, 结合,解得, 代入,可得,解得, 所以不等式的解集为. 15．（25-26高一上·江苏镇江·期末）如图所示，已知公路，相互垂直，村委会P到公路，的距离分别为100 m和200 m，为了方便村民，政府现决定修一条经过村委会P的公路AB，公路AB与路，连接，这三条公路围成绿化区域OAB.不计路的宽度. (1)请在下面三个变量中，选择一个变量，将绿化区域OAB面积表示成你所选择变量的函数关系式（如果多选，以选择的第一个给分）； ①设；②设；③设； (2)求绿化区域OAB面积的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据所设变量，结合几何关系即可求出绿化区域OAB面积的函数关系式； （2）利用基本不等式即可求出绿化区域OAB面积的最小值. 【详解】（1）选择①设，过点分别作于点，作于点， 又村委会P到公路，的距离分别为100 m和200 m，， 在中，，， 在中，，， 为直角三角形，， 故绿化区域OAB面积表示成你所选择变量的函数关系式为，. （2）由（1）可知，，， 根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， ， 即绿化区域OAB面积的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角函数常考大题归纳 目录 典例详解 类型一、三角函数的化简与求值 类型二、求值域或最值 类型三、根据最值或者值域求参 类型四、根据单调性求参 类型五、零点个数问题 类型六、恒成立问题 类型七、存在性问题 类型八、根据根（零点）个数求参 类型九、求多个根（零点）的和与差 类型十、解不等式 类型十一、三角函数的应用 压轴专练 类型一、三角函数的化简与求值 角度处理：统一角度单位（弧度/角度）；利用诱导公式化简角度；优先化为锐角或内 函数统一：切化弦（）；弦化切（必要时）；统一为正弦、余弦函数 公式应用顺序：先诱导公式，再和差/倍角公式；降幂公式处理高次项；和差化积/积化和差处理乘积项 例1．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角和的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边分别与单位圆交于两点．已知点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求的值； (2)求的值． 变式1-1．（25-26高一上·江西南昌·期末）如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值. 变式1-2．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 变式1-3．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知，且． (1)求的值； (2)已知，且，求的值． 类型二、求值域或最值 三角函数求值域的方法： 1、 利用诱导公式、三角恒等变换化简三角函数，若化简后是单一的三角函数，可以根据给定的定义域来求最值，注意最大值跟最小值是否在给定的区间内。 2、 若化简后的式子是关于三角函数的复合形式，则考虑需不需要换元来求最值，换元后要注意新的定义域。 3、 遇到与的时候，可以利用的关系进化互化，然后通过换元求最值 遇到齐次式的分式可以化成正切求最值 例2．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，求在上的值域． 变式2-1．（25-26高一上·河北雄安·期末）将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象. (1)写出的函数表达式，并求其图象的对称轴方程； (2)若. ①求最小正周期及单调递减区间； ②当时，求的值域. 变式2-2．（25-26高一上·天津·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 变式2-3．（25-26高一上·四川成都·期末）已知． (1)化简，并写出的单调递减区间； (2)若，求在区间上的值域． 类型三、根据最值或者值域求参 1、 根据最值求参数，题目给出是否有最值或者有几个最值来讨论参数，通常根据最值个数等情况来讨论周期，然后根据周期来讨论参数。 2、讨论定义域或值域中的参数。根据函数的单调性讨论定义域或值域中最值的取得位置来求参数 例3．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，且最小正周期 (1)求的最大值及此时的值. (2)求的单调减区间和对称轴. (3)若函数在是否存在实数，使得的最小值为，最大值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由. 变式3-1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若，，求的值； (3)当时，函数的最大值为，求m的值. 变式3-2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数. (1)求的值； (2)若函数的图象关于直线对称，且在区间上单调. （i）求的最小正周期； （ii）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若在区间上有最小值但没有最大值，求的取值范围. 变式3-3．（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数． (1)求函数的最大值以及取得最大值时相应的x的集合； (2)求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上存在最小值，求实数t的取值范围． 类型四、根据单调性求参 根据三角函数在给定区间内的单调性求 1、 根据题目给出的单调区间，可以判断，能找到最小周期的一个大概范围。 2、 根据三角函数的单调区间确定的范围 根据上述两点可以求出的范围 例4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若函数的图象与轴相邻的两个交点的距离为，将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调区间. 变式4-1．（25-26高一上·北京顺义·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最小值及对应的值； (3)若函数在区间上是单调函数，求实数m的最大值． 变式4-2．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知函数，其中． (1)若函数的周期为，求函数在的值域； (2)若在区间上为增函数，求的最大值． 变式4-3．（25-26高一上·山西·期末）已知函数 (1)若的最小正周期为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围． 类型五、零点个数问题 1、 零点的个数问题可以转化为根的个数问题。 函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点 对三角函数而言，在给定的区间内讨论零点个数问题，就要了解三角函数零点的位置。 例5．（25-26高一上·河北唐山·期末）设函数，. (1)求在区间的最值； (2)判断的图象是否存在对称轴?若存在，写出对称轴的方程；不存在，请说明理由； (3)依据函数的性质，求在区间的零点个数. （参考数据：，，） 变式5-1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）已知函数． (1)若函数的定义域为，求实数的值； (2)若，求证：； (3)若，判断函数的零点个数并证明． 变式5-2．（25-26高一上·江苏连云港·期末）设函数，其中，，为实数. (1)若，求函数的值域； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，求，的值； (3)若，讨论函数在区间上的零点的个数. 变式5-3．（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求在区间的值域； (3)求在区间上的零点． 类型六、恒成立问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有对恒成立问题而言，需要大于最大值，或小于最小值，问题转到求函数的最值问题。 例6．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的表达式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式6-1．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将函数的图象上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位得到的图象.若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 变式6-2．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式6-3．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知函数，且的最小正周期为π. (1)求的单调递增区间和对称轴； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 类型七、存在性问题 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 所有存在性问题而言，需要小于最大值，或大于最小值，问题转到求函数的最值问题。 例7．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)若存在使得成立，求的取值范围. 变式7-1．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知函数的最小正周期是. (1)求常数的值及函数图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若存在使得成立，求的取值范围. 变式7-2．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，其图象相邻对称中心间的距离为，且经过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且，求的值； (3)将图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将图象上所有的点向左平移个单位得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 变式7-3．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 类型八、根据根（零点）个数求参 求参问题有两种解决方法 1、 参变分离：先分离参数，然后确定然后根据解的个数或者零点个数，以及函数的值域来决定参数的值 2、交点个数：直接带参讨论函数图像（如参数跟斜率相关），根据交点个数来决定图像走势，从而决定参数范围。 例8．（25-26高一上·四川绵阳·期末）已知函数，在同一周期内，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值． (1)将函数的图象向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求函数的解析式； (2)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，方程有解，求实数的取值范围． 变式8-1．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数． (1)若直线为图象的两条相邻对称轴，且， ①求函数的解析式； ②若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； (2)若对任意，函数在区间上恰有三个零点，求的取值范围． 变式8-2．（25-26高一上·广西柳州·期末）已知函数的最大值为2． (1)求实数的值和函数的单调递增区间； (2)将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数的取值范围． 变式8-3．（25-26高一上·安徽滁州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 类型九、求多个根（零点）的和与差 在三角函数的根的问题中，需要找其根的对称问题。其可能关于三角函数的某个对称轴对称。 1、对给定范围内的两个相邻的零点（通常为三角函数图像与直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即，再根据三角恒等变换可以求的正余弦值。 2、对给三角函数的零点（通常为三角函数图像与直线或者别的图像的交点），找到这些零点的对称点，然后根据这个对称来求和。 例9．（25-26高一上·山东济宁·期末）某同学用“五点法”画函数（其中）在某一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 2 0 0 (1)根据上表求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若方程在区间上恰有2个不等的实根，求的值. 变式9-1．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 变式9-2．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数的最小值为-5． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求方程在上的所有根的和． 变式9-3．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求的值域； (3)若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求的取值范围. 类型十、解不等式 1、对解不等式问题，先令其不等号为等号，先解方程，求其交点。 2、可以通过画图，利用数形结合来确定交点情况。 3、对三角函数而言，其是周期性函数，所以解集要考虑周期性。 例10．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，求的值域. (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位得到的图象，求不等式的解集 变式10-1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数的最小正周期为π． (1)求函数的对称中心； (2)求函数的单调递减区间； (3)求不等式的解集． 变式10-2．（福建省三明市2025-2026学年高一上学期期末数学试题）已知函数． (1)求函数的单调递减区间和对称轴； (2)设，求使成立的的取值集合． 变式10-3．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知函数， (1)求函数的最小正周期并说明的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 类型十一、三角函数的应用 四大常见类型 1. 几何高度/距离：已知两观测点角度，用tan列高方程，辅助线构造直角三角形 2. 旋转/周期性运动：如摩天轮、弹簧振动，设，：振幅，：角速度，：中心位置 3. 航海/方位角：画方向图，用 正弦/余弦定理 解三角形，注意：方向角以正北为0°顺时针计 4. 面积/长度最值：将目标量表为的函数，用有界性（|sin|≤1）求最值 例11．（25-26高一上·福建莆田·期末）在2025莆田银河左岸音乐节上，主会场中央有一块边长为米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点、分别为、边上异于点的动点，现在顶点处有视角设置为的摄像机，正录制形如的移动区域内表演的某个节目，设米，米． (1)请将表示为的函数； (2)证明：周长为定值； (3)求面积的最大值． 变式11-1．（25-26高一上·山西太原·期末）如图所示，扇形的半径为，且，点在线段（不含线段端点）上运动，为线段上一点．    (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的值； (3)若，且，求线段的最小值． 变式11-2．（25-26高一上·新疆伊犁·期末）已知扇形的半径，面积为的扇形纸张内裁剪一个矩形ABCD，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段OQ上，A，B均在线段OP上. (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设. （i）若，求BC的长； （ii）求矩形ABCD面积的最大值. 变式11-3．（25-26高一上·贵州黔南·期末）筒车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1圈，筒车的轴心距水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分）之间的关系为.    (1)求出关于的函数解析式. (2)在筒车转动的一圈内，有多长时间盛水筒相对水面的高度不小于？ 1．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知关于的方程的两个不等实根分别是和. (1)求的值； (2)若，求的值. 2．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知函数， (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)若将的图象向左平移个单位，得到的图象，求的解析式，并求在上的最大值和最小值． 3．（广东省肇庆市2025-2026学年高一上学期综合素质检测（期末）数学试题）已知函数. (1)求的最小正周期： (2)若且，求的值； (3)若在区间上单调递增，求实数的最大值. 4．（25-26高一上·青海海东·期末）已知函数. (1)求在上的值域； (2)若，，（且），求a的取值范围； (3)先将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，求的取值范围. 5．（25-26高一上·四川宜宾·期末）已知函数，其中． (1)若的最小正周期为． （ⅰ）求； （ⅱ）当时，求的值域； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 6．（25-26高三上·天津和平·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间； (3)求的对称轴方程； (4)求在上的零点． 7．（25-26高一上·四川遂宁·期末）已知函数． (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间和对称中心； (3)用五点法画出函数的图象，若函数在内有两个相异的零点，求实数的取值范围． 8．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)令． （ⅰ）证明：是周期函数； （ⅱ）若，对，有，求实数的取值范围. 9．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数（，，）的图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的（横坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得的函数为，求函数的解析式； (3)若对于，，使得，求实数的取值范围. 10．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知，，函数． (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若，且，求的值； (3)设，若方程在上有解，求实数m的取值范围． 11．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间； (3)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合； (4)解不等式. 12．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)已知函数. （i）求使成立的的取值范围； （ii）若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围. 13．（25-26高一上·新疆和田·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及其图象的对称轴. (2)若将的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象. ①求的单调递增区间； ②若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 14．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知函数在上单调递增，在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若，解不等式． 15．（25-26高一上·江苏镇江·期末）如图所示，已知公路，相互垂直，村委会P到公路，的距离分别为100 m和200 m，为了方便村民，政府现决定修一条经过村委会P的公路AB，公路AB与路，连接，这三条公路围成绿化区域OAB.不计路的宽度. (1)请在下面三个变量中，选择一个变量，将绿化区域OAB面积表示成你所选择变量的函数关系式（如果多选，以选择的第一个给分）； ①设；②设；③设； (2)求绿化区域OAB面积的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $