第05讲 不等式及其性质与一元一次不等式（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第05讲 不等式及其性质与一元一次不等式（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】不等式 1. 定义 一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式 . 特别提醒 ①. 判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； ②.不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换。 2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号： 符号  名称  实际意义  读法  举例 <  小于号  小于、不足  小于  3+2<6 >  大于号  大于、高出  大于  3+3>5 ≤  小于或等于号  不大于、不超过、至多  小于或等于  x ≤ 8 ≥  大于或等于号  不小于、不低于、至少  大于或等于  x ≥ 5 ≠  不等于号  不相等  不等于  4 ≠ 5 (2) 常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0； ② a 是非负数表示为 a≥ 0， a 是非正数表示为 a≤ 0； ③ a，b 同号表示为 ab>0， a，b 异号表示为 ab<0. 【知识点02】不等式的解与解集 1. 不等式的解在 一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 判断一个数是否为不等式的解的方法：用这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数就是不等式的一个解，若不成立，则该数就不是不等式的解。 2. 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 . 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 . 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式 . 【知识点03】不等式的解集的表示方法 在数轴上表示不等式的解集 特别解读: 用数轴表示解集的一般步骤： 1.画数轴；▲ ▲ ▲ 2.定界点，注意界点是实心圆点，还是空心圆圈；▲ ▲ ▲ 3.定方向，原则是“小于向左，大于向右”.▲ ▲ ▲ 不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设 a>0)： 不等式的解集  x>a  x ≥ a  x<a  x ≤ a 数轴表示 注意： 在数轴上表示不等式的解集时，大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点(表示包括这一点)，无等号画空心圆圈(表示不包括这一点) 。 【知识点04】不等式的基本性质 1. 不等式的基本事实 （1）如果a>b，那么b<a。 （2）如果a<b，b<c，那么a<c。 特别解读：不等式的三条基本性质是不等式变形的依据。运用不等式的基本性质时，不等式的两边要同时进行相同的变形。 2.不等式的基本性质 性质 文字描述 数学语言 基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或a÷c>b÷c） 基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0，那么ac<bc（或a÷c<b÷c） 3.不等式的基本性质与等式的基本性质的关系 式子 不同点  相同点 不等式  两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向要改变 (1) 两边都加 ( 或减 ) 同一个整式，不等式和等式仍成立； (2) 两边都乘 ( 或除以 ) 同一个正数，不等式和等式仍成立 等式  两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，等式仍然成立  【知识点05】一元一次不等式的定义 1. 定义：左右两边都是整式 , 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式 。 一元一次不等式的“三要素”： (1)不等号的两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的最高次数是 1。 2. 一元一次不等式与一元一次方程间的关系： 类别 一元一次方程  一元一次不等式 相同点 未知数个数  1 1 未知数次数  1 1 式子特点  含有未知数的式子均为整式 含有未知数的式子均为整式 不同点  表示关系  相等  不等 【知识点06】一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 x<a(x ≤ a)或 x>a( x ≥ a)的形式。解一元一次不等式的步骤如下： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式的两边都乘各分母的最小公倍数 不等式的基本性质2或3 ①不要漏乘不含分母的项； ②要注意分数线的括号作用 去括号 括号里的每一项与系数相乘 乘法分配律 括号外的乘数要与括号内的每一项相乘，若括号外的乘数为负数，则每一项都要变号 移项 把含未知数的项都移到不等式的左边，常数项都移到不等式的右边 不等式的基本性质1 ①所移的项要变号； ②不等号的方向不改变 合并同类项 同类项的系数相加，字母及其次数不变 合并同类项法则 只需将同类项的系数相加，常数项相加 把未知数的系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数 不等式的基本性质2或3 若未知数的系数为负数，则不等号的方向要改变 2. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 类别 一元一次方程  一元一次不等式 依据 等式的基本性质 不等式的基本性质 解的个数 只有一个解 有无数个解 解(集) 的形式 x=a x<a（x ≤ a）或x>a（x ≥ a） 解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1 【知识点07】一元一次不等式的应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解。 列不等式解决实际问题的步骤： (1) 审： 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2) 设： 设出适当的未知数； (3) 列： 根据题中的不等关系列出不等式； (4) 解： 解不等式，求出其解集； (5) 验： 检验所求出的不等式的解集是否符合题意； (6) 答： 写出答案 。 【题型一】不等式的定义 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 【详解】解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： ． 变式2．（23-24八年级下·全国·假期作业）某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的卡片相邻两边长分别为和，第二种规格的卡片相邻两边长分别为和，问哪种规格的纪念卡片面积较大？说明理由． 【答案】第二种规格的面积较大，见解析 【知识点】列代数式、不等式的定义 【分析】本题考查了列代数式，分别表示出两种卡片的面积，进而比较大小，即可求解． 【详解】第一种规格的面积： 第二种规格的面积： 因为，所以第二种规格的面积较大． 【题型二】不等式的解集 例2．（24-25八年级下·江西抚州·月考）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为 ． （2）当为实数时，的取值范围为 ． 【答案】 3 【知识点】不等式的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 变式2．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【知识点】不等式的解集 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 【题型三】不等式的性质 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的不等式，两边同时乘，得到的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要改变。这里要给两边同时乘以，因为是负数，所以不等号方向要从“”变为“”，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一核心规则． 变式1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）已知，根据不等式的性质： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 直接利用不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·江西抚州·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 【题型四】一元一次不等式的定义 例4．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义进行逐个分析，即可作答． 【详解】A、分母中含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； B、，未知数的次数是，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； D、，是一元一次不等式，故本选项符合题意； 故选：． 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】利用一元一次不等式的定义得到，即可求解． 本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 【题型五】求一元一次不等式的解集 例5．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故选：B． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）解不等式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； （1）移项、合并同类项然后系数化为1即可求解； （2）（3）先去分母，然后移项、合并同类项最后系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型六】在数轴上表示不等式的解集 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了在数轴上表示范围，熟练掌握在数轴上表示解集的方法是解题的关键； 分析哪个选项的范围与题目所给解集的范围相符，即为正确答案． 【详解】解：由题可知，的范围应该在数轴上的处，折线方向向左， 与各选项比较，只有D选项符合； 故选： D． 变式1．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，该数轴表示的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“实心点对应不等号含等号、向左表示小于或小于等于”是解题的关键．根据数轴上点的虚实和方向，确定不等式的解集即可． 【详解】解：数轴上表示的点是1（实心点），方向向左， 故解集为：， 故答案为： 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将下列不等式的解集分别表示在数轴上： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键； 根据不等符号判断折线方向以及端点是否空心即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 【题型七】求一元一次不等式的整数解 例7．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式是解题的关键． 去括号，移项，合并同类项，解不等式可得：，从而可得的最大整数解，从而可得答案． 【详解】解： 为整数， 可取的最大整数为 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的一个整数解可以是 ． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】通过解不等式得到，因此任意小于 4.5 的整数如 4、3 等均满足条件； 本题考查了不等式的解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：解不等式 两边同时乘以 3（正数，不等号方向不变）： 简化得： 两边同时除以 （负数，不等号方向改变）： 计算得： 即 因此，整数解可以是 4、3、2 等均可，取其中一个，如 4； 故答案为：4．（答案不唯一） 变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解是1，2，3，4 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法以及正整数解的确定，解题的关键是正确求解不等式，再从解集中找出正整数解． 先对不等式去括号、移项、合并同类项、系数化为1，得到不等式的解集；再从解集中筛选出正整数，即为所求正整数解． 【详解】解不等式 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1（不等号方向改变）得：． 因为小于5的正整数有， 所以该不等式的正整数解为． 【题型八】求一元一次不等式解的最值 例8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式解的最值 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型九】解|x|≥a型的不等式 例9．（22-23八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 变式1．能够使不等式成立的x的取值范围 ． 【答案】x＜-1 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围． 【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0， 于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0； 当x＜0时，|x|-x=-2x＞0， x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1， 所以x的取值范围是x＜-1． 故答案为：x＜-1． 【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度． 变式2．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 【题型十】列一元一次不等式 例10．（24-25八年级下·福建宁德·月考）白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查不等式的应用，解题的关键是理解题意；根据总销售额等于单价乘以数量，单价为进价提价后的价格，即元/罐，总销售额需多于12万元（120000元），由此列不等式即可． 【详解】解：由题意可列不等式为； 故选C． 变式1．（25-26八年级下·全国·单元测试）用不等式表示“与2026的和不大于”： ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式，熟练掌握根据题意列不等式是解题的关键． 根据题意，“与2026的和不大于”可转化为不等式； 【详解】解：∵与2026的和不大于， ∴； 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·江西抚州·月考）用适当的符号表示下列关系： (1)的2倍与5的差比的3倍小； (2)，两数的平方差不小于这两数积的2倍． 【答案】(1) (2) 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． （1）先表示“的2倍与5的差”为“”，再表示“的3倍”为“”，再用“”连接即可； （2）先表示“，两数的平方差”为“”，再表示“这两数积的2倍”为“”，再用“”连接即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，． 【题型十一】用一元一次不等式解决实际问题 例11．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）某图书馆阅览室出售会员卡，每张会员卡50元，只限本人使用，凭会员卡购入场券每张1元，不凭会员卡购入场券每张3元，在什么情况下，购会员卡比不购会员卡更合算（　　） A．购票多于25次 B．购票少于25次 C．购票多于20次 D．购票少于20次 【答案】A 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设购票x次，用含x的代数式表示出两种情况下的费用，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购票x次，则凭会员卡购入场券需元，不凭会员卡购入场券需元， 由题意得， 解得， 即购票多于25次时，购会员卡比不购会员卡更合算． 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）五一劳动节假期来临之际，各大超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表：已知购买礼盒所需费用（单位：元）与数量（单位：盒）之间成函数关系，李明通过计算发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 甲 乙 销售方案 每盒标价420元 每盒标价480元，若购买数量超过3盒，则超出部分打八折 【答案】9 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握根据题意列不等式求解是解题的关键． 根据甲、乙两超市的销售方案，列出购买费用关于数量的函数关系式，乙超市的费用为分段函数，由于乙超市更划算，需满足且乙超市费用小于甲超市费用，解不等式即可得到的取值范围，从而确定最小整数解． 【详解】解：设购买数量为盒，为正整数，甲超市的费用为， 乙超市的费用：当时，；当时，， 由题意，在乙超市购买更划算，因此且， 解不等式，得，即， 所以，至少为， 故答案为：9． 变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只元，茶杯每只元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买只茶壶，只（不少于只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少需要购买多少只茶杯？ 【答案】至少需要购买35只茶杯 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意列不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为35， ∴至少需要购买35只茶杯． 【题型十二】用一元一次不等式解决几何问题 例12．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 变式1．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 变式2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【答案】(1)m的值为8 (2)19 【知识点】数轴上两点之间的距离、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：由题意，得， 解得， 的最小整数值为19． 一、单选题 1．若，则下列式子中，错误的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A. 若，则正确，故A不符合题意； B. 若，则正确，故B不符合题意； C. 若，则，正确，故C不符合题意； D. 若d，则，所以D错误，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握相关知识是解题关键． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式的解集，即可作答． 【详解】移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 解集在数轴上表示如下： 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示一元一次不等式的解集，表示解集时，包含要用实心点表示，不包含要用空心点表示，解题的关键是明确解不等式的方法和解集的表示方法． 3．若关于的一元一次不等式的解集为，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质可得，求出的取值范围即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次不等式的解集为， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故选：． 4．为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（17-x），不等关系：小聪得分超过90分． 【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得 10x-5（17-x）>90． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键． 5．小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可． 【详解】解：根据题意列不等式为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出题目中的数量关系是解此题的关键． 6．关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，逐项判断，进行作答，即可求解； 【详解】解：A、是的解集，所以不是此不等式的解，选项A错误； B、是的解集，选项B错误； C、是的解集， 选项C错误； D、是的解集，选项D正确，符合题意； 故选：D； 7．已知实数，满足，，当为整数时，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元一次不等式，将方程恒等变形后列出不等式是解题的关键．先将方程变形为，再列出不等式，结合不等式得到，从而得到，求解方程即得答案． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， 为整数， ， 或． 故选D． 二、填空题 8．a的4倍与b的的和不大于3，列不等式为： 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列不等式，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，找到数量关系，即可求解． 【详解】解：a的4倍与b的的和不大于3，列不等式为：． 故答案为： 9．已知 ，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，正确解不等式是解决本题的关键；根据题意构造不等式，解不等式即可． 【详解】 ， ， 解得： 故答案为： 10．某品牌手写板的进价为220元，商店以340元的价格出售．五一假期期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该手写板最多可降价 元． 【答案】65 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用．设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可； 【详解】解：设该商品最多可降价x元； 由题意可得，， 解得：； 答：该护眼灯最多可降价65元． 故答案为：65． 11．已知关于的方程的解大于1，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解一元一次不等式，根据解一元一次方程的解求参数的取值范围，先解出x的值，然后再根据解大于1．列出关于k的一元一次不等式，求解即可得出答案． 【详解】解： 根据题意： ， 解得：． 故答案为：． 12．某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，现销量不佳，商店准备将这批服装降价处理，但要保证每件衣服的利润不低于，则商店最多打 折出售． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，不等关系式：打折后的售价元利润，据此列出不等式，即可求解；找出不等关系式是解题的关键． 【详解】解：商店打折销售，由题意得 ， 解得：； 答：商店最多打折． 13．临近“天猫双11”，某超市开展为期2天的限时抢购活动，活动规定：11月10日，全场9折；11月11日，全场8折；其余时间不打折．小育计划购买A、B、C三种糖果，他发现11月9日购买2千克A，4.2千克B的总价与11月11日购买1千克A，2千克B，3千克C的总价相等，也等于11月10日购买5千克A，4.5千克B，2千克C的总价的，且4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，如果三种糖果的单价均为正整数．那么在不打折的情况下，小育购买1千克B和1千克C共需付款 元． 【答案】24 【分析】设糖果A的价格为x元/千克，糖果B的价格为y元/千克，糖果C的价格为z元/千克，根据题意可得关于x，y，z的三元 一次方程组，求出x，y，z之间的关系，再由4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式组，求出x得取值范围，最后根据三种糖果的单价均为正整数，进而得出x，y，z的值，利用x，y，z的值求出最后结果． 【详解】解：设糖果A的价格为x元/千克，糖果B的价格为y元/千克，糖果C的价格为z元/千克，根据题意可得： ， ∴， ∵4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元， ∴， ∴， ∵三种糖果的单价均为正整数． ∴y必须是6的倍数，x必须是23的倍数，才能使x，y均为正整数， x必须是23的倍数且满足， ∴， 则在不打折的情况下，小育购买1千克B和1千克C共需付款： （元）， 故答案为：24． 【点睛】本题考查列三元一次方程组和一元一次不等式的应用以及因数与倍数的关系，根据题意的等量关系列出三元一次方程组和利用每种糖果的单价都为正整数与的关系求出x，y是解题的关键． 14．请同学们学习材料：①若，则； ②． 解决以下问题：，，当恒成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，不等式的性质，解一元一次不等式．先根据题意得到，推出，则，由恒成立，得到，则． 【详解】解；∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴恒成立， ∴， ∴， 故答案为：． 15．下列说法正确的序号是 ． 已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； 已知，，是有理数，且，时，则的值为或； 已知时，那么的最大值为，最小值为； 【答案】 【分析】当时，则，分两种情况：一是，，，二是，，，分别讨论即可；当且时，，，，且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数，不妨设，，，化简求解即可；当时，分两种情况：当时与当时，分别化简求值即可；综合以上，即可得出答案． 【详解】解：当时，则， 此时有两种情况： 一是，，， 则， 二是，，， 则， 故正确； 当且时， ，，， 且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数， 不妨设，，， 则 ， 故错误； 当时，分两种情况： 第一种情况： 当时， ，， ， ， ； 第二种情况： 当时， ，， ； 综上所述，当时，的最大值为，最小值为， 故正确； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，化简绝对值，等式的性质，代数式求值，不等式的性质，整式的加减运算，合并同类项等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题 16．运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式． （1）x-1＜5                       （2）x＜3x-12 【答案】（1）x＜12；（2）x＞6． 【分析】（1）根据不等式的性质1和不等式的性质2即可求解； （2）根据不等式的性质1和不等式的性质3即可求解． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 17．解不等式：． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的方法解答即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 18．解不等式，并将解集表示在数轴上．    【答案】，数轴见解析． 【分析】根据不等式的性质求解不等式：去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为１；用数轴表示． 【详解】解： ∴， 解集在数轴上表示如图：    【点睛】本题考查不等式的求解，掌握求解的步骤是解题的关键． 19．小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是，购买10本以内（包括10本）按标价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的出售；乙商店的优惠条件是，从第一本起按标价的出售． (1)若设小明重购买本练习本，则当小明到甲商店购买时，需付款______元，当小明到乙商店购买时，需付款______元； (2)小明在甲、乙两家商店中任意选一家购买练习本，为了节约开支，应怎样选择更划算？ 【答案】(1)； (2)买30本练习本时，两家商店付款相同；买少于30本练习本时去乙商店买更划算；买多于30本练习本去甲商店买更划算 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量与不等量关系列出方程与不等式，再求解． （1）根据题中的收费标准表示出到甲乙两商店的费用即可； （2）根据小明所购买的练习本的本数分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得，当小明到甲商店购买时，须付款：， 当到乙商店购买时，须付款：． 故答案为：；. （2）解：当时，解得：，则买30本练习本时，两家商店付款相同； 当时，解得：，买少于30本练习本时去乙商店买更划算； 当时，解得：，买多于30本练习本去甲商店买更划算． 答：买30本练习本时，两家商店付款相同；买少于30本练习本时去乙商店买更划算；买多于30本练习本去甲商店买更划算． 20．山西是中国煤炭大省，素有“煤海”之称、某煤炭企业有A，B两种型号的采煤机，已知4台A型和2台B型采煤机同时工作3小时采煤480吨；2台A型和3台B型采煤机工作一小时的采煤量相同． (1)每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤多少吨？ (2)若调配A型和B型采煤机共8台同时工作6小时，共同完成不少于1188吨的采煤量，则最少需要A型采煤机多少台？ 【答案】(1)每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤30吨，20吨 (2)最少需要A型采煤机4台 【分析】（1）设每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤x吨，y吨，然后根据4台A型和2台B型采煤机同时工作3小时采煤480吨；2台A型和3台B型采煤机工作一小时的采煤量相同列出方程组求解即可； （2）设调配A型采煤机m台，则调配B型采煤机（8-m）台，然后根据时工作6小时，共同完成不少于1188吨的采煤量，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤x吨，y吨， 由题意得：， 解得， ∴每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤30吨，20吨， 答：每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤30吨，20吨； （2）解：设调配A型采煤机m台，则调配B型采煤机（8-m）台， 由题意得：， ∴， ∵m为正整数， ∴m的最小值为4， ∴最少需要A型采煤机4台， 答：最少需要A型采煤机4台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的方程组和不等式求解是解题的关键． 21．某校计划送370名师生（其中学生362人、教师8人）到全国中小学生研学实践教育基地之一的澄江化石地世界自然遗产博物馆进行科普研学活动．现有甲、乙两种大客车，甲客车每辆可坐35人，乙客车每辆可坐50人，租用一辆甲客车和一辆乙客车共需700元，租用3辆甲客车和2辆乙客车共需1700元． (1)租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？ (2)要使每辆客车上至少要有1名教师，所有参与活动的师生都有车坐，则租用客车总数为8辆，设租用辆甲客车，租车的总费用为元，则共有几种不同的租车方案？哪种方案租车的总费用最少？ 【答案】(1)租用甲客车每辆需300元，租用乙客车每辆需400元 (2)共有三种不同的租车方案，当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少 【分析】（1）设租用甲、乙两种客车每辆各需元，根据题意可以列出相应的方程组，即可求解； （2）设租用辆甲客车，则租用辆乙客车，根据题意列出不等式，求出x的取值范围，进而列出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲、乙两种客车每辆各需元， 则， 解得：， 答：租用甲客车每辆需300元，租用乙客车每辆需400元； （2）解：设租用辆甲客车，则租用辆乙客车，由题意得： ． 由题意得：，解得：， 的取值范围是：，且为整数． ∴一共有3种租车方案． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∴当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少 答：共有三种不同的租车方案，当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． 22．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是_____； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)探究：的最小值为_____； (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或 (3) (4)， 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，不等式的性质等知识点，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据，，三种情况确定最小值和此时的取值； （4），根据问题（3）可知，要使的值最小，的值只要取到之间（包括、）的任意一个数，要使的值最小，应取，显然当时能同时满足要求，从而得结论． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点与数的点之间的距离的式子是， 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离， 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：等式的几何意义是表示是到数的距离为的点， 则的值为或， 故答案为：或； （3）解：式子表示数到和的距离之和， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 故式子的最小值为，此时满足的条件是， 故答案为：； （4）解：， 根据问题（3）可知，要使的值最小，的值只要取到之间（包括、）的任意一个数， 要使的值最小，应取， 显然当时能同时满足要求， 故的最小值为，此时满足的条件是， 故答案为：，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 不等式及其性质与一元一次不等式（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】不等式 1. 定义 一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式 . 特别提醒 ①. 判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； ②.不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换。 2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号： 符号  名称  实际意义  读法  举例 <  小于号  小于、不足  小于  3+2<6 >  大于号  大于、高出  大于  3+3>5 ≤  小于或等于号  不大于、不超过、至多  小于或等于  x ≤ 8 ≥  大于或等于号  不小于、不低于、至少  大于或等于  x ≥ 5 ≠  不等于号  不相等  不等于  4 ≠ 5 (2) 常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0； ② a 是非负数表示为 a≥ 0， a 是非正数表示为 a≤ 0； ③ a，b 同号表示为 ab>0， a，b 异号表示为 ab<0. 【知识点02】不等式的解与解集 1. 不等式的解在 一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 判断一个数是否为不等式的解的方法：用这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立，若成立，则该数就是不等式的一个解，若不成立，则该数就不是不等式的解。 2. 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 . 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 . 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式 . 【知识点03】不等式的解集的表示方法 在数轴上表示不等式的解集 特别解读: 用数轴表示解集的一般步骤： 1.画数轴；▲ ▲ ▲ 2.定界点，注意界点是实心圆点，还是空心圆圈；▲ ▲ ▲ 3.定方向，原则是“小于向左，大于向右”.▲ ▲ ▲ 不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设 a>0)： 不等式的解集  x>a  x ≥ a  x<a  x ≤ a 数轴表示 注意： 在数轴上表示不等式的解集时，大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点(表示包括这一点)，无等号画空心圆圈(表示不包括这一点) 。 【知识点04】不等式的基本性质 1. 不等式的基本事实 （1）如果a>b，那么b<a。 （2）如果a<b，b<c，那么a<c。 特别解读：不等式的三条基本性质是不等式变形的依据。运用不等式的基本性质时，不等式的两边要同时进行相同的变形。 2.不等式的基本性质 性质 文字描述 数学语言 基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或a÷c>b÷c） 基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0，那么ac<bc（或a÷c<b÷c） 3.不等式的基本性质与等式的基本性质的关系 式子 不同点  相同点 不等式  两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向要改变 (1) 两边都加 ( 或减 ) 同一个整式，不等式和等式仍成立； (2) 两边都乘 ( 或除以 ) 同一个正数，不等式和等式仍成立 等式  两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数，等式仍然成立  【知识点05】一元一次不等式的定义 1. 定义：左右两边都是整式 , 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式 。 一元一次不等式的“三要素”： (1)不等号的两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的最高次数是 1。 2. 一元一次不等式与一元一次方程间的关系： 类别 一元一次方程  一元一次不等式 相同点 未知数个数  1 1 未知数次数  1 1 式子特点  含有未知数的式子均为整式 含有未知数的式子均为整式 不同点  表示关系  相等  不等 【知识点06】一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 x<a(x ≤ a)或 x>a( x ≥ a)的形式。解一元一次不等式的步骤如下： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式的两边都乘各分母的最小公倍数 不等式的基本性质2或3 ①不要漏乘不含分母的项； ②要注意分数线的括号作用 去括号 括号里的每一项与系数相乘 乘法分配律 括号外的乘数要与括号内的每一项相乘，若括号外的乘数为负数，则每一项都要变号 移项 把含未知数的项都移到不等式的左边，常数项都移到不等式的右边 不等式的基本性质1 ①所移的项要变号； ②不等号的方向不改变 合并同类项 同类项的系数相加，字母及其次数不变 合并同类项法则 只需将同类项的系数相加，常数项相加 把未知数的系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数 不等式的基本性质2或3 若未知数的系数为负数，则不等号的方向要改变 2. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 类别 一元一次方程  一元一次不等式 依据 等式的基本性质 不等式的基本性质 解的个数 只有一个解 有无数个解 解(集) 的形式 x=a x<a（x ≤ a）或x>a（x ≥ a） 解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1 【知识点07】一元一次不等式的应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解。 列不等式解决实际问题的步骤： (1) 审： 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2) 设： 设出适当的未知数； (3) 列： 根据题中的不等关系列出不等式； (4) 解： 解不等式，求出其解集； (5) 验： 检验所求出的不等式的解集是否符合题意； (6) 答： 写出答案 。 【题型一】不等式的定义 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为 ． 变式2．（23-24八年级下·全国·假期作业）某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的卡片相邻两边长分别为和，第二种规格的卡片相邻两边长分别为和，问哪种规格的纪念卡片面积较大？说明理由． 【题型二】不等式的解集 例2．（24-25八年级下·江西抚州·月考）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为 ． （2）当为实数时，的取值范围为 ． 变式2．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【题型三】不等式的性质 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的不等式，两边同时乘，得到的不等式为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）已知，根据不等式的性质： ．（填“”“”或“”） 变式2．（24-25八年级下·江西抚州·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【题型四】一元一次不等式的定义 例4．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 变式2．（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【题型五】求一元一次不等式的解集 例5．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）解不等式： (1)． (2)． (3)． 【题型六】在数轴上表示不等式的解集 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，该数轴表示的不等式的解集是 ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将下列不等式的解集分别表示在数轴上： (1)． (2)． 【题型七】求一元一次不等式的整数解 例7．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的一个整数解可以是 ． 变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）求不等式的正整数解． 【题型八】求一元一次不等式解的最值 例8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 变式1．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 【题型九】解|x|≥a型的不等式 例9．（22-23八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 变式1．能够使不等式成立的x的取值范围 ． 变式2．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【题型十】列一元一次不等式 例10．（24-25八年级下·福建宁德·月考）白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·单元测试）用不等式表示“与2026的和不大于”： ． 变式2．（24-25八年级下·江西抚州·月考）用适当的符号表示下列关系： (1)的2倍与5的差比的3倍小； (2)，两数的平方差不小于这两数积的2倍． 【题型十一】用一元一次不等式解决实际问题 例11．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）某图书馆阅览室出售会员卡，每张会员卡50元，只限本人使用，凭会员卡购入场券每张1元，不凭会员卡购入场券每张3元，在什么情况下，购会员卡比不购会员卡更合算（　　） A．购票多于25次 B．购票少于25次 C．购票多于20次 D．购票少于20次 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）五一劳动节假期来临之际，各大超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表：已知购买礼盒所需费用（单位：元）与数量（单位：盒）之间成函数关系，李明通过计算发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 甲 乙 销售方案 每盒标价420元 每盒标价480元，若购买数量超过3盒，则超出部分打八折 变式2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只元，茶杯每只元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买只茶壶，只（不少于只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少需要购买多少只茶杯？ 【题型十二】用一元一次不等式解决几何问题 例12．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 变式2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 一、单选题 1．若，则下列式子中，错误的是（　　　） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若关于的一元一次不等式的解集为，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 5．小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 6．关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 7．已知实数，满足，，当为整数时，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 8．a的4倍与b的的和不大于3，列不等式为： 9．已知 ，若，则的取值范围是 ． 10．某品牌手写板的进价为220元，商店以340元的价格出售．五一假期期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该手写板最多可降价 元． 11．已知关于的方程的解大于1，则的取值范围是 ． 12．某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，现销量不佳，商店准备将这批服装降价处理，但要保证每件衣服的利润不低于，则商店最多打 折出售． 13．临近“天猫双11”，某超市开展为期2天的限时抢购活动，活动规定：11月10日，全场9折；11月11日，全场8折；其余时间不打折．小育计划购买A、B、C三种糖果，他发现11月9日购买2千克A，4.2千克B的总价与11月11日购买1千克A，2千克B，3千克C的总价相等，也等于11月10日购买5千克A，4.5千克B，2千克C的总价的，且4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，如果三种糖果的单价均为正整数．那么在不打折的情况下，小育购买1千克B和1千克C共需付款 元． 14．请同学们学习材料：①若，则； ②． 解决以下问题：，，当恒成立时，的取值范围是 ． 15．下列说法正确的序号是 ． 已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； 已知，，是有理数，且，时，则的值为或； 已知时，那么的最大值为，最小值为； 三、解答题 16．运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式． （1）x-1＜5                       （2）x＜3x-12 17． 解不等式：． 18．解不等式，并将解集表示在数轴上．    19．小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是，购买10本以内（包括10本）按标价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的出售；乙商店的优惠条件是，从第一本起按标价的出售． (1)若设小明重购买本练习本，则当小明到甲商店购买时，需付款______元，当小明到乙商店购买时，需付款______元； (2)小明在甲、乙两家商店中任意选一家购买练习本，为了节约开支，应怎样选择更划算？ 20．山西是中国煤炭大省，素有“煤海”之称、某煤炭企业有A，B两种型号的采煤机，已知4台A型和2台B型采煤机同时工作3小时采煤480吨；2台A型和3台B型采煤机工作一小时的采煤量相同． (1)每台A型，B型采煤机工作一小时分别采煤多少吨？ (2)若调配A型和B型采煤机共8台同时工作6小时，共同完成不少于1188吨的采煤量，则最少需要A型采煤机多少台？ 21．某校计划送370名师生（其中学生362人、教师8人）到全国中小学生研学实践教育基地之一的澄江化石地世界自然遗产博物馆进行科普研学活动．现有甲、乙两种大客车，甲客车每辆可坐35人，乙客车每辆可坐50人，租用一辆甲客车和一辆乙客车共需700元，租用3辆甲客车和2辆乙客车共需1700元． (1)租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？ (2)要使每辆客车上至少要有1名教师，所有参与活动的师生都有车坐，则租用客车总数为8辆，设租用辆甲客车，租车的总费用为元，则共有几种不同的租车方案？哪种方案租车的总费用最少？ 22．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是_____； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)探究：的最小值为_____； (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $