第26练 相似三角形的应用 2025年中考数学考点基础练（浙江）

第26练 相似三角形的应用　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 1.[2024·临安区模拟]某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝11.04 m，EF＝2.76 m.已知B，C，E，F在同一条直线上，AB⊥BC，DE⊥EF.若DE＝3.24 m，则旗杆AB的高度为(　A　) 第1题图 A.12.96 m B.12.76 m C.12.56 m D.12.36 m 2.如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3 cm，则零件的厚度x为(　B　) 第2题图 A.0.3 cm B.0.5 cm C.0.7 cm D.1 cm 【解析】 ∵OA∶OC＝OB∶OD，∠COD＝∠AOB， ∴△COD∽△AOB， ∴AB∶CD＝OA∶OC＝3. 又∵CD＝3 cm，∴AB＝9 cm. ∵零件的外径为10 cm， ∴零件的厚度x为(10－9)÷2＝0.5(cm). 3.[2024·绥化]如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按位似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是(　D　) 第3题图 A.(9，4) B.(4，9) C. D. 4.[2023·江西]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝　6　m.  第4题图 【解析】 由题意，得BC∥PQ， ∴△ABD∽△AQP， ∴，∴，解得QP＝6， ∴树高PQ＝6 m. 5.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是　2∶5　.  第5题图 【解析】 ∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC和△DEF的位似比为OA∶OD. ∵OA∶AD＝2∶3，∴OA∶OD＝2∶5， ∴△ABC与△DEF的周长比是2∶5. 6.一个矩形ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大的两个三角形纸片按图2方式放置，若图2中两个阴影部分面积满足，则DN∶EN＝　3　.  　 第6题图 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB， ∴在图2中，∠DBE＝∠ACB， ∴BM＝CM. ∵∠A＋∠ACB＝∠ABM＋∠CBM＝90°， ∴∠A＝∠ABM，∴AM＝BM. 如答图，过点M作MP⊥DE于点P，则MP∥BC. 第6题答图 ∵∠ABE＝∠DEB＝90°， ∴∠ABE＋∠DEB＝180°， ∴AB∥DE，∴△ABM∽△NDM， ∴， ∴. 又∵AM＝BM，∴DM＝MN， ∴PD＝PN. ∵MP∥BC，∴. 设PD＝3a，PE＝5a，则PN＝3a，EN＝2a， ∴＝3. 7.《九章算术》中记载了一种测距的方法.如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10 m的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F.如果测得FC＝4 m，求塔与树的距离AE. 第7题图 解:∵四边形ABCD是边长为10 m的正方形， ∴AD＝CD＝BC＝10 m，BC∥AD， ∴FD＝CD－FC＝6 m，△FDE∽△FCB， ∴，即， ∴DE＝15 m，∴AE＝DE＋AD＝25 m. 答:塔与树的距离AE为25 m. 8.[经典题]如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵树的树高，下午课外活动时，她测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高CD为1.2 m，又测得地面的影长BC为2.6 m，则树高AB为(AB⊥BC，DC⊥BC)(　C　) A.3.25 m B.4.25 m C.4.45 m D.4.75 m 第8题图 第8题答图 【解析】 如答图，过点C作CE∥AD，交AB于点E，则易知四边形AECD是平行四边形，故AE＝DC＝1.2 m. 由题意，得，BC＝2.6 m， ∴EB＝3.25 m，∴AB＝AE＋EB＝4.45 m， 即树高为4.45 m. 9.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5 m，CD＝13 m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于　10　米.转动时，叶片外端离地面的最大高度等于　10＋　米.  第9题图 【解析】 如答图，延长OA交水平地面于点N，设OM与AC相交于点K. 第9题答图 易知此时点O在地面上的影子落在CD的中点H处，则CH＝CD＝6.5 m， ∴MH＝MC＋CH＝15 m. 又易知OM∶MH＝KM∶MC＝EF∶FG＝2∶3， ∴OM＝10 m，KM＝ m， ∴OK＝OM－KM＝ m. 又易知△OAK∽△CMK， ∴AK∶OA＝MK∶CM＝2∶3. 又∵OA2＋AK2＝OK2，∴OA2＋， ∴OA＝ m， ∴转动时，叶片外端离地面的最大高度为OM＋OA＝(10＋)m. 10.小明在复习相似三角形的相关知识时，关注到一本书上的例题，温故后进行了思考、操作、探究. 内容 图示 温故 如图1，一块锐角三角形铁皮，它的边BC＝80 cm，高AD＝60 cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上.求这个矩形零件的边长(不需要解答). 第10题图1 思考 (1)正方形是特殊的矩形，如图2，若将矩形PQRS变成正方形PQRS，其余条件不变，请直接写出正方形PQRS的边长: 　 cm.  第10题图2 操作 (2)能画出这类正方形吗?小明查阅资料，按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图3，在△ABC中，在AB边上任取一点P'，画正方形P'Q'R'S'，使点S'，R'在BC边上，点Q'在△ABC内，连结BQ'并延长，交AC于点Q，画QR⊥BC于点R，QP⊥QR交AB于点P，PS⊥BC于点S，得到四边形PQRS.请证明四边形PQRS是正方形. 第10题图3 探究 (3)小明继续探究:如图4，在正方形PQRS上又作了一个正方形P1Q1R1S1，使得边S1R1落在PQ上，点P1，Q1分别在边AB，AC上，P1Q1与AD相交于点F，最终发现任意给定BC和AD的值(在实际意义范围内)，都有恒成立，请给出证明. 第10题图4 解:(1)设正方形PQRS的边长为x(cm). ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴，∴，∴x＝， ∴正方形PQRS的边长为 cm. (2)由题意，易得四边形PQRS是矩形. ∵Q'R'∥QR，∴△BQ'R'∽△BQR， ∴Q'R'∶QR＝BQ'∶BQ. 同理可得，P'Q'∶PQ＝BQ'∶BQ， ∴Q'R'∶QR＝P'Q'∶PQ. ∵四边形P'Q'R'S'是正方形， ∴Q'R'＝P'Q'，∴QR＝PQ， ∴四边形PQRS是正方形. (3)∵△APQ∽△ABC， ∴，∴＝1， 同理可得，＝1， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26练 相似三角形的应用　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 1.[2024·临安区模拟]某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝11.04 m，EF＝2.76 m.已知B，C，E，F在同一条直线上，AB⊥BC，DE⊥EF.若DE＝3.24 m，则旗杆AB的高度为(　 　) 第1题图 A.12.96 m B.12.76 m C.12.56 m D.12.36 m 2.如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3 cm，则零件的厚度x为(　 　) 第2题图 A.0.3 cm B.0.5 cm C.0.7 cm D.1 cm 3.[2024·绥化]如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按位似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是(　 　) 第3题图 A.(9，4) B.(4，9) C. D. 4.[2023·江西]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝ m.  第4题图 5.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是 .  第5题图 6.一个矩形ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大的两个三角形纸片按图2方式放置，若图2中两个阴影部分面积满足，则DN∶EN＝ .  　 第6题图 7.《九章算术》中记载了一种测距的方法.如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10 m的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F.如果测得FC＝4 m，求塔与树的距离AE. 第7题图 8.[经典题]如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵树的树高，下午课外活动时，她测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高CD为1.2 m，又测得地面的影长BC为2.6 m，则树高AB为(AB⊥BC，DC⊥BC)(　 　) A.3.25 m B.4.25 m C.4.45 m D.4.75 m 第8题图 9.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5 m，CD＝13 m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米.转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米.  第9题图 10.小明在复习相似三角形的相关知识时，关注到一本书上的例题，温故后进行了思考、操作、探究. 内容 图示 温故 如图1，一块锐角三角形铁皮，它的边BC＝80 cm，高AD＝60 cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上.求这个矩形零件的边长(不需要解答). 第10题图1 思考 (1)正方形是特殊的矩形，如图2，若将矩形PQRS变成正方形PQRS，其余条件不变，请直接写出正方形PQRS的边长: cm.  第10题图2 操作 (2)能画出这类正方形吗?小明查阅资料，按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图3，在△ABC中，在AB边上任取一点P'，画正方形P'Q'R'S'，使点S'，R'在BC边上，点Q'在△ABC内，连结BQ'并延长，交AC于点Q，画QR⊥BC于点R，QP⊥QR交AB于点P，PS⊥BC于点S，得到四边形PQRS.请证明四边形PQRS是正方形. 第10题图3 探究 (3)小明继续探究:如图4，在正方形PQRS上又作了一个正方形P1Q1R1S1，使得边S1R1落在PQ上，点P1，Q1分别在边AB，AC上，P1Q1与AD相交于点F，最终发现任意给定BC和AD的值(在实际意义范围内)，都有恒成立，请给出证明. 第10题图4 学科网（北京）股份有限公司 $$