精品解析：河南民权县人和镇二中等校2025-2026学年上学期期末九年级数学试题

2025-2026学年度上期期末素质测试题 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、，整理得，故选项A符合题意； B、，整理得，是一元一次方程，故选项B不符合题意； C、，整理得，含有两个未知数，故选项C不符合题意； D、，整理得，是一元一次方程，故选项D不符合题意． 故选：A． 2. 用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（ ） A. 旭日东升 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 守株待兔 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解：旭日东升是一定会发生的， 大海捞针可能发生，也有可能不发生，但是发生的可能性极小， 返老还童是不可能发生的， 守株待兔是可能发生，也有可能不发生， ∴事件发生的可能性最大的是如日东升， 故选：A． 3. 下列字母中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的概念是关键；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据定义逐一判断即可. 【详解】解：A、本选项中的字母不是中心对称图形，不符合题意； B、本选项中的字母不是中心对称图形，不符合题意； C、本选项中的字母不是中心对称图形，不符合题意； D、本选项中的字母是中心对称图形，符合题意； 故选：D. 4. 科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 锐角A满足cosA=，利用计算器求∠A时，依次按键则计算器上显示的结果是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】本题要求能熟练应用计算器． 【详解】依次按键，显示的是的值， 即A的度数为60． 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是结合计算器的用法，考查特殊角三角函数值，解题关键是熟记有关特殊角的三角函数值． 6. 定义新运算．例如，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，先根据题中新定义得到方程，再根据根的判别式的大小可得结论． 【详解】解：由题意，关于x的方程可转化为方程， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，周长为4，则的周长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确得出和的周长比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出和的周长比，进而求出答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， 和的周长比等于位似比是， 的周长为， 的周长为． 故选：B． 8. 如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（  ） A. (30+5)πm2 B. 40πm2 C. (30+5)πm2 D. 55πm2 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的面积得到底面圆的半径为 5 ，再利用勾股定理计算出母线长， 接着根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积， 最后求它们的和即可 ． 【详解】设底面圆的半径为R， 则，解得R=5， 圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积； 圆柱的侧面积， 所以需要毛毡的面积=(30+5) πm2． 故选． 【点睛】考查了圆锥的计算： 圆锥的侧面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长 ． 9. “利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（    ） A. 时，y的值随x的增大而减小 B. 时，y的值随x的增大而增大 C. 图象不经过第二象限 D. 图象不经过第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质． 画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：如图， ，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意； 由图可知图象经过第二、三、四象限， 故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点，都是“龙点”．若将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点为“龙点”，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，二次函数的顶点式，平面直角坐标系的新定义，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据题意将解析式化为顶点式，进而根据平移的性质得出抛物线的顶点坐标为，根据新定义列出方程，解方程，即可求解． 【详解】， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点为“龙点”， ， 解得或， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个函数表达式，使其过点，___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，可设反比例函数表达式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设函数表达式为，将点代入得， 解得：， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若点，在二次函数的图象上，则的大小关系是___________(用“”连接)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，函数值大小比较．根据二次函数的对称性，进行判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 13. 经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为__________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理及三角函数的定义，先根据点A，B，O的坐标求出相关线段长度，再利用圆周角定理的推论得到角的关系，最后求解三角函数的值． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴是的直径， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径4cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率为____ 【答案】 【解析】 【分析】分别求出铜钱的面积和正方形小孔的面积，由几何概率公式即可得出结果． 【详解】∵直径为4cm的铜钱的面积=π×22=4π，边长为1cm的正方形小孔的面积=1×1=1， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率公式、圆的面积公式、正方形面积公式，熟记概率公式，求出圆面积和正方形面积是解题关键． 15. 数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为“诺模图”．如图是关于x，y，z三者关系的诺模图，它是由点O出发的三条射线a，b，c组成，每条射线上都有相同的刻度，且射线端点刻度为0，其中a和c，b和c都相交成角．在射线a和b上分别取点A和B，对应的刻度值是x和y．用直尺连结交射线c于点C，点C的刻度值就是z的值． （1）若，，则z的值是________； （2）若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等，解法一的关键是正确地作出辅助线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求出z，y，z之间的关系；解法二的关键是通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数及三角形的面积求出z，y，z之间的关系． 方法一（利用相似三角形）：过点C作交于点D，先证为等边三角形得，进而得，再证得，由此得，然后整理得． （1）将，代入之中即可求出z的值； （2）将代入之中即可求出的值． 解法二（面积法）：过点C作于E，于F，过B作交的延长线于H，利用三角函数分别求出， ， ，进而可得， ， ，然后根据，得． （1）将，代入之中即可求出z的值； （2）将代入之中即可求出的值． 【详解】解法一（利用相似三角形）：过点C作交于点D，如图1所示： 依题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：， （1）当，时，， 解得； 故答案为：. （2）当时，， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 解法二（面积法）：过点C作于E，于F，过B作交的延长线于H，如图2所示： 依题意得：，， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， （1）当，时，， 解得； 故答案为：. （2）当时，， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先移项，再将二次项系数化为1，最后根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 17. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，，． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质证明，即可； （2）根据得，结合，，解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 故． 18. 小敏打印了如图所示的四张城市照片（这四张照片依次分别用字母表示，四张照片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张照片背面朝上，洗匀放好． （1）小敏从中随机抽取一张照片是西双版纳D的概率是___________； （2）小敏计划从中随机抽取两张照片，请用列表法或画树状图法计算小敏抽取的两张照片恰好是丽江B和香格里拉C的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小敏抽取的两张照片恰好是丽江B和香格里拉C的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小敏从中随机抽取一张照片是西双版纳D的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小敏抽取的两张照片恰好是丽江B和香格里拉C的结果有 2种， ∴小敏抽取的两张照片恰好是丽江B和香格里拉C的概率为． 19. 如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1． （1）直接写出的值是___________； （2）如图2，若点在第一象限，过点的直线与轴交于点．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：点在直线上，且点在第一象限， ． ∵轴， ，． 当时，， ． ，则． ． ． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再根据函数图象在第一象限即可得到答案； （2）根据题意得到，求出，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵轴，且点A是反比例函数图象上任意一点， ∴， ∵反比例函数图象分布在第一象限， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 20. 中国的基建速度震惊世界，大大激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．已知桥拱与抛物线的形状相同． （1）的值为 ． （2）当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． （3）若水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】（1） （2）当水面的宽度为时，桥拱顶点到水面的高度为 （3）若水面下降，水面宽度增加米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． （1）根据二次函数的性质即可解得； （2）由题意得，令解出方程即可得到解答； （3）由题意得，令解出方程即可得到解答． 【小问1详解】 解：∵桥拱可以用抛物线的一部分表示，其解析式为，且桥拱与抛物线的形状相同， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：水面的宽度为， 点的横坐标为5， 把代入中，得：， 当水面的宽度为时，桥拱顶点到水面的高度为； 【小问3详解】 解：由（2）得，当水面下降时，拱桥顶点到水面的高度为， 把代入中，得：， 解得：， 此时水面的宽度为：（米）， 若水面下降，水面宽度增加米． 21. 嫦娥五号搭载长征五号遥五运载火箭发射升空，为我国探月工程中“绕、落、回”三步战略画上完美句号．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°（所有结果取小数点后两位）． （1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离； （2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？ （参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin45.54°≈0.71，cos45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02） 【答案】（1）雷达站到发射处的水平距离为4.38km （2）这枚火箭从A到B的平均速度为0.39km/s 【解析】 【分析】（1）在Rt△ARL中，利用cos43°=可求出答案； （2）求出AL、BL、AB的长，即可求出移动的速度 【小问1详解】 解：在Rt△ARL中， RL=AR•cos43°≈4.38（km）； 【小问2详解】 在Rt△ARL中，AL=AR•sin43°≈4.08（km）， 在Rt△BRL中，BL=RL•tan45.54°≈4.468（km）， ∴AB=BL-AL=0.388≈0.39（km）， ∴速度为0.39km/s， 答：雷达站到发射处的水平距离为4.38km，这枚火箭从A到B的平均速度为0.39km/s． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数和仰角、俯角的意义是解决问题的关键． 22. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求车轮的半径． 【答案】（1）证明：连结． 切于点， ． ， ， ． ， ∴， ， 平分． （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、等边对等角，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质和垂直得到，再利用等边对等角得到，即可证明结论成立； （2）利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的半径为，则． 在中，，，，， 解得，即的半径为． 23. 【问题背景】如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，已知． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． （3）【迁移运用】如图，是等边三角形外一点，连接．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】（1） 证明：∵旋转， ∴， ∴是等边三角形； （2） 证明：由①知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； （3）B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，通过旋转构造特殊三角形，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，进而得到，勾股定理求出，等量代换即可得出结果； （3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，交于点，交于点，交于点，先证明为等边三角形，得到，，勾股定理逆定理，得到，进而得到，三角形的内角和定理推出，进而推出，三线合一，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵等边三角形， ∴， 将绕点逆时针旋转，得到，连接，交于点，交于点，交于点， 则：， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，； 故选B． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期末素质测试题 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（ ） A. 旭日东升 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 守株待兔 3. 下列字母中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 锐角A满足cosA=，利用计算器求∠A时，依次按键则计算器上显示的结果是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 6. 定义新运算．例如，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，，周长为4，则的周长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 8. 如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（  ） A. (30+5)πm2 B. 40πm2 C. (30+5)πm2 D. 55πm2 9. “利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（    ） A. 时，y的值随x的增大而减小 B. 时，y的值随x的增大而增大 C. 图象不经过第二象限 D. 图象不经过第四象限 10. 在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点，都是“龙点”．若将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点为“龙点”，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个函数表达式，使其过点，___________． 12. 若点，在二次函数的图象上，则的大小关系是___________(用“”连接)． 13. 经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为__________________ ． 14. 《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径4cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率为____ 15. 数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为“诺模图”．如图是关于x，y，z三者关系的诺模图，它是由点O出发的三条射线a，b，c组成，每条射线上都有相同的刻度，且射线端点刻度为0，其中a和c，b和c都相交成角．在射线a和b上分别取点A和B，对应的刻度值是x和y．用直尺连结交射线c于点C，点C的刻度值就是z的值． （1）若，，则z的值是________； （2）若，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，，． （1）求证：； （2）若，，求． 18. 小敏打印了如图所示的四张城市照片（这四张照片依次分别用字母表示，四张照片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张照片背面朝上，洗匀放好． （1）小敏从中随机抽取一张照片是西双版纳D的概率是___________； （2）小敏计划从中随机抽取两张照片，请用列表法或画树状图法计算小敏抽取的两张照片恰好是丽江B和香格里拉C的概率． 19. 如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1． （1）直接写出的值是___________； （2）如图2，若点在第一象限，过点的直线与轴交于点．求证：． 20. 中国的基建速度震惊世界，大大激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．已知桥拱与抛物线的形状相同． （1）的值为 ． （2）当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． （3）若水面下降，水面宽度增加多少？ 21. 嫦娥五号搭载长征五号遥五运载火箭发射升空，为我国探月工程中“绕、落、回”三步战略画上完美句号．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°（所有结果取小数点后两位）． （1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离； （2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？ （参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin45.54°≈0.71，cos45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02） 22. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求车轮的半径． 23. 【问题背景】如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，已知． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． （3）【迁移运用】如图，是等边三角形外一点，连接．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $