2026年中考数学第一轮复习专题讲练第25讲 锐角三角函数及其应用基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第五单元 图形的变化 《第25讲 锐角三角函数及其应用》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏常州·期末）的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，30度角的余弦值为，据此可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、三角形内角和定理的应用、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 利用绝对值和平方的非负性，得到和的值，再根据特殊角的三角函数值得到和的度数，最后利用三角形的内角和定理求即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，利用勾股定理求出的长，再根据正切，余切，正弦和余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴，，，， 故选：C． 4．（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，熟悉三角函数的定义并灵活运用是关键． 过点A作于点D，在中利用三角函数分别求得，在中由余弦函数值，设，由勾股定理得，从而求得x的值，即可求得，则． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得： ∴， ∴． 故选：B． 5．（2025·青海西宁·二模）某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了坡度和勾股定理的应用．根据坡度设铅直高度为x，则水平宽度为，利用勾股定理列方程并解方程即可． 【详解】解：由，设铅直高度为x，则水平宽度为， 据勾股定理得，， 解得（负值已舍去） 故选A． 6．（2025·山东泰安·二模）如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、求扇形面积、求弧长、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，求弧长，直角三角形的性质，余弦函数．先连接，设半径为R，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，可得，再根据弧长公式求出即，接下来根据特殊角的三角函数值求出，再解直角三角形求出，，即可求出，最后根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，设半径为R， ∵点B,E是半的三等分点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得即． ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴, 根据勾股定理，得， ∴． ∵和的面积相等， ∴． 故选：A． 7．（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，与相交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 8．（2025·贵州遵义·一模）由两个宽相等的矩形按如图方式摆放，夹角为，若矩形宽为，则重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质以及三角函数的应用．解题关键在于判断出重叠部分的图形为平行四边形，并通过矩形的宽和已知夹角求出平行四边形的底边长．先根据矩形的性质和平行四边形的判定定理，确定重叠部分是平行四边形；再通过已知的夹角和矩形的宽，利用三角函数求出平行四边形的底边长；最后根据平行四边形的面积公式求出重叠部分的面积即可． 【详解】 解：过点作于点，过点作边垂线， ∵两矩形宽度均为 ∴ 由题可知重叠部分为两矩形重叠而成 ∴， ∴四边形为平行四边形， 在中，，， 则, ， 则平行四边形面积为． 故选C． 9．（2025·云南大理·一模）如图所示，在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，由勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义计算即可，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 10．（2025·云南·模拟预测）如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知余弦求边长、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 11．（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求角的正切值、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 13．（2025·甘肃临夏·二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心O到的距离为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求角的正切值、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理，求正切值，过O作半径于C点，根据垂径定理得到，然后根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：过O作半径于C点， ∵，弦的长为， ∴， ∴. 故选：A． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 15．（2025·广东深圳·三模）如图，是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形得到答案． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 16．（2025·浙江绍兴·一模）直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求角的正切值、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，三角函数，掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠，推导出，根据勾股定理，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：由折叠，得， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选A． 17．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点A，B，C，D都在半径为4的上，若，，则弦的长为（    ） A．4 B．2 C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，由垂径定理推出，，由圆周角定理得到，由，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 18．（2025·陕西榆林·模拟预测）在中，，，D为边的中点，E为边上任意一点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】特殊三角形的三角函数、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，含角的直角三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出的长，再根据三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∴， ∵， ∴， ∵，为边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴． 故选：B． 二、填空题 19．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、实数的混合运算 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值、零次幂及二次根式，熟悉相关运算是解题的关键． 根据代入计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 20．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 21．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】解直角三角形的相关计算、已知余弦求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 22．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求角的余弦值、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及余弦的定义，掌握相关性质定理和概念是解题的关键．首先根据斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，然后利用余弦的定义（邻边比斜边）求解即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 23．（2025·上海宝山·模拟预测）有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 【答案】2.6 【难度】0.85 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了对坡度的理解，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值． 题目中给出的坡度i=12∶5，表示垂直高度与水平距离的比例为，已知最高点到地面的距离为2.4米，需先求出水平距离，再利用勾股定理求斜边长． 【详解】设水平距离为米，斜边长为米， 根据题意可得：， ， ． 故答案是2.6． 24．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在 ． 【答案】外 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、判断点与圆的位置关系、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故答案为：外． 25．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为 ．    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形；设，根据勾股定理求出，得到，结合题意求出，解得，代入计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴设， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 26．（2025·新疆·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的正弦值、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，取格点D，连接，可根据网格的特点和勾股定理得到，则可解得到的正弦值，再由即可求出答案． 【详解】解：如图所示，取格点D，连接， 由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及求角的正切值，由圆周角定理得，而，可得，得出，即为的中点，得出，，由勾股定理得，从而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，小明制作了一个三角形的小旗帜，测得，，，请你帮助小明计算这个小旗帜的面积为 （精确到，） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边求边长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．过点作于点，根据锐角三角函数分别求出与的长即可推出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 29．（2025·陕西西安·一模）计算： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的绝对值、实数的混合运算、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 30．（2025·云南楚雄·模拟预测）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值及二次根式的性质，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 本题考查含特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 31．（2025·上海嘉定·一模）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在处用测角仪测得塔顶的仰角为，再往塔的方向前进30米至处（点为塔底中心，且点在同一水平线上），测得此时塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：，结果精确到0.1米）． 【答案】约为米 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；连接并延长交于，证明四边形、是矩形，可得出，，在中，，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义得出，求出的长度，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 同理， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：法华塔的高度约为米． 32．（2025·四川广元·一模）如图，是的直径，点是延长线上一点，过作的切线，切点为，连接、． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和解直角三角形． （1）连接，先证，再证，得到，可得结论； （2）先证明，得到，再利用三角形函数得，最后求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， 又∵在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 33．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解； （2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 34．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高度，再加的高度即可求解． 【详解】（1）解：在中， 由题意得， ； 即索道的长度约为． （2）解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， 即山顶点到水平地面的距离的长约为． 35．（2025·安徽淮南·一模）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度 项目背景 合肥渡江战役纪念馆胜利塔作为重要的红色文化地标，其高度是一项关键数据．为了让大众更深入地了解胜利塔，某中学数学兴趣小组开展了测量胜利塔高度的实践活动 测量工具 测角仪 测量示意图      测量过程 1．在距离胜利塔底部一定距离的地面C处放置测角仪，测角仪高度为，测得胜利塔顶部A的仰角为 2．在与C处水平距离为的地面E处放置另一测角仪，测角仪EF高度同样为，测得胜利塔顶部A的仰角为 请根据表中的测量数据，计算胜利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】胜利塔的高度约为 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形，则可得到，即点G与点H重合，再解和求出的长，最后根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，即点G与点H重合， 设， 在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：胜利塔的高度约为． 36．（2025·甘肃天水·模拟预测）云冈石窟是我国世界文化遗产之一，位于山西省大同市西郊约17千米处，是中国著名的石窟群之一，其中第五窟三世佛的中央坐像（民间俗称“云冈大佛”），大耳垂肩，是云冈石窟的标志佛像．某校组织学生参观了云冈石窟，课题研究组的学生运用所学知识设计了一个求“云冈大佛”高度的实践活动，测量方案及数据如下： 课题 测量“云冈大佛”的高度 测量 目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量 工具 测角仪、皮尺等 测量 示意 图 说明：线段表示云冈大佛顶端到地面的高度，测角仪米，点A，B，C，D，M，N都在同一竖直平面内，点A，C，N在同一水平线上 测量 步骤 ①小明将测角仪固定在点A处测得大佛最高点M的仰角为； ②小明朝着大佛走了米，将测角仪固定在点C处，再次测得大佛的最高点M的仰角为 请你结合以上测量数据，帮助课题研究组的同学求出“云冈大佛 ”的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，） 【答案】“云冈大佛”的高度约为米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接并延长交于点，根据题意可得：，米，米，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，    由题意得：，米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， 米， （米）， “云冈大佛”的高度约为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第五单元 图形的变化 《第25讲 锐角三角函数及其应用》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏常州·期末）的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·青海西宁·二模）某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2025·山东泰安·二模）如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 8．（2025·贵州遵义·一模）由两个宽相等的矩形按如图方式摆放，夹角为，若矩形宽为，则重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·云南大理·一模）如图所示，在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·云南·模拟预测）如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 13．（2025·甘肃临夏·二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心O到的距离为，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 15．（2025·广东深圳·三模）如图，是的外接圆，，若的半径为1，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 16．（2025·浙江绍兴·一模）直角三角形纸片的两直角边的长分别为8和6，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点A，B，C，D都在半径为4的上，若，，则弦的长为（    ） A．4 B．2 C． D．2 18．（2025·陕西榆林·模拟预测）在中，，，D为边的中点，E为边上任意一点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 19．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 20．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 21．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ． 22．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 23．（2025·上海宝山·模拟预测）有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 24．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在 ． 25．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为 ．    26．（2025·新疆·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是 ． 27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为 ． 28．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，小明制作了一个三角形的小旗帜，测得，，，请你帮助小明计算这个小旗帜的面积为 （精确到，） 三、解答题 29．（2025·陕西西安·一模）计算： 30．（2025·云南楚雄·模拟预测）计算：． 31．（2025·上海嘉定·一模）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在处用测角仪测得塔顶的仰角为，再往塔的方向前进30米至处（点为塔底中心，且点在同一水平线上），测得此时塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：，结果精确到0.1米）． 32．（2025·四川广元·一模）如图，是的直径，点是延长线上一点，过作的切线，切点为，连接、． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 33．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 34．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 35．（2025·安徽淮南·一模）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度 项目背景 合肥渡江战役纪念馆胜利塔作为重要的红色文化地标，其高度是一项关键数据．为了让大众更深入地了解胜利塔，某中学数学兴趣小组开展了测量胜利塔高度的实践活动 测量工具 测角仪 测量示意图      测量过程 1．在距离胜利塔底部一定距离的地面C处放置测角仪，测角仪高度为，测得胜利塔顶部A的仰角为 2．在与C处水平距离为的地面E处放置另一测角仪，测角仪EF高度同样为，测得胜利塔顶部A的仰角为 请根据表中的测量数据，计算胜利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 36．（2025·甘肃天水·模拟预测）云冈石窟是我国世界文化遗产之一，位于山西省大同市西郊约17千米处，是中国著名的石窟群之一，其中第五窟三世佛的中央坐像（民间俗称“云冈大佛”），大耳垂肩，是云冈石窟的标志佛像．某校组织学生参观了云冈石窟，课题研究组的学生运用所学知识设计了一个求“云冈大佛”高度的实践活动，测量方案及数据如下： 课题 测量“云冈大佛”的高度 测量 目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量 工具 测角仪、皮尺等 测量 示意 图 说明：线段表示云冈大佛顶端到地面的高度，测角仪米，点A，B，C，D，M，N都在同一竖直平面内，点A，C，N在同一水平线上 测量 步骤 ①小明将测角仪固定在点A处测得大佛最高点M的仰角为； ②小明朝着大佛走了米，将测角仪固定在点C处，再次测得大佛的最高点M的仰角为 请你结合以上测量数据，帮助课题研究组的同学求出“云冈大佛 ”的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $