精品解析：江苏淮安市淮安区2025-2026学年上学期期末学业质量调研测试八年级数学试题

2025~2026学年第一学期期末学业质量调研测试 八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列实数中，无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义，对四个选项逐个判断，即可得出答案． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解决本题的关键． 2. 在中若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等的性质，结合题目中给出的对应顶点关系找到对应边即可求解． 详解】解：∵， ∴与是对应边， 又∵， ∴， 故选：A． 3. 点关于坐标原点对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；根据关于原点对称的点的坐标性质，点关于原点的对称点为，进而问题可求解． 【详解】解：点关于坐标原点对称的点的坐标为； 故选D． 4. 某校想了解全校1000名学生对足球运动的喜爱情况，随机抽取了150名学生进行统计分析，下列描述正确的是（ ） A. 150名学生是总体 B. 1000名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是150 D. 本次调查是全面调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查总体、样本、样本容量以及调查方式的概念，掌握相关概念是解题的关键． 需依据各概念的准确含义逐一判断选项正误． 【详解】解：总体是研究对象的整体集合，本题中全校1000名学生对足球运动的喜爱情况是总体，选项A错误； 样本是从总体中抽取的部分个体的相关情况，本题中抽取的150名学生对足球运动的喜爱情况是总体的一个样本，选项B错误； 样本容量是样本中个体的数目，是不带单位的数字，本题样本容量为150，选项C正确； 全面调查是对所有研究对象进行调查，本题仅抽取150名学生，属于抽样调查，选项D错误． 故选：C． 5. 下列关系式中，y不是x的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：A． 6. 在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 7. 以方程和解为坐标的点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组及判断点所在象限，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 通过解方程组得到点的坐标，分析坐标的符号与参数的关系，判断点可能出现的象限，发现点的横纵坐标不可能同时为负，因此一定不在第三象限，即可得到答案． 【详解】解：联立， 解得， ， A、当在第一象限，则，解得，存在这样的使在第一象限，不符合题意； B、当在第二象限，则，解得，存在这样的使在第二象限，不符合题意； C、当在第三象限，则，不等式组无解，不存在这样的使在第三象限，符合题意； D、当在第四象限，则，解得，存在这样的使在第四象限，不符合题意； 故选：C． 8. 在如图所示的网格中，点A、点B、点C均为格点，每个小正方形的边长均为1，连接，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 取格点，连接、，先证明，，得到，，进而推出，，再利用等腰三角形的性质求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接、， 由图可得，，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 2025年淮安市城市足球联赛冠军争夺赛淮阴区队工业园区队现场观看人数为24588人，将24588精确到千位所得的近似数为_________（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的近似数、科学记数法，科学记数法表示为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 将24588精确到千位，需看百位数字5，根据四舍五入规则进位，得25000，再用科学记数法表示即可． 【详解】解： 故答案为：． 10. 的整数部分是________________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】看在哪两个整数之间即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵＜＜， ∴4＜＜5， ∴的整数部分为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查估算无理数的大小的知识；用“夹逼法”得到无理数的范围是解决本题的关键． 11. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 等腰三角形的两边长分别为和，需分情况讨论哪条边为腰，并利用三角形的三边关系验证是否能构成三角形，再求周长即可． 【详解】解：当腰为，底边为时，三边分别为、、，，能构成三角形，周长为； 当腰为，底边为时，三边分别为、、，但，不满足三边关系，不能构成三角形． 综上，该三角形的周长为． 故答案为12． 12. 将点A向下平移3个单位后得，则点A的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标平移，熟记点的坐标平移方法是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，向下平移时纵坐标减少，逆向求解点A时需将点B向上平移，纵坐标增加． 【详解】解：∵点A向下平移3个单位后得， ∴点向上平移3个单位的点， ∴， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用的判定定理进行推理并运用数形结合思想．根据垂直求出，再根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 14. 在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，，上的中线，则________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 16. 如图，是等腰直角三角形，，为的中点，点是上的一个动点，将绕点逆时针旋转至，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等；在上取一点，使，连接，过点作于点，证明，根据垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值，计算的长度即可． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于点 ， 是等腰直角三角形， ，， 为的中点， ，，， 根据旋转可得， ，即， ， ， ， 根据垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值， 此时点在处， ，， ，即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共72分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算顺序是解题关键． （1）先计算各根式的值，再按顺序进行加减运算得出结果； （2）先化简绝对值、计算负指数幂和零指数幂，再合并同类项完成计算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义，转化为两个一元一次方程，解方程即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 则或 或． 19. 如图，，，，求证∶ ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明即可得到． 【详解】证明：∵， ∴, ∴， ∵， ∴ ∴． 20. 已知的算术平方根是2，的立方根是1． （1）求和的值． （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义、解一元一次方程，理解定义，正确求解是解答的关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数． （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，即可求解； （2）将（1）中求解的代入代数式求值，再求解平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是2，的立方根是1． ∴，， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 21. 某校团委向全校300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生人数为__________________________； （2）图1中的值是____________，并补全条形统计图； （3）根据样本数据，估计该校本次活动一共捐款多少元？ 【答案】（1）50； （2）32，见解析； （3）估计该校本次活动一共捐款元． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用． （1）确定总人数：利用条形统计图中已知的“5元捐款4人”和扇形统计图中对应的“5元占”建立等式，求出总人数； （2）求并补全条形图：根据扇形图各部分百分比之和为100%计算；用总人数乘以各百分比得到对应人数，补全条形图中缺失的“10元”部分； （3）估计全校捐款总额：先计算样本数据的平均数（总捐款额 总人数），再用样本平均数乘以全校总人数300进行估算即可． 【小问1详解】 解：由条形图知，捐款5元的有4人；由扇形图知，捐款5元的占， 设总人数为，则， 解得（人）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可得：， ∴， 捐款10元的人有：人， 补全条形统计图如图： 故答案为：32； 【小问3详解】 解：样本总捐款额为： 元， 样本平均捐款额为：元， 估计全校300名学生捐款总额为：元， 答：估计该校本次活动一共捐款元． 22. 某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．本题设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∵ ∴， 设的长为，则， ∴． 在中， 由勾股定理，得：， 即 解得：． 答：绳索的长为． 23. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在边上找一点，使得； （2）如图2，在边上求作点，使点到点的距离与点到的距离相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，与交于点，则点即为所求； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，作的平分线与交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求： 理由：由作图可得，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求： 理由：由作图可得，，平分， ∴点到距离与点到的距离相等， 又∵点到距离为， ∴点到点的距离与点到的距离相等． 24. 如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）若，，求的度数． （2）若，的周长为18，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键； （1）先根据线段垂直平分线的性质得到，进而根据等边对等角得到，最后利用三角形的内角和为，即可求出的度数； （2）根据线段垂直平分线的性质求出，再通过的周长为18，得到，最后等量代换即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为18，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的长为． 25. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线，交于点，交轴于点． （1）求直线的表达式和点的坐标． （2）设是直线上与点的距离为2的点，且在点上方，求的面积． （3）以为腰在直线下方作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，求一次函数的解析式，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）先求出点的坐标，再根据，即可解答； （3）根据题意分情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图所示， 由题意得，点的坐标为，即， ，， ． 【小问3详解】 解：如图所示， 当，，且点在直线下方时，记等腰直角三角形为， 过点作轴于点，则， ，，， ． 又， ， ，， ， 点的坐标为； 当，，且点在直线下方时，记等腰直角三角形为， 过点作轴于点，则， 同理可得，， ，， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 26. 我们已经学过一次函数，下面我们参照学习一次函数的过程与方法，探究函数的图像与性质． 【操作发现】 （1）下表是该函数部分的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． …… 0 1 2 …… …… 6 4 2 0 2 4 6 …… 结合函数图像，下列说法错误的是：____________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 （2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的取值范围为_____________________； 【拓展提高】 （3）①若关于的方程有两个不同的解，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，新函数的图像记为，直线与交于、（点在点左侧）两点，轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出的周长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，②；（2）或；（3）①；②存在，的周长为 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出函数图像，再结合函数图像判断每个说法的正误即可； （2）结合函数图像即可求解； （3）①作直线，根据题意可知直线与函数的图像有2个交点，找出临界点代入求出的值，即可解答；②联立函数解析式求出，，根据勾股定理可得；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，，分析可知当三点共线时，的周长有最小值，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）画出函数的图像如下： 结合函数图像，函数有最小值，没有最大值，故①正确； 当时，随的增大而增大，故②错误； 图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确； ∴说法错误的是②； （2）由图像得，当或时，函数值， ∴当函数值时，自变量的取值范围为或； 故答案为：或； （3）①如图，作直线， ∵关于的方程有两个不同的解， ∴直线与函数的图像有2个交点， 当直线经过点时，则，解得， ∴的取值范围为； ②联立， 解得或， ∴，， ∴； 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ∴， ∵的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为， ∴综上，存在，的周长为． 【点睛】本题考查了描点法画函数图像、一次函数的图像与性质、一次函数的交点问题、勾股定理、轴对称的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 27. 综合与实践 【教材回顾】如图1中的（1），把正方形纸片对折后再展开，折痕为；如（2），将点翻折到上的点处，且使折痕过点；如（3），沿折叠，得[如图1（4）]． 阅读上述材料，请证明是等边三角形； 【探索发现】在等边三角形的基础上我们继续探究，已知是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到． （1）如图1，______________．（用含的式子表示） （2）如图2，点在延长线上，且． ①试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②若，求的长．（用含的式子表示） 【答案】教材回顾：证明见解析；探索发现：（1）；（2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】教材回顾：根据正方形的性质得到，根据翻折的性质得到，，则有，再利用等边三角形的判定即可证明； 探索发现：（1）根据等边三角形和翻折的性质即可求解； （2）①在上取一点使得，连接，先证明是等边三角形，得到，，进而证明，得出，，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可得出结论； ②补全图形，先证明三点共线，则有，通过证明，得到，再结合①中的结论即可求解． 【详解】解：教材回顾： 证明：∵正方形纸片， ∴， ∵正方形纸片对折后再展开，折痕为， ∴是的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∵将点翻折到上的点处，且使折痕过点， ∴， ∴， ∴， ∴等边三角形； 探索发现： （1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵沿对折，得到， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①如图2，在上取一点使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴； ②如图， 由①得，， ∴， ∴， 由（1）可知 ∵沿对折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由①得，； ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定、翻折的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期末学业质量调研测试 八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列实数中，无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 13 3. 点关于坐标原点对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 某校想了解全校1000名学生对足球运动的喜爱情况，随机抽取了150名学生进行统计分析，下列描述正确的是（ ） A. 150名学生是总体 B. 1000名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是150 D. 本次调查是全面调查 5. 下列关系式中，y不是x函数是（ ） A. B. C. D. 6. 在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（ ） A. 三条高线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 7. 以方程和的解为坐标的点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在如图所示的网格中，点A、点B、点C均为格点，每个小正方形的边长均为1，连接，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 2025年淮安市城市足球联赛冠军争夺赛淮阴区队工业园区队现场观看人数为24588人，将24588精确到千位所得的近似数为_________（用科学记数法表示）． 10. 的整数部分是________________ ． 11. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______． 12. 将点A向下平移3个单位后得，则点A的坐标为________． 13. 如图，，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是______． 14. 在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 15. 在中，，，上中线，则________． 16. 如图，是等腰直角三角形，，为的中点，点是上的一个动点，将绕点逆时针旋转至，则的最小值为_____________． 三、解答题（本大题共11小题，共72分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2） 19. 如图，，，，求证∶ ． 20. 已知算术平方根是2，的立方根是1． （1）求和的值． （2）求的平方根． 21. 某校团委向全校300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生人数为__________________________； （2）图1中的值是____________，并补全条形统计图； （3）根据样本数据，估计该校本次活动一共捐款多少元？ 22. 某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 23. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在边上找一点，使得； （2）如图2，在边上求作点，使点到点的距离与点到的距离相等． 24. 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）若，，求的度数． （2）若，的周长为18，求的长． 25. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线，交于点，交轴于点． （1）求直线的表达式和点的坐标． （2）设是直线上与点的距离为2的点，且在点上方，求的面积． （3）以为腰在直线下方作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 26. 我们已经学过一次函数，下面我们参照学习一次函数的过程与方法，探究函数的图像与性质． 【操作发现】 （1）下表是该函数部分的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． …… 0 1 2 …… …… 6 4 2 0 2 4 6 …… 结合函数图像，下列说法错误的是：____________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 （2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的取值范围为_____________________； 【拓展提高】 （3）①若关于的方程有两个不同的解，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，新函数图像记为，直线与交于、（点在点左侧）两点，轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出的周长，若不存在，请说明理由． 27. 综合与实践 【教材回顾】如图1中的（1），把正方形纸片对折后再展开，折痕为；如（2），将点翻折到上的点处，且使折痕过点；如（3），沿折叠，得[如图1（4）]． 阅读上述材料，请证明是等边三角形； 【探索发现】在等边三角形的基础上我们继续探究，已知是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到． （1）如图1，______________．（用含的式子表示） （2）如图2，点在延长线上，且． ①试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②若，求的长．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $