精品解析：天津市瑞景中学2025-2026学年高二上学期期末质量检测高二数学试题

2025—2026学年秋季学期天津市瑞景中学期末质量检测 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名填写在答题卡上.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9个小题，每小题4分，共36分. 一、选择题（每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上.） 1. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由题知公差. 故选:D 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的方程可得答案. 【详解】因为抛物线的开口向左， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 4. 抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由焦半径公式即可求解. 【详解】由焦半径公式可得：，又， 所以， 故选：B 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 6. 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分析导函数在区间上的正负，得到的单调性，即可求得极大值个数. 【详解】由图可知，当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，是的唯一极大值点. 故选：B. 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 8. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意，从第二轮开始，该模型参数增加的数量为等比数列， 设首项为，公比为， 则通项公式为， 第一轮参数为, 第二轮参数增加的数量为, 第三轮参数增加的数量为, 第四轮参数增加的数量为， 第五轮参数增加的数量为, 所以第五轮训练的模型参数的数量为.. 故选：C. 9. 若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义和斜率公式列方程，根据有两条切线得到方程有两个根，然后列不等式求解即可. 【详解】设切点坐标为，， 所以斜率， 则切线方程为， 又在切线上，所以 因为曲线有两条过的切线，所以方程有两个解， 整理得，所以，解得或. 故选：D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共64分. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填在答题卡上.） 10. 记为等差数列的前项和.若，则 【答案】100 【解析】 【分析】由条件结合等差数列的前项和公式可得，再用等差数列的定义求公差，最后用等差数列的前项和公式求即可. 【详解】因为为等差数列的前项和，设等差数列的公差为. 所以，故 又，故， 所以. 故答案为：100. 11. 曲线在处的切线斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可得. 【详解】，所以曲线在处的切线斜率为. 故答案为:. 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入计算求解. 【详解】因，所以， 则. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为3，则____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点半径公式得焦点弦长，由此计算． 【详解】设点,由题意可得. . 故答案为：8. 14. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据裂项相消求和法可得. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为：. 15. 下列有关数列的说法正确的是______（填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据数列的定义判断①；根据数列的通项公式求第11 项，判断②；根据数列的概念，判断③；将所给数列的项代入通项公式逐项检验可判断④. 【详解】数列，与数列的顺序不同，所以不是同一个数列，所以①错误； 数列的通项公式为，则，所以110是该数列的第11项，所以②正确； 已知数列，则按此规律排列，该数列的通项公式为，所以第8个数是，所以③正确； 对于数列，第三项均不满足，所以④错误. 故答案为：②③. 三、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分.请将答案直接答在答题卡上.） 16. 已知等差数列前项和为，，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）设数列，求证：是等比数列，并求出前项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设公差，由条件列出关于，的方程组，求解即得数列通项与前项和. （2）求出，由定义法判断数列为等比数列，利用求和公式即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得， 则，. 【小问2详解】 将代入得：， 又，， 所以为首项为，公比为的等比数列. 所以前项和. 17. 已知数列为等差数列，且，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出的通项公式，由等比数列定义求出的通项公式； （2）利用错位相减求和可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得， 解得. 所以. 由数列满足，得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1），得， 则， 则， 两式作差，得 所以 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为，然后利用导数求出的最小值即可证明. 【小问1详解】 由题，，所以切线斜率为. 因为切点为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 证明：令，则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，. 19. 已知函数． （1）若在处的切线方程为，求的值； （2）当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围； （3）当时，有三个不同零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，得到，得到方程，求得的值，再将代入切线方程，求得，得出，求得的值； （2）当时，，利用二次函数的性质，求得，求得，得出函数的单调性，求得，得出不等式，即可求解； （3）转化为有三个不相等实根，设，利用导数求得的单调区间和极值，结合与有三个交点，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 由函数，可得， 则，所以， 因为在处的切线方程为， 可得，解得， 将代入切线方程，可得， 即，解得，所以 【小问2详解】 当时，， 因为函数的图像象开口向上，对称轴为， 所以， 又因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因为，可得， 所以，则，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，可得， 因为有三个不同零点，所以有三个不相等实根， 即与的图象有三个交点， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又由，且时，；时，， 因为与的图象有三个交点，所以， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年秋季学期天津市瑞景中学期末质量检测 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名填写在答题卡上.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9个小题，每小题4分，共36分. 一、选择题（每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上.） 1. 等差数列中，，则公差（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 192 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 8 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ） A B. C. D. 9. 若曲线有两条过点切线，则实数的取值范围是（　　） A B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共64分. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填在答题卡上.） 10. 记为等差数列的前项和.若，则 11. 曲线在处的切线斜率为______. 12. 若，则______. 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为3，则____________. 14. 已知，，则______. 15. 下列有关数列的说法正确的是______（填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 三、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分.请将答案直接答在答题卡上.） 16. 已知等差数列前项和为，，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）设数列，求证：是等比数列，并求出的前项和. 17. 已知数列为等差数列，且，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 19. 已知函数． （1）若在处的切线方程为，求的值； （2）当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围； （3）当时，有三个不同零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $