2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第24讲 相似三角形及其应用基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第五单元 图形的变化 《第24讲 相似三角形及其应用》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·一模）下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，相似图形要求形状相同，大小可能不同．反比例函数图像无论k值如何，形状相同，一定相似；等腰三角形不一定相似；菱形和矩形对应角不一定相等或边不一定成比例，不一定相似． 【详解】解：等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似； ∵反比例函数的图像是双曲线，通过缩放可重合，形状相同； ∴反比例函数图像一定相似． ∵菱形的对应角不一定相等（例如，一个菱形的内角为，另一个菱形的内角为），所以菱形不一定相似。 ∵矩形的长宽比不一定相同（如正方形与长方形），对应边不成比例； ∴矩形不一定相似． 故选：B． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知，则代数式的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用设k法求解． 由，可设，（），代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴ 设，（）， 则， ∴ 代数式的值为， 故选：C． 3．（2025·安徽亳州·一模）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义结合，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴； 故选A． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，D是上一点，连接，下列不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴；不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴；不符合题意； C、∵，， ∴；不符合题意； D、，不能判定，符合题意； 故选D． 5．（2025·四川·一模）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6．（2025·河南濮阳·一模）若，且与的相似比为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了对相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】解：∵，且与的相似比为， ∴与的面积比是， 故选：B． 7．（2025·云南·模拟预测）若，且的周长为4，则的周长为（     ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为； 故选C． 8．（2025·河南濮阳·一模）如图，已知中，，若，，，则的长是（   ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果． 【详解】解：，， ， ∵， ， ． 故选：A． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】， ， ，， ， 解得． 故选：D． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 11．（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了位似变换，根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律是解题的关键． 首先根据与是相似比为的位似图形，可知对应点的横纵坐标均为原来的倍，即可得到答案． 【详解】解：∵，与是相似比为的位似图形，点O为位似中心， ∴的坐标是 故选：B． 12．（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据题意可知，求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可； 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 13．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 14．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似三角形的判定条件，需要逐一分析每个选项，判断是否满足相似三角形的条件即可． 【详解】解：A项：∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意； B项：∵，， ∴，不符合题意； C项：∵，， ∴，不符合题意； D项：无法得出和相似，符合题意． 故选：D． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，平分交边于D点．若，，那么的长为（     ） A．7.5 B．10 C．11 D．9 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 作交于，由题意可得，，由平行线的性质可得，，，从而得出，进而可得，，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，推出，证明，计算即可得解． 【详解】解：如图，作交于， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 16．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，表示出与的函数解析式是解题的关键，还需注意、两选项的区别． 根据翻折变换的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，从而得到，根据两组角对应相等的三角形相似求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出与的关系式，再根据二次函数的图象解答即可． 【详解】解：由翻折的性质得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴函数图象为C项图象． 故选：C． 17．（2025·广西梧州·模拟预测）以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查是位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ，熟练掌握位似变换是解决本题的关键． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴点C的坐标为或， ∴点的坐标为或， 故选:D． 18．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由已知证明，得到，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 19．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，在矩形中，是对角线，点E，F分别在边，上，，交于点G．若点G是的中点，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得，进而可得，再证明，利用相似三角形的性质即可求出，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】解： 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 20．（2025·山东泰安·一模）如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，三角形全等的性质和判定，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点E，可证，则，可证，则，则题目可解． 【详解】解：延长交于点E，如图， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 故选：A． 二、填空题 21．（2025·安徽亳州·一模）已知，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可． 【详解】解：∵， 设， ∴； 故答案为：． 22．（2025·上海嘉定·一模）如图，已知直线分别与直线交于点，与直线交于点，如果，那么 ． 【答案】15 【难度】0.85 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的计算方法，找准线段的比是解题的关键．根据，，得到，结合已知求出的长度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 23．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 故答案为：． 25．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当 或 或 时，与相似． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案. 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴. 故答案为：，，. 26．（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．(只需写出一个) 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 27．（2025·云南大理·一模）如图，与交于点O，且．若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（2025·上海嘉定·一模）如图，点是正方形边上一点，且，点是边的中点，那么的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质等，根据和是的中点，可以求得，即可求证，所以根据该相似三角形的对应边成比例得到． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， 又是的中点， ， ． 又， ， ， 故答案为：． 29．（2025·湖南衡阳·模拟预测）魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形，已知图中与的面积比为． （1）若正方形的边长为16，则的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 / /0.75 【难度】0.65 【分析】本题考查了正方形性质，相似三角形性质和判定，正切的定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据正方形性质证明，利用相似三角形性质求解，即可解题； （2）结合正方形性质，相似三角形性质和判定推出，，进而求解，即可解题． 【详解】解：（1） 和都是正方形， ， ， 图中与的面积比为， ， 正方形的边长为16， ， ； 故答案为：． （2） 和都是正方形， ， ， 由（1）同理可知，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：． 30．（2025·广东·模拟预测）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故，即， ， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【详解】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 32．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 33．（2025·江苏南通·一模）如图，矩形的边，分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标为，反比例函数的图象分别交边、于点、，连接，与关于直线对称．当点正好落在边上时，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题主要利用图形的对称，三角形相似及反比例函数的性质来解决问题．把各个边的长表示来，再利用勾股定理即可解决．如图，连接，过点作，垂足为，用含的代数式表示，的坐标，设，求出直线、的斜率，根据两条垂直的直线的斜率相乘，乘积为求出的值，证明，根据对应线段成比例列式求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， 直线的斜率， 在上， 故可设坐标为， 直线的斜率， 与关于直线对称， ， ， 即， 解得， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得． 34．（2025·四川成都·二模）如图，等边内一点D满足，延长交于E，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.15 【分析】延长，交于点G，延长，交于点F，过点F作于点H，先证，得到，再证，，根据相似三角形的性质可得，，从而得到，设，，则，，然后解直角三角形和勾股定理可得的长度，最后根据计算即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点G，延长，交于点F，过点F作于点H， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， 又∵， ∴， 整理得， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，掌握通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 三、解答题 35．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在中，，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查平行线的基本性质以及相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 根据平行线的性质得到，，由此即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴． 36．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，余角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）证明，然后根据相似三角形的性质和垂直的定义即可得证； （2）证明，得出，证明，得出，则，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)是，图见解析，M的坐标为 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：如上图画出， 与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 38．（2025·安徽亳州·一模）如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． （1）求出，根据平行线分线段成比例定理得到，进而计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 解得：． 39．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径，在的延长线上，且与相切．平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)，见解析 (2) 【难度】0.4 【分析】（1）连接，，先证，得点B在线段的垂直平分线上，再证点O在线段的垂直平分线上，从而有垂直平分线段，即可得解； （2）连接，，先证，得，，从而求得，，，再利用勾股定理求得，，从而即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图，连接，， ∵四边形 内接于， ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， ∴； （2）解： 连接，， ∵与相切， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，，，   ∴，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、线段垂直平分线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定以及性质，勾股定理；熟练掌握线段垂直平分线的判定以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 40．（2025·安徽亳州·一模）综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究． 【初步感知】如图1，点是正方形的边上一动点，过点作交于点．求证：； 【类比探究】如图2，点是矩形的边上一动点，连接交对角线于点，若线段是线段和的比例中项，求证：； 【拓展提升】如图3，的对角线相交于点，过点作交边的延长线于点，若，求线段的最小值． 【答案】初步感知：证明见详解；类比探究：证明见详解；拓展提升： 【难度】0.4 【分析】初步感知：由正方形性质得到，进而得到，再由得到，则，最后由相似三角形的判定定理即可得证； 类比探究：由矩形性质得到，，根据题中条件，结合相似三角形的判定定理得到，再由相似性质得到，在中，，等量代换即可得到，即，从而得证； 拓展提升：先由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，，从而确定求线段的最小值，就是求线段的最小值，由直线外一个定点与直线上一个动点之间的距离，垂线段最短可知，当时，线段有最小值，作出图形，由相似三角形的判定定理得到，列比例式代值计算求出即可得到线段的最小值． 【详解】解：初步感知：如图所示： 在正方形中，， ， ， ， ， ； 类比探究：如图所示： 在矩形中，，， 线段是线段和的比例中项， ， 则， ，， ， ， 在中，， ， 即在中，，则， ； 拓展提升：如图所示： ，， 在中，由勾股定理可得， 在中，对角线相交于点，则，， 点是定点、点是边上的一个动点，且，即求线段的最小值，就是求线段的最小值， 由直线外一个定点与直线上一个动点之间的距离，垂线段最短可知，当时，线段有最小值，如图所示： ，， ， 则， 即， 解得， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形综合，综合性较强，涉及正方形的性质、互余定义、相似三角形的判定与性质、矩形性质、比例中项定义、比例性质、垂直判定、勾股定理、平行四边形性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，熟记特殊平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 41．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与实践 【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． 通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想： (1)、的数量关系是_________；四边形的面积是_________． 【类比探究】 (2)兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究． 如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． ①请判断线段与的数量关系，并说明理由； ②点E在上运动时，四边形的面积_________（填“不变”或“改变”）． 【拓展应用】 (3)在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；32 (2)①；②改变 (3)或 【难度】0.4 【分析】（1）根据题意，易证，则四边形的面积等同于的面积； （2）①类比（1）可得，则； ②由相似三角形的性质可以得出结论； （3）分两类情况，点B、C关于对称和，利用（2）的结论并结合轴对称的性质和矩形的性质计算出线段的长即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）①∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点E从点A运动到点C的过程中，的面积逐渐增大， ∴四边形的面积会改变； （3）当点B、C关于对称时，如图， 由对称的性质可知，，， 在和中， ， ∴， ∴四边形为轴对称图形，符合题意， 在直角中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，也是轴对称图形，符合题意， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，运用模型来寻找全等三角形与相似三角形是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第五单元 图形的变化 《第24讲 相似三角形及其应用》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·一模）下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知，则代数式的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025·安徽亳州·一模）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，D是上一点，连接，下列不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川·一模）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南濮阳·一模）若，且与的相似比为，则为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·云南·模拟预测）若，且的周长为4，则的周长为（     ） A．4 B．8 C．16 D．64 8．（2025·河南濮阳·一模）如图，已知中，，若，，，则的长是（   ） A．3 B．2 C．1 D．4 9．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，平分交边于D点．若，，那么的长为（     ） A．7.5 B．10 C．11 D．9 16．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·广西梧州·模拟预测）以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 18．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，在矩形中，是对角线，点E，F分别在边，上，，交于点G．若点G是的中点，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·山东泰安·一模）如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 二、填空题 21．（2025·安徽亳州·一模）已知，则 ． 22．（2025·上海嘉定·一模）如图，已知直线分别与直线交于点，与直线交于点，如果，那么 ． 23．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 24．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 25．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当 或 或 时，与相似． 26．（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．(只需写出一个) 27．（2025·云南大理·一模）如图，与交于点O，且．若，则 ． 28．（2025·上海嘉定·一模）如图，点是正方形边上一点，且，点是边的中点，那么的值为 ． 29．（2025·湖南衡阳·模拟预测）魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形，已知图中与的面积比为． （1）若正方形的边长为16，则的长为 ； （2）的值为 ． 30．（2025·广东·模拟预测）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． 的长为 ． 31．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ． 32．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 33．（2025·江苏南通·一模）如图，矩形的边，分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标为，反比例函数的图象分别交边、于点、，连接，与关于直线对称．当点正好落在边上时，则的值为 ． 34．（2025·四川成都·二模）如图，等边内一点D满足，延长交于E，，则 ． 三、解答题 35．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在中，，求证：． 36．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 37．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 38．（2025·安徽亳州·一模）如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 39．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径，在的延长线上，且与相切．平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 40．（2025·安徽亳州·一模）综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究． 【初步感知】如图1，点是正方形的边上一动点，过点作交于点．求证：； 【类比探究】如图2，点是矩形的边上一动点，连接交对角线于点，若线段是线段和的比例中项，求证：； 【拓展提升】如图3，的对角线相交于点，过点作交边的延长线于点，若，求线段的最小值． 41．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与实践 【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． 通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想： (1)、的数量关系是_________；四边形的面积是_________． 【类比探究】 (2)兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究． 如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． ①请判断线段与的数量关系，并说明理由； ②点E在上运动时，四边形的面积_________（填“不变”或“改变”）． 【拓展应用】 (3)在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $