第06讲 三角形的中位线与梯形（知识详解+8典例分析+习题巩固） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第06讲 三角形的中位线与梯形（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形的中位线及其定理 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 符号语言 在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐷,𝐸 分别是边𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点， ∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶 的中位线. 三角形的中位线定理 内容 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言 在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐷,𝐸 分别是边𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶 ，且𝐷𝐸=12𝐵𝐶 . 应用 （1）位置关系：证明两条直线平行.（2）数量关系：证明线段相等或倍分. 辨析：三角形的中位线与三角形的中线的区别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 __________________（注意：一个三角形有三条中位线） 符号语言 ∵𝐷，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶 ，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点，∴𝐷𝐸 ，𝐸𝐹，𝐹𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的中位线. ∵𝐷，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶 ，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点，∴𝐴𝐷 ，𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶 的中线. 区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段. 面积上： 三角形的中位线 三角形的中线 区别 周长上： 区别 【知识点02】梯形的概念 1.梯形的相关概念 定义 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形. 图示 相关概念 上底 互相平行的一组对边中，较短的边叫作梯形的上底. 下底 互相平行的一组对边中，较长的边叫作梯形的下底. 2.特殊的梯形 定义 符号语言 图示 等腰梯形 两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，如果𝐴𝐵=𝐶𝐷 ，那么梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 是等腰梯形. 直角梯形 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形. 如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，如果∠𝐵=90°，那么梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 是直角梯形. 【知识点03】梯形、三角形、平行四边形之间的关系 梯形、三角形、平行四边形之间的关系 【题型一】与三角形中位线有关的求解问题 例1．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，、所在直线互相垂直，E、F分别是、的中点．当时， ． 变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E、F、G、H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形周长的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，则的面积为 ． 变式3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点D，E分别在，边上，分别连接、，点M、N、H分别是、、的中点，连接、、． (1)试猜想是何特殊三角形，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【题型二】与三角形中位线有关的证明 例3．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）在四边形中，对角线，那么顺次连接四边形各边的中点所得的四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 例4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，顺次连接“垂美四边形”各边中点所得的四边形是 ． 例5．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）．如图，在中，，、、分别是、、的中点．求证：； 变式1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（    ） A．对角线互相垂直的四边形 B．对角线相等的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形 变式2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 变式3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）已知：如图，在中，，D，E，F分别是的中点．求证：． 【题型三】三角形中位线的实际应用 例6．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（    ） A． B． C． D． 例7．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出，的中点，，并测量出长为，由此可知，间距离 ． 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）校园里有一处假山，该校数学兴趣小组同学想知道假山脚A、B两点之间的距离，但线段的长度不便于直接测量，该小组想了个办法，示意图如图，先在假山旁无遮挡地面上确定点O，分别确定，的中点C，D，最后用卷尺量出，则A，B间距离是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，小华同学想测量池塘两处之间的距离．他先在外选一点，然后找出，的中点为，测得，则之间的距离为 ． 变式3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【题型四】中点四边形 例8．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来的四边形（    ） A．是菱形 B．是矩形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 例9．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 变式1．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 变式2．（22-23八年级下·江苏盐城·月考）若顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形需满足条件 ． 变式3．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD、AC的中点，依次连接E，G，F，H． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由； （3）若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF= °． 【题型五】(等腰)梯形的定义 例10．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 变式1．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）三条边长分别为2，3，8的等腰梯形的周长是 ． 变式2．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 【题型六】直角梯形的定义 例11．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 变式1．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 变式2．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【题型七】等腰梯形的性质定理 例12．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 变式1．在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 变式2．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，于点，于点，，，．点分别在线段上，顺次连接，线段、、、所围成的封闭图形记为，若点在线段上运动时，点也随之在线段上运动，使图形的形状发生改变，但面积始终为，设． (1)求与之间函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，为三角形？ (3)求出线段在运动过程中所扫过的区域的面积． 【题型八】等腰梯形的判定定理 例13．下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 变式1．已知在梯形中，，，，那么等于 度． 变式2．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，且，．求证：四边形是等腰梯形． 一、单选题 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长是（    ） A．4 B．5 C． D． 2．如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接．若，则的长为（   ） A．8 B．9 C．12 D．15 3．下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 4．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 5．如图，在四边形中，E，G分别是对角线，的中点，F，H分别是边，的中点，依次连接E，F，G，H得到四边形．要使四边形为菱形，那么应添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 6．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，是边上的中线．求证：．    方法1：如图1，延长至点E，使，连接． 方法2：如图2，取边的中点E，连接． 下列说法正确的是（   ） A．只有方法1可以证明该定理，运用了平行四边形的对角线互相平分 B．只有方法2可以证明该定理 C．方法2不可以证明该定理 D．方法1、方法2都可以证明该定理 7．如图，菱形中，E，F分别是边上的动点（E，F不与菱形的顶点重合），连接，G，H分别为的中点，连接．若，的最小值是，则菱形的边长是（　　） A． B． C．6 D．3 8．如图，四边形ABCD，AB＝4BC，对角线AC，BD交于点O，BD⊥AD，∠ABD＝∠CBD＝α，（0°＜α＜90°）．萧临同学看到题中的条件的高线（BD⊥AD）和角平分线（∠ABD＝∠CBD），想到把四边形转化为三角形来解题：延长BC和AD交于点E，则△ABE为等腰三角形……，由此他得到了两个结论：①若α＝60°，则；②设△ABO和△CDO的面积之差为y，当α＝45°时，y最大．则萧临同学得到的两个结论（　　） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 9．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定是（    ） A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等 10．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的 A，B 两点的距离，同学们在 外选择一点 C，测得，两边中点的距离为 15m，则 A，B 两点的距离是 m．    12．如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长是 ．    13．如图，中，点D是的中点，点E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为 ． 14．如图，线段，在线段上有一点C，当时，以为直角边在上方作等腰，，P为平面内一点，连接，，将和分别沿，翻折得到和，若A、、P恰好共线，则线段的最小值是 ． 15．如图，在平行四边形中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值为 ，最小值为 16．如图，在中，D，E，F分别是的中点，点M是线段上任意一点，点N是和平分线的交点，连接．有以下结论： ①； ②的面积是面积的一半； ③保持的大小不变，改变的长度可使四边形是菱形成立； ④保持的长度不变，改变的大小可使四边形是正方形成立． 其中所有正确结论是： ．（填序号即可） 17．如图，边长分别为．P为的平分线上一点，且，M为的中点，则的值是 ． 18．如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为 ． 三、解答题 19．如图，中，AD平分，E是中点，，，，求的长． 20．如图，D，E，F分别是的边，的中点． (1)求证：与互相平分． (2)当满足___________时，四边形是矩形． 21．如图，在中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，的度数为53°． (1)求∠C的度数； (2)求四边形ADEF的周长． 22．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 23．已知等腰直角三角形，点分别为中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出三角形的中位线； (2)在图2中，画出点关于的对称点． 24．问题提出：    (1)如图1，在中，，点、分别是，的中点，则的长为___； 问题探究： (2)如图2，在中，，点在上，，点在上，，连接，、分别为、的中点，求的长度？ 问题解决： (3)西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪内对角线右侧修建一个三角形池塘，如图，，，，为草坪入口，为草坪出口，在人行道的中点处有一个凉亭，在池塘处是一个观景台，游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？ 25．如图，四边形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）． （1）当四边形ABCD正方形时，写出a，b，c，d满足的等式关系 ： （2）若AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H． ①直接写出E、F、G、H四点的坐标； ②证明：四边形EFGH是矩形； ③若矩形EFGH是正方形，则a，b，c，d满足的等式关系是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 三角形的中位线与梯形（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形的中位线及其定理 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 符号语言 在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐷,𝐸 分别是边𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点， ∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶 的中位线. 三角形的中位线定理 内容 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言 在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐷,𝐸 分别是边𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶 ，且𝐷𝐸=12𝐵𝐶 . 应用 （1）位置关系：证明两条直线平行.（2）数量关系：证明线段相等或倍分. 辨析：三角形的中位线与三角形的中线的区别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 __________________（注意：一个三角形有三条中位线） 符号语言 ∵𝐷，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶 ，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点，∴𝐷𝐸 ，𝐸𝐹，𝐹𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的中位线. ∵𝐷，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶 ，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点，∴𝐴𝐷 ，𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶 的中线. 区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段. 面积上： 三角形的中位线 三角形的中线 区别 周长上： 区别 【知识点02】梯形的概念 1.梯形的相关概念 定义 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形. 图示 相关概念 上底 互相平行的一组对边中，较短的边叫作梯形的上底. 下底 互相平行的一组对边中，较长的边叫作梯形的下底. 2.特殊的梯形 定义 符号语言 图示 等腰梯形 两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，如果𝐴𝐵=𝐶𝐷 ，那么梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 是等腰梯形. 直角梯形 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形. 如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，如果∠𝐵=90°，那么梯形𝐴𝐵𝐶𝐷 是直角梯形. 【知识点03】梯形、三角形、平行四边形之间的关系 梯形、三角形、平行四边形之间的关系 【题型一】与三角形中位线有关的求解问题 例1．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三线合一、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴ 故选：． 例2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，、所在直线互相垂直，E、F分别是、的中点．当时， ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及勾股定理的应用，熟记三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半是解决本题的关键． 通过构造辅助线，，，再由，，结合平行线的性质，即可求出的长度． 【详解】解：连接，取的中点H，再连接、，如图， 在中，因为E是的中点，H是的中点， 可得是的中位线， 所以， 已知，则， 在中，因为F是的中点，H是的中点， 同理可得是的中位线， 所以， 已知，则， 因为，，且、所在直线互相垂直， 所以，即， 在中，可得， 把，代入上式，可得， 所以． 故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E、F、G、H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形周长的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，再根据四边形的周长公式判断即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵四边形的周长， ∴已知线段和的长度，能得到四边形的周长， 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，则的面积为 ． 【答案】12 【知识点】根据矩形的性质求面积、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 先利用中位线定理求出，再由的面积等于矩形面积进行求解即可． 【详解】解：∵D、E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， 故答案为：12． 变式3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点D，E分别在，边上，分别连接、，点M、N、H分别是、、的中点，连接、、． (1)试猜想是何特殊三角形，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)直角三角形且． (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了中位线的性质和勾股定理等性质，解决此题的关键是合理利用中位线的性质． （1）根据中位线的性质可知，，所以可得，，因为，进而可得到答案； （2）根据中位线的性质：中位线等于第三边的一半，再根据勾股定理即可得到答案； 【详解】（1）解：是直角三角形，且，理由如下： ∵是的中位线， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：∵是的中位线，， ∴， 同理得：， 由（1）可知：， ∴． ∴线段的长为． 【题型二】与三角形中位线有关的证明 例3．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）在四边形中，对角线，那么顺次连接四边形各边的中点所得的四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线的定理等知识点．利用三角形中位线的性质得到四边形的四边相等即可解答． 【详解】解：∵E、F、G、H是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：D． 例4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，顺次连接“垂美四边形”各边中点所得的四边形是 ． 【答案】矩形 【知识点】矩形的判定定理理解、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了矩形的判定方法、三角形中位线定理，由三角形中位线的性质得出四边形是平行四边形，证明出四边形是矩形，得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，，点、、、分别为各边的中点，连接、、、， ， ∵点、、、分别为各边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． 例5．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）．如图，在中，，、、分别是、、的中点．求证：； 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、矩形性质理解、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．证、分别是的中位线，得，，则四边形是平行四边形，再由，即可得出是矩形，根据矩形的性质即可得证． 【详解】证明：，，分别是，，的中点， 、分别是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ∴． 变式1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（    ） A．对角线互相垂直的四边形 B．对角线相等的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的证明、矩形性质理解 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理．根据中点四边形为矩形，得到四边形的对角线互相垂直，即可得出结果． 【详解】解：如图：分别为的中点，四边形为矩形， 则：， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形一定是对角线互相垂直的四边形； 故选A． 变式2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】矩形性质理解、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）已知：如图，在中，，D，E，F分别是的中点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的证明 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】证明：，E是的中点， ． ，F分别是的中点， 是的中位线， ， ． 【题型三】三角形中位线的实际应用 例6．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可计算． 【详解】解：、分别是和的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 例7．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出，的中点，，并测量出长为，由此可知，间距离 ． 【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】此题考查了三角形中位线定理，证明是的中位线，则，即可得到答案． 【详解】解：∵的中点分别为M，N， ∴是的中位线， ∴ ∴， 即A，B间距离为， 故答案为： 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）校园里有一处假山，该校数学兴趣小组同学想知道假山脚A、B两点之间的距离，但线段的长度不便于直接测量，该小组想了个办法，示意图如图，先在假山旁无遮挡地面上确定点O，分别确定，的中点C，D，最后用卷尺量出，则A，B间距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，先根据点C，D分别是，的中点，得是的中位线，则，即可作答． 【详解】解：∵点C，D分别是，的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故选：D 变式2．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，小华同学想测量池塘两处之间的距离．他先在外选一点，然后找出，的中点为，测得，则之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形的中位线，根据三角形中位线的性质解答即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 【题型四】中点四边形 例8．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来的四边形（    ） A．是菱形 B．是矩形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【知识点】矩形性质理解、中点四边形 【分析】本题考查中点四边形，矩形的性质和判定，由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形． 【详解】解：依题意，∵、、、分别是、、、的中点， ∴由三角形中位线定理得：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形，即， ， 故选：D． 故选：D． 例9．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 【答案】 平行四边形 56 【知识点】中点四边形 【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 变式1．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 【答案】A 【知识点】中点四边形 【分析】本题主要考查了中点四边形，熟知平行四边形，菱形，正方形和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，原说法正确； B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形，原说法错误； C、顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，原说法错误； D、顺次连接菱形各边中点，所形成的四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误． 故选：A． 变式2．（22-23八年级下·江苏盐城·月考）若顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形需满足条件 ． 【答案】 【知识点】中点四边形、证明四边形是菱形 【分析】根据三角形的中位线定理得到相应结论，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的四边形是菱形添加条件即可． 【详解】解：，，，分别是边，，，的中点， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 一组邻边相等的四边形是菱形， 若， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 【点睛】本题考查中点四边形，解题的关键是正确理解中点四边形的性质，本题属于基础题型． 变式3．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD、AC的中点，依次连接E，G，F，H． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由； （3）若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF= °． 【答案】（1）见解析；（2）GH⊥EF，见解析；（3）25 【知识点】中点四边形 【分析】（1）首先运用三角形中位线定理可得到EG∥AB，EG=AB，HF∥AB，EG=AB，即可得到四边形EGFH是平行四边形； （2）再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明平行四边形EGFH是菱形，即可证明GH⊥EF； （3）由EH∥CD，得到∠BDC=∠BPH=70°，由EG∥AB，得到∠EGD=∠ABD=20°，再利用三角形的外角性质和菱形的性质即可求解． 【详解】证明：（1）∵E、G分别是AD、BD的中点， ∴EG∥AB，且， 同理可证：HF∥AB，且， ∴EG∥HF，且EG=HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； （2）GH⊥EF，理由如下： ∵G、F分别是BD、BC的中点 ， ∴， 由（1）知， 又∵AB=CD， ∴GE=GF， 又∵四边形EGFH是平行四边形， ∴四边形EGFH是菱形， ∴GH⊥EF； （3）∵E、H分别是AD、AC的中点 ， ∴EH∥CD， ∴∠BDC=∠BPH=70°， ∵EG∥AB， ∴∠EGD=∠ABD=20°， ∴∠GEP=∠BPH-∠EGD=50°， ∵四边形EGFH是菱形， ∴∠GEF=∠HEF=∠GEP =25°． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键． 【题型五】(等腰)梯形的定义 例10．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【知识点】(等腰)梯形的定义 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）三条边长分别为2，3，8的等腰梯形的周长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、(等腰)梯形的定义、利用平行四边形的性质求解 【分析】在等腰梯形中作出一腰的平行线，将求梯形的周长问题转化为三角形的三边关系进行解答． 【详解】解：如图所示， 在等腰梯形中，过点作腰的平行线，交于点．则四边形是平行四边形． 在等腰梯形中， （1）若腰长，则，． 那么．故不成立． （2）若腰长，则，． 那么．故不成立． （3）若腰长，则，． 符合三角形的两边之和大于第三边． 所以等腰梯形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的定义，平行四边形的性质，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键． 变式2．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)， (2)经过，四边形是平行四边形 (3)经过，四边形是矩形 【知识点】根据矩形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题、(等腰)梯形的定义 【分析】此题主要考查平行四边形和矩形的性质： （1）根据题意可得，， （2）设经过，四边形为平行四边形，根据，，列出方程进行求解； （3）设经过，四边形为矩形，根据，列出方程进行求解； 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； 故答案为：， （2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时， 所以， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形 （3）解：设经过，四边形为矩形，此时， 所以， 解得：， 即经过，四边形是矩形． 【题型六】直角梯形的定义 例11．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解、直角梯形的定义 【分析】本题考查了平移性质，根据平移性质得，计算出即可，熟练掌握平移性质，梯形面积公式，是解题的关键． 【详解】由平移，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 变式1．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角梯形的定义 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 先利用得出，再由，求出，即可求出梯形的面积． 【详解】解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、直角梯形的定义 【分析】本题考查了梯形．熟练掌握 梯形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，是解题的关键． （1）作于点E，可得四边形是平行四边形，得，，勾股定理求得； （2）根据梯形面积公式可求． 【详解】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 【题型七】等腰梯形的性质定理 例12．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰梯形的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，作，，证明四边形是矩形，从而有，，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对直角边是斜边的一半得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴等腰梯形的周长为， 故选：． 变式1．在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 【答案】 【知识点】等腰梯形的性质定理 【分析】此题考查了等腰梯形的性质．首先设与交于点，由四边形是等腰梯形，，可求得的长，又由，即可求得答案． 【详解】解：设与交于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，于点，于点，，，．点分别在线段上，顺次连接，线段、、、所围成的封闭图形记为，若点在线段上运动时，点也随之在线段上运动，使图形的形状发生改变，但面积始终为，设． (1)求与之间函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，为三角形？ (3)求出线段在运动过程中所扫过的区域的面积． 【答案】(1) (2)当或时，图形为三角形 (3)线段在运动过程中所扫过的区域的面积是 【知识点】一次函数与几何综合、等腰梯形的性质定理 【分析】（1）根据，，由此即可求解； （2）为三角形，分类讨论，当在一条直线上，为高；当在一条直线上，为高；底为，由此即可求解； （3）线段在运动过程中所扫过的区域是两个全等的三角形，结合（2）的取值范围，由此即可求解． 【详解】（1）解：等腰梯形中，于点，于点，，，，，，图形的面积始终为， ∴矩形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴． （2）解：如图所示， ①当在一条直线上，为高时，为底，且， ∴，即， ∴； ②当在一条直线上，为高时，为底，且， ∴，且， ∴，解得，； 综上所述，当或时，图形为三角形． （3）解：由可知，当增大时减小，即增大时随之减小， ∴如图所示，当从运动到时，当从运动到， ∴线段在运动过程中所扫过的区域的面积是两个全等三角形，即，，且，过点作于，且， ∴， ∴，， ∴ ∴线段在运动过程中所扫过的区域的面积是． 【点睛】本题主要考查等腰梯形，三角形，动点的综合，掌握梯形的性质，面积公式，三角形的性质，面积公式，动点的分类讨论是解题的关键． 【题型八】等腰梯形的判定定理 例13．下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】等腰梯形的判定定理 【分析】本题重点考查等腰梯形的判定定理（同一底边上内角相等或对角线相等）和性质（轴对称性），准确理解等腰梯形的定义和判定条件，并辨析与平行四边形的区别是解题的关键． 根据等腰梯形的定义和性质逐选项判断即可． 【详解】解：①同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，正确； ②对角线相等的梯形是等腰梯形，正确； ③等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形等图形，因此错误． 故选：C． 变式1．已知在梯形中，，，，那么等于 度． 【答案】108 【知识点】等腰梯形的性质定理、等腰梯形的判定定理 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 变式2．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，且，．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【知识点】等腰梯形的判定定理 【分析】根据题意推出，证明得出，，进而证明，即可得证． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， 四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰梯形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 一、单选题 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8 由勾股定理得： ∵点D，E分别是AC，BC的中点 ∴DE是△ABC的中位线 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 2．如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接．若，则的长为（   ） A．8 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，根据三角形中位线定理求出，再根据中线的定义即可求出的长． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵是的中线， ∴， 故选：C． 3．下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键． 【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 4．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 5．如图，在四边形中，E，G分别是对角线，的中点，F，H分别是边，的中点，依次连接E，F，G，H得到四边形．要使四边形为菱形，那么应添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形．利用三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，因为要使四边形为菱形，所以，即可得出结果． 【详解】解：∵E，G分别是对角线，的中点，F，H分别是边，的中点， ∴，且，，且，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形， 则， ∵，， ∴， 即当时，四边形是菱形． 故选：A． 6．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，是边上的中线．求证：．    方法1：如图1，延长至点E，使，连接． 方法2：如图2，取边的中点E，连接． 下列说法正确的是（   ） A．只有方法1可以证明该定理，运用了平行四边形的对角线互相平分 B．只有方法2可以证明该定理 C．方法2不可以证明该定理 D．方法1、方法2都可以证明该定理 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，方法1，先证明四边形为矩形，再根据矩形的性质，即可得出结论，方法2，根据三角形的中位线定理，推出垂直平分，得到，即可，据此进行判断即可． 【详解】解：方法1： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； 方法2：∵，为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； 故方法1，方法2均可证明； 故选D． 7．如图，菱形中，E，F分别是边上的动点（E，F不与菱形的顶点重合），连接，G，H分别为的中点，连接．若，的最小值是，则菱形的边长是（　　） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 根据三角形中位线定理得，当时，有最小值，此时也是最小，利用菱形的性质求出，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵G，H分别为的中点， ∴， ∴当时，有最小值，此时有最小值， ∴此时， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，四边形ABCD，AB＝4BC，对角线AC，BD交于点O，BD⊥AD，∠ABD＝∠CBD＝α，（0°＜α＜90°）．萧临同学看到题中的条件的高线（BD⊥AD）和角平分线（∠ABD＝∠CBD），想到把四边形转化为三角形来解题：延长BC和AD交于点E，则△ABE为等腰三角形……，由此他得到了两个结论：①若α＝60°，则；②设△ABO和△CDO的面积之差为y，当α＝45°时，y最大．则萧临同学得到的两个结论（　　） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】如图1中，当α=60°时，延长AD交BC于点E，过点C作CF⊥DB于点F．设AB=4a．解直角三角形求出CD，即可判断①正确．如图2中，过点A作AN⊥BE于点N，过点D作DM⊥BE于点M，由题意可知y=BC•AN，当∠ABC=90°时，AN最大，即y的值最大，由此即可判断②正确． 【详解】解：如图1中，当α＝60°时，延长AD交BC于点E，过点C作CF⊥DB于点F．设AB＝4a． ∵BD⊥AE， ∴∠ADB＝∠EDB＝90° ∵∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴∠E＝∠BAD＝30°， ∴BA＝BE＝4a， ∵AB＝4BC， ∴BC＝a，BDAB＝2a，ADBD＝2a， 在Rt△CBF中，∠CFB＝90°，∠BCF＝90°-60°=30°， ∴BFBCa，CFBFa， ∴DFa， ∴, ∴,故①正确， 如图2中，过点A作AN⊥BE于点N，过点D作DM⊥BE于点M，则DM∥AN， ∵DM∥AN，AD＝DE， ∴DM为△ANE的中位线, ∴DMAN， ∵△AOB与△COD的面积差为y， ∴△ACB与△DCB的面积差为y， ∴y•BC•AN•BC•DM＝BC•AN， ∵AN⊥BC， ∴AN≤AB， ∵AC⊥BC时，AC＜AB， ∴当AB⊥BC时，AN=AB，此时AN最大，即y值最大， ∴当∠ABC=90°时，y的值最大，此时α＝45°，故②正确， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30°的直角三角形性质、三角形的中位线性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造等腰三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定是（    ） A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理得到，，，要是四边形为菱形，得出，即可得到答案． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，F，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当平行四边形是菱形时， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对菱形的性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 10．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD， ∵∠BAD=45°，AB=10 ∴为等腰直角三角形， 由题意可得，垂直平分，， ∴， ∴， 在中，，当、两点重合时， 即的最小值为 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解． 二、填空题 11．在数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的 A，B 两点的距离，同学们在 外选择一点 C，测得，两边中点的距离为 15m，则 A，B 两点的距离是 m．    【答案】30 【分析】根据题意得出为的中位线，然后利用其性质求解即可． 【详解】解：∵点D、E为的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． 12．如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长是 ．    【答案】1 【分析】根据等腰三角形的性质证明点D是的中点，进而证明是的中位线，则． 【详解】解：∵中，，平分交于点D， ∴点D是的中点， ∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，证明是的中位线是解题的关键． 13．如图，中，点D是的中点，点E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质，构造三角形的中位线是关键．取的中点，连接，根据中位线定理得到，再证明，即可得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，如图， ∵点D是的中点，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，线段，在线段上有一点C，当时，以为直角边在上方作等腰，，P为平面内一点，连接，，将和分别沿，翻折得到和，若A、、P恰好共线，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，当P、、D在同一直线上时，最小，此时，连接交于点O，在上取E，使得，连接、，先利用折叠的性质，证明四边形是菱形，推出是的中位线，得到是的中点，然后利用勾股定理，求得，再根据折叠的性质，得到是的中点，推出是的中位线，求得，最后利用即可求出的最小值． 【详解】解：当P、、D构成三角形时，；当P、B、D在同一直线上时，， ， 故当P、、D在同一直线上时，最小，， 如图，连接交于点O，在上取E，使得，连接、， 由折叠的性质可知，，， 对角线、互相垂直平分， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 是的中位线， 是的中点， 是等腰直角三角形， ，， 由勾股定理得：， 由折叠性质可知，，， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识，作辅助线构造菱形，灵活运用中位线的性质是解题关键． 15．如图，在平行四边形中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值为 ，最小值为 【答案】 【分析】连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差． 【详解】解：如图，连接，过A作于M； 则； ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得； ∵点为的中点，点为的中点， ∴； 当G与C重合时，最长且为，此时； 当G与M重合时，最短且为，此时； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键． 16．如图，在中，D，E，F分别是的中点，点M是线段上任意一点，点N是和平分线的交点，连接．有以下结论： ①； ②的面积是面积的一半； ③保持的大小不变，改变的长度可使四边形是菱形成立； ④保持的长度不变，改变的大小可使四边形是正方形成立． 其中所有正确结论是： ．（填序号即可） 【答案】②③ 【分析】连接根据三角形内角和定理结合角平分线即可判断①；利用三角形等底等高面积相等结合中线的性质即可判断②；根据三角形中位线的性质，易证四边形是平行四边形，由长度再变化，当时，即即可得到四边形是菱形，即可判断③；由四边形是平行四边形，的大小再变化，当时，四边形是矩形，只有当时，四边形是正方形即可判断④ 【详解】解：如图，连接， 分别平分和， ， ， ，即，故①错误； D，F分别是的中点， 是三角形的中位线， ， 与等底等高， 与的面积相等， E是的中点， 的面积等于的一半， 的面积是面积的一半，故②正确； ， 四边形是平行四边形， 的大小不变， 若是菱形，则， ， 当时，则是菱形成立，故③正确； 同理，当时，四边形是矩形， 当且仅当时，四边形是正方形，故④错误； 故正确的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，中线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 17．如图，边长分别为．P为的平分线上一点，且，M为的中点，则的值是 ． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线平分角，以及垂直得到的两个直角相等，证明，得到，为的中点，利用三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， ∵于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．通过添加辅助线，构造三角形全等，是解题的关键． 18．如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】通过旋转构造全等三角形，利用角度关系证明三点共线，构造辅助线形成直角三角形，结合勾股定理计算DE的长度． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，作于F，于G，作于H． ， ，，． 在四边形中， ，， ． ． ． 点C，D，三点共线． 由旋转的性质得． ， ． ， 四边形是等腰梯形． ，． ，， 四边形是矩形． ． ，， ． 同理可得． ． ，，． ． ． ． 故答案为： 【点睛】本题运用四边形内角和定理、旋转的性质、等腰梯形的性质、矩形的性质以及勾股定理来求解． 三、解答题 19．如图，中，AD平分，E是中点，，，，求的长． 【答案】 【分析】延长交于点F，先证明，得到，D是的中点，再由中位线的性质解答即可． 【详解】解：延长交于点F，如图 AD平分，， ， ， ， ， D是的中点， E是中点， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 20．如图，D，E，F分别是的边，的中点． (1)求证：与互相平分． (2)当满足___________时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的中位线定理，得出，进而得出四边形是平行四边形，即可求证与互相平分； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得当满足时，四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵、、分别是边、、的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：当满足时，四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 21．如图，在中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，的度数为53°． (1)求∠C的度数； (2)求四边形ADEF的周长． 【答案】(1)37° (2)7 【分析】（1）根据D，F分别是边AB，AC的中点，得到DF//BC，进而得出∠B＝∠ADF＝53°，再由三角形内角和180°，即可得到∠C的度数． （2）根据D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，得到DE//AC，，EF//AB，，结合，，可求出DF，EF的长，进而得到四边形ADEF的周长． 【详解】（1）解：∵D，F分别是边AB，AC的中点， ∴DF//BC， ∵∠ADF＝53°， ∴∠B＝∠ADF＝53°， ∵∠A＝90°， ∴∠C＝180°－90°－53°＝37°． （2）解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， ∴DE//AC，，EF//AB，，AF=AC，AD=AB， ∵，， ∴AF＝DE＝2，， ∴四边形ADEF的周长． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形中位线定理，四边形周长等知识，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半是解题关键． 22．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 23．已知等腰直角三角形，点分别为中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出三角形的中位线； (2)在图2中，画出点关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的中线及中位线定理，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图即可． （1）连接、交于点，连接并延长，与的交点即为中点，连接即可； （2）令与的交点为点，连接并延长至点，连接并延长至点，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作； 令与的交点为点，连接并延长至点，连接并延长至点，与的交点为． 是等腰直角三角形， ，， 点分别为中点， 、是的中位线，，， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， 即点和点关于对称． 24．问题提出：    (1)如图1，在中，，点、分别是，的中点，则的长为___； 问题探究： (2)如图2，在中，，点在上，，点在上，，连接，、分别为、的中点，求的长度？ 问题解决： (3)西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪内对角线右侧修建一个三角形池塘，如图，，，，为草坪入口，为草坪出口，在人行道的中点处有一个凉亭，在池塘处是一个观景台，游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）相等，理由见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求解； （2）连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，过点作，交的延长线于点，根据中位线的性质求得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求得，进而在中，勾股定理即可求解； （3）取的中点，的中点，连接，根据中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，三角形的外角的性质，证明，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）∵在中，，点、分别是，的中点， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，    连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，过点作，交的延长线于点， ∵、分别为、的中点 ∴,，， ∵， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴在中，； （3）解：相等，理由如下， 如图所示，取的中点，的中点，连接，    ∵是的中点， ∴，， ∴，， ∴ ∵，则， ∴，，则 ∵，为的中点， ∴，则 ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 即游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．如图，四边形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）． （1）当四边形ABCD正方形时，写出a，b，c，d满足的等式关系 ： （2）若AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H． ①直接写出E、F、G、H四点的坐标； ②证明：四边形EFGH是矩形； ③若矩形EFGH是正方形，则a，b，c，d满足的等式关系是 ． 【答案】（1）a=b=-c=-d；（2）①E（，），F（，），G（，），H（，）；②见解析；③ac=bd 【分析】（1）由正方形的性质得，则； （2）①由中点坐标公式即可求解； ②由三角形中位线定理得，，，，则，，得四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； ③由正方形的性质得，则，即可得出结论 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ； （2）①解：，，，，、、、的中点分别为、、、， ，，，，，，，； ②证明：、为、的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 平行四边形是矩形； ③解：由①得：，，，，，，，， 矩形是正方形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和坐标与图形性质，求出、、、的坐标也是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $