2 2.1 不等式及其基本性质-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

第 二章 不等式 1不等式及 第1课时 知识储备 1.一般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连 接的式子叫作 2.“不大于”用“ ”表示，“不小于”用 ”表示。 01基础练 必备知识梳理一 知识点一不等式的概念 1.下列各式中，不是不等式的是 A.3x≠0 B.x2-2x十1=0 C.-1<0 D.5x-2≥0 2.用适当的不等号填空： (1)-2 3;(2)√9 2。 知识点二列不等式 3.“x为正数”用不等式表示是 A.x0 B.x>0 C.x≥0 D.x<0 4.如图，左边物体的质量 50g 为xg,右边物体的质量口x8 为50g,用不等式表示下 列数量关系是x 50。 5.据中央气象台“天气预报”报道，某市今天的 最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天 气温t(℃)的取值范围是 6.【教材P56随堂练习T1变式】用适当的符号 表示下列关系： (1)a与b的差是负数： (2)a比5大： (3)x的平方与1的和不大于4： (4)a的3倍与6的差不小于2： 与不等式组 其基本性质 不等关系 02综合练 拿关能能力捉升 7.【教材P62习题T11变式】如图是某 桥洞的限高标志，则能通过此桥洞 的车辆高度是 () A.6.5m B.6m C.5.5m D.4.5m 8.某公司打算至多用1200元印刷广告单，已知 制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3 元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x (张)满足的不等式为 9.【教材P61习题T9变式】某家纺城的羽绒被 和羊毛被这两种产品的销售价如下表： 产品名 销售价/（元/条） 羽绒被 415 羊毛被 150 现购买这两种产品共80条，其中羽绒被x 条，付款总额少于2万元，请列出不等式。 03素养练 源季升专养培直 10.某市自来水公司按如下标准收费：若每户每 月用水不超过10m3,则每立方米收费 1.5元；若每户每月用水超过10m3,则超过 的部分每立方米收费2元。小亮家某月的 水费不少于25元，那么他家这个月的用水 量x(单位：m3)至少是多少？请列出关于x 的不等式。 助学助教优质高效26 第2课时 知识储备 十十十”+十++ 1.能使不等式 的未知数的值，叫作不等 X 式的解。 X 2.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个 不等式的 3.求不等式 的过程叫作解不等式。 01基础练 雪必备知识梳理一 知识点一 不等式的解和解集 1.下列各数中，是不等式x>2的解的是( A.-2 B.-1 C.1 D.4 2.不等式x-3>1的解集是 ( A.x>2 B.x>4 C.x>-2 D.x>-4 3.满足x≤一3的最大整数是 ( A.-1B.-2 C.-3 D.-4 4下列各数巾，能使不等式号一2<0成立的是 () A.6 B.5 C.4 D.3 5.【教材P60习题T2变式】在0，一4,3，-3， 5,-5,4,-10中， 1 是方程x+3=0 的解； 是不等式x+3>0的解； 是不等式x十3<0的解。 知识点二 用数轴表示不等式的解集 6.用不等式表示图中的解集，其中正确的是 () 32012 A.x≥-2 B.x>-2 C.x<-2 D.x≤-2 7.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为 () 27八年级数学下册·BS 不等式的解集 01 012 012 8.关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所 示，则该不等式的解集为 -2-101234 02综合练 拿关健能力提升 9.【概念辨析】下列说法中正确的是 () A.x=1是不等式x<3的解 B.x=一2是不等式-2x<1的解 C.不等式一3x>9的解集是x=一3 D.不等式x<10的整数解有10个 10.不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不 等式可能是 210123 03素养练 学科素养培育口 11.如果关于x的不等式ax+4<0的解集在数 轴上表示如图，那么 () 01234→ A.a>0B.a<0C.a=-2D.a=2 12.【新中考·开放性问题】若关于x的不等式 4x>2的解集为x<2,写出一个满足条件 的a的值： (写出一个即 可)。 13.已知方程ax+12=0的解是x=3,求不等 式(a+2)x<一6的解集。 第3课时不 知识储备 1.如果a>b,那么 2.如果ab,b<c,那么 3.基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个 ,不等号的方向 用字母表示：如果a>b,那么a士c b士c。 4.基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个 ,不等号的方向 。用字母表 示：如果a>b,c>0,那么ac bc,a÷c b÷c。 5.基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个 ,不等号的方向 。用字母表 示：如果a>b,c<0,那么ac bc,a÷c b÷c。 01基础练 @必备知识梳理一 知识点一 不等式的基本性质 1.已知a>b,用“>”“<”或“=”填空： (1)a-3 b-3;(2)3a 3b; (3)-5a -5b:(4)- b 8 8。 2.(2025·驻马店月考)已知a>b,则下列各式 中一定成立的是 () A.a-b<0 B.8、b 33 C.ac2bc2 D.2a-1<2b-1 3.下列不等式中，变形正确的是 () A.若a>b,则-a<-b B.若a>b,则ac2<bc2 C.若a>b,则a-c<b-c D.若a>b,则a-c<b十c 4.若a<0,则下列式子中错误的是 () A.5+a>3+a B.5-a>3-a C.5a>3a n.g>号 等式的基本性质 知识点二根据不等式的基本性质解不等式 5.写出下列不等式的变形依据： (1)若x十4>3，则x>一1。依据： (2)若>-2，则x>-10。依据： (3)若-3x>7,则<-名依据： (4)若5x-3>2x,则x>1。依据： (6)若-号-4>-1，则x<-15。依据： 6.【教材P59例题变式】解下列不等式，并将解 集表示在数轴上： (1)x-5<1; .2 (3)-x≥3x-15。 易错点对不等式的基本性质理解不透致错 7.由不等式ax>b可以推出x<, ,那么a的取 值范围是 助学助教优质高效28 【点拔】由ax>b两边同时除以a得到x<名，不等 号的方向发生了改变，由不等式的基本性质3可得 a的取值范围。 02综合练 今关键能力提升一 8.若a<c<0<b,则abc与0的大小关系是 ( A.abc0 B.abc=0 C.abc0 D.无法确定 9.下列说法错误的是 A.若a+3>b十3，则a>b 6 B若a>6,则1fe>1 C.若a>b,则ac>bc D.若a>b,则a+3>b+2 10.设“△”“o”“口”分别表示三种不同的物体，现 用天平称两次，情况如图所示，那么下列式 子成立的是 () 口△ △ △Q Q00 A.▣=2×o B.▣>2XO C.☐<2×o D.☐>3Xo 11.小明的观点：不等式a>2a不可能成立，理 由：若在这个不等式两边同时除以a,则会出 现1>2的错误结论。你认为小明的观点和 理由 (填“正确”或“错误”)。举例 说明： 12.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图 所示，下列式子：①a+b>0;②a十b>a十c; ③bc>ac;④ab>ac。其中正确的有 (填序号)。 4南0年方 13.解下列不等式，并将解集表示在数轴上： (1)-5x+6<4x-12; 29八年级数学下册·BS 2g8- 14.【新课标·过程纠错】阅读下面的解题过程， 再解题。 已知a>b,试比较-2026a+1与-2026b+1 的大小。 解：因为a>b,① 所以-2026a>-2026b。② 故-2026a+1>-2026b+1。③ 问：(1)上述解题过程中，从第 步开始 出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程。 03素养练 源季针系路有一 15.(1)填空： 如果a-b<0,那么a b: 如果a-b>0,那么a b; 如果a-b=0,那么a b。 (2)用(1)中的方法，你能比较3x2一2x一7 与4x2一2x+7的大小吗？若能，请写出 比较过程。 少解题妙招 作差比较法 比较两个数或式子的大小，常用作差比较法， 判断差的正负，从而判断出两个数或两个式子的 大小。如T15。(∠QBD=∠CBD, 中，BD=BD, ∴.△QDB≌△CDB(ASA)。∴.CD=DQ。∴BE= ∠BDQ=∠BDC, CQ=2CD。3.A4.证明：过点D作DG∥AE,交BC于点 G,则∠DGF=∠ECF,∠GDF=∠E。,DF=EF,∴.△DGF≌ △ECF(AAS)。 ∴.DG=EC。:AB=AC,.∠B=∠ACB。∴.∠DGB= ∠ACB。∴∠DBG=∠DGB。∴.DG=BD,∴.BD=CE 第一章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】(1)2(2)△CEF(3)37.5(4)72(5)13(6)解：依题意，得AD 垂直平分BE,∴AB=AE。又EF是AC的垂直平分线，∴.AE=EC。 .AB=EC。:△ABC的周长是13cm,AC=6cm,.AB+BE+EC= 7cm。即2DE+2EC=7cm。.DE+EC=DC=3.5cm。 考点过关 1.A2.证明：AC∥DF,∴.∠ACB=∠F。AB∥DE,∠B=∠DEF。 「∠ACB=∠F, 在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF,∴.△ABC≌△DEF(AAS)。.BC AC-DF. =EF。∴.BC-EC=EF-EC。.BE=CF。3.C4.B5.56.等边三 角形7.D8.239.130°或90°10.A11.80°12.413.50°14.15 15.116.解：【问题解决】CF+CE=CD 【类比探究】CF=CE十CD。理由如下：过点D作DG∥AB 交AC的延长线于点G,则∠A=∠G,∠B=∠BDG :△ABC是等边三角形，∠A=∠B=60°。.∠G= ∠BDG=60°。∴.△GDC是等边三角形。.DG=CG= DC。:△DEF是等边三角形，∴.ED=FD,∠EDF=60°。 ∴.∠EDF=∠GDC。∴.∠EDG=∠CDF。∴.△EDG≌△FDC(SAS). ∴.EG=CF。:EG=EC+CG=EC+CD。∴.CF=CE十CD。 第二章不等式与不等式组 1不等式及其基本性质 第1课时不等关系 知识储备 1.不等式2.≤ ≥ 基础练 1.B2.(1)<(2)>3.B4.>5.17≤t≤256.(1)a-b<0(2)a >5(3)x2+1≤4(4)3a-6≥27.D8.0.3x十50≤12009.解：根据 题意，得415.x+150(80-x)<20000.10.解：1.5×10+2(x-10)≥25。 第2课时不等式的解集 知识储备 1.成立2.解集3.解集 基础练 1.D2.B3.C4.D5.-30,3,5,4-4,-5,-106.A7.B 8.x≤29.A10.x-1≤0,2x≤2等（答案不唯一）11.C12.-1(答案 不唯一)13.解：由方程根的定义，把x=3代入ax十12=0可得a=一4，把 a=一4代入(a十2)x<-6,得-2x<-6。∴.不等式(a十2)x<-6的解集 是x>3。 第3课时不等式的基本性质 知识储备 1.b<a2.a<c3.代数式不变>4.正数不变>>5.负数 改变 基础练 1.(1)>(2)>(3)(4)2.B3.A4.C5.(1)不等式的基本 性质1(2)不等式的基本性质2(3)不等式的基本性质3(4)不等式的 基本性质1,2(5)不等式的基本性质1,36.(1)解：两边都加上5，得x< 6。解集在数轴上表示略。(2)解：两边都乘以一2，得x>6。解集在数轴 上表示略。 （3)解：两边都减去号，得一号≥-15。两边都乘以一号，得 x≤9。解集在数轴上表示略。7.a<08.C9.C10.B11.错误当 a=一1时，a>2a(答案不唯一)12.①②③④13.(1)解：一5x一4x< 12-6,一9r<-18>2.解集在数轴上表示路。(2)解：专<8-，-z ≥、20 -x<9。解集在数轴上表示略。14.解：)@(2)错误地运用了 不等式的基本性质3，即不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改 变。(3)因为a>b,所以-2026a<-2026b,故-2026a+1<-2026b+ 1.15.解：(1)<>=(2)能。(3x2-2x-7)-(4x2-2x+7)= -x2-14,:x2≥0，.-x2≤0。.-x2-14≤-14<0。.3x2-2x-7 (4x2-2x+7)0。,∴.3x2-2x-7<4x2-2x+7。 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的概念与解法 知识储备 1.整式一12.分母括号项同类项化为1 基础练 1.D2.13.3-2x十3-24.C5.D6.D7.解：去分母，得3 (2x+十1)-62(x十3)。去括号，得6x十3一6<2x十6。移项，得6x一2x<6 十6-3。合并同类项，得4x<9。两边都除以4，得x<9。 41 8.D9.D 10.C11.A12.0,1,2,313.(1)解：去括号，得2x-4<1-3x。移项，得 2x+3x<1十4。合并同类项，得5x<5。两边都除以5，得x<1。解集在数 轴上表示为： -3-2-1012345→ (2)解：去括号，得5x-10+8<6x-6+7,即5x-2<6x+1。移项，得5x 6x<1十2。合并同类项，得一x<3。两边都除以一1，得x>一3。解集在数 轴上表示为： -4-3-2-1012 (3)解：去分母，得3x-6≤4x一3。移项，得3x-4x≤一3十6。合并同类项， 得一x3。两边都除以一1，得x≥一3。解集在数轴上表示为： -4-3-2-101 (4)解：去分母，得2(x-1)≥3(x-3)+6。去括号，得2x-2≥3x-9+6。 移项，得2x一3x≥-9十6十2。合并同类项，得-x≥-1。两边都除以一1， 得x≤1。解集在数轴上表示为： 4-3-2-10234 14.解：由实数的非负性，得：十2=0， 3.x+y十m=0 解得x=一2，y=6-m。又y 为非负数，.6-m≥0。.m≤6.15.(1)=1(2)a≥1 第2课时一元一次不等式的应用 知识储备 找不等关系未知数不等式不等式答案 基础练 1A2.C3.①0-x)7x+410-x)≤50x≤834.B5.8 6.解：设A种免洗洗手液购买x件。由题意，得8x+(8十2)(100一x)≤ 900。解得x≥50。答：A种免洗洗手液至少需购买50件。7.B8.8 9.4710.0山.解：1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元。