第03讲 一元二次方程（3知识点+7题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪科版

第03讲 一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程的定义 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ； C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ； 故选：D 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．根据一元二次方程必须满足两个条件：（）含有一个未知数，未知数的最高次数是；（）二次项系数不为．据此逐项判定即可． 【详解】解：①是整式方程，且只有一个未知数，最高次项为次，是一元二次方程； ②含有分式项，不是整式方程，不是一元二次方程； ③可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程； ④可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程． ∴一元二次方程有①、③、④，共个． 故选：C． 知识点2 ：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 【即时训练】 3．（24-25八年级下·安徽·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 一元二次方程的一般形式为，将给定方程通过展开和移项化为该形式即可． 【详解】∵ ， 展开得 ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ． 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，，1 B．2，3，1 C．2，， D．2，3， 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，，1． 故选：A． 知识点3 ：一元二次方程的根 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 【即时训练】 5．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，将代入方程求解m即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴代入得：， 即 ∴． 故选：C． 6．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，先理解题意，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 则 ． 【题型1 一元二次方程的定义】 例1．如果关于的方程是一元二次方程，那么需要满足条件（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为零，即可求解． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数. 故选：A． 例2．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程，即方程的未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 变式1．写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数为2的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．下列方程是一元二次方程的是 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（5） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程． 【详解】解：（1），不是整式方程，不是一元二次方程； （2），含有2个未知数，不是一元二次方程； （3），不是整式方程，不是一元二次方程； （4），未知数的最高次数为3，不是一元二次方程； （5），是一元二次方程； （6），当时，是一元二次方程； 故答案为：（5） 变式3．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有 （填序号）． 【答案】①⑥ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 【题型2 化成一元二次方程的一般式】 例1．将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程通过移项化为（）的形式． 将方程右边的移到左边，使方程右边为即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（）， 将方程两边同时减去，得，对应选项B． 故选：B． 例2．把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程展开并整理成一般形式 ，通过比较系数确定 和 的值． 【详解】解： 原方程为 ， 化为一般式可得：， 与一般形式 对比， 可得：，， 故选：B． 变式1．一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得 ， 故答案为：或． 变式2．写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的解，根据一元二次方程二次项系数为1和有一根为2的条件，通过设另一根为1，利用因式分解构造方程即可． 【详解】解：由于二次项系数为1，且有一根为，可设另一根为， 则方程为，展开得， 取，得， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 【题型3 判断是否是一元二次方程】 例1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 例2．一元二次方程化为一般形式后，一次项系数为（  ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义理解；将一元二次方程化为一般形式后得，可得一次项为，由单项式的系数，即可求解；理解一元二次方程的项是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 一次项为， 一次项系数为， 故选：B． 变式1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程解答即可，掌握定义也是解题关键． 【详解】解：A．，未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； C．，不是整式方程，即不是一元二次方程，不符合题意； D．，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 变式2．方程的二次项系数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 变式3．将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 【题型4 由一元二次方程的定义求参数】 例1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据二次项系数不能为零，列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选D． 例2．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 变式1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 变式2．关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且． 解方程，得，即， ∴或． ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 变式3．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 【题型5 判断是否是一元二次方程的解】 例1．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 例2．对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，包括各项的定义和根的检验，通过对比方程的一般形式并验证根，即可判断错误选项 【详解】∵ 方程 中， 选项A：二次项是 ，正确，不符合题意； 选项B：一次项系数是 ，不是3，错误，符合题意； 选项C：常数项是1，正确，不符合题意； 选项D：当 时，，是根，正确，不符合题意； 故选B 变式1．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 变式2．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 变式3．已知是一元二次方程一个根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 【题型6 由一元二次方程的解求参数】 例1．关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将根代入方程求解m． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故m的值为． 故选：D． 例2．已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 【答案】B 【分析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值．根据题意有，即有，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵m为的根， ∴，且， ∴， ∴ ， 故选：B． 变式1．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 将已知根代入方程，利用方程的解的定义求解． 【详解】将代入方程得： ， 即， 解得． 故答案为：2． 变式2．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值．把代入，可得，从而得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025 变式3．已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的定义可得，，再两边同时除以，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，且 ∴， ∴． 【题型7 一元二次方程解的估算】 例1．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是． 故选：C． 例2．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 变式1．小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是 ． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 变式2．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 变式3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为，且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 2．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是理解方程解的定义． 根据方程解的定义求出，整体代入求解． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 故选：A． 3．下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的概念，掌握好一元二次方程的定义与注意点是解题关键． 判断一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数、未知数的最高次数为2、方程为整式方程（分母不含未知数），逐一检查每个方程是否符合条件． 【详解】解： ① ：未明确，若则不是二次方程，故不满足； ② ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ③ ：展开得 ，最高次数为3，故不满足； ④ ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ⑤ ：含两个未知数x和y，故不满足； ⑥ ：展开得 ，最高次数为4，故不满足； ⑦ ：满足一元二次方程条件，故满足； ⑧ ：满足一元二次方程条件，故满足． ∴ 只有⑦和⑧是一元二次方程，共2个． 故选：C． 4．下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 5．设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 利用方程根的性质，将原表达式化简，并利用已知条件求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 由方程两边除以a得， ∴． 故选A． 6．如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解． 根据凤凰方程的定义得，根据方程且有一个解为得，通过加减消元即可求解． 【详解】解：∵方程是凤凰方程， ∴． ∵是方程的解， ∴，即． 将两式相加：，得 ， ∴，即． 将两式相减：，得 ， ∴． 故且， 故选C． 7．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 8．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的新定义，理解题意是解题的关键．根据“和谐”方程和“美好”方程的定义，分别列出关于m和n的方程，联立求解得出m和n的值，进而计算． 【详解】由方程是“和谐”方程，，得， 由方程是“美好”方程，，得 得：，解得， 将代入①得：，解得， ， 故选：D． 9．若是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程 ， 可得：， 即， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 10．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，根据方程根的定义，将代入方程得到，然后将代数式 变形为，整体代入求值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．若t是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值， 根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到关系式，然后化简，即可求出答案． 【详解】解：因为 是方程 的一个根， 所以 ，即 ， 又因为 ， 所以 ． 故答案为：8． 12．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 13．若a是关于x的一元二次方程的一个根，是关于x的一元二次方程的一个根，且，则n的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的定义．由题意，a 是方程 的根，代入得关系式；是方程 的根，代入得另一关系式；结合已知 ，通过代数变换得到关于 a 和 b 的方程，利用非负性确定 a 和 b 的值，进而求出n． 【详解】解：∵ a 是方程 的根， ∴ ， 即 . ∵是方程 的根， ∴ ， 展开得 ， 简化得 ， 即 . 又已知 . ， 整理得 . 即 . ∵ ，， ∴ ，， 即 ，. ∴. 故答案为： 14．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 12 【分析】根据一元二次方程的根的定义得到，把原式变形后利用整体代入的方法计算即可． 本题主要考查了代数式求值，一元二次方程的根的定义和整体思想，熟练掌握一元二次方程的根的定义和整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ． 15．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 16．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解． 先化简代数式，再利用方程条件求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． 17．方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 18．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 19．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析 (2) (3)m的值为1或 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程的定义 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点2 ：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 【即时训练】 3．（24-25八年级下·安徽·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，，1 B．2，3，1 C．2，， D．2，3， 知识点3 ：一元二次方程的根 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 【即时训练】 5．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（） A． B． C．3 D．1 6．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【题型1 一元二次方程的定义】 例1．如果关于的方程是一元二次方程，那么需要满足条件（   ） A．； B．； C．； D．． 例2．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 变式1．写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程 ． 变式2．下列方程是一元二次方程的是 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 变式3．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有 （填序号）． 【题型2 化成一元二次方程的一般式】 例1．将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．一元二次方程化成一般形式为 ． 变式2．写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是 ． 变式3．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【题型3 判断是否是一元二次方程】 例1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 例2．一元二次方程化为一般形式后，一次项系数为（  ） A．3 B． C．4 D． 变式1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式2．方程的二次项系数是 ． 变式3．将一元二次方程化成一般形式为 ． 【题型4 由一元二次方程的定义求参数】 例1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 变式1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 变式2．关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 变式3．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【题型5 判断是否是一元二次方程的解】 例1．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 例2．对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 变式1．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 变式3．已知是一元二次方程一个根，则的值为 ． 【题型6 由一元二次方程的解求参数】 例1．关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 例2．已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 变式1．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 变式2．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 变式3．已知是方程的一个根，求的值． 【题型7 一元二次方程解的估算】 例1．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 例2．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 变式1．小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是 ． x 0 1 2 13 变式2．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是 ． 变式3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 2．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 3．下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 4．下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 5．设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 6．如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 7．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 8．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 9．若是方程的一个根，则 ． 10．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 11．若t是方程的一个根，则的值为 ． 12．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 13．若a是关于x的一元二次方程的一个根，是关于x的一元二次方程的一个根，且，则n的值为 ． 14．已知是方程的一个根，求代数式的值． 15．已知是方程的一个根，试求的值． 16．已知是方程的一个根，求代数式的值． 17．方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 18．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 19．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $