2026年中考数学第一轮复习专题讲练第22讲 尺规作图基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第22讲 尺规作图》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·模拟）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·一模）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川·期中）如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（    ）． A． B． C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点 6．（2025·北京·一模）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7．（2025·黑龙江·一模）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧交，于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知∠A．尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．则可以直接判定四边形是菱形的依据是（    ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 9．（2025·北京·模拟预测）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北·一模）如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·河南开封·一模）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 12．（2025·吉林长春·模拟预测）利用尺规作图在一个矩形内作菱形，则下列作法中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列尺规作图，能确定的是（    ）． A． B． C． D． 15．（2025·天津·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　） A． B． C． D． 16．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，为上一点，连接．在下方取一点 ，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 17．（2025·辽宁锦州·三模）如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点B、C；分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P；作射线．分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D、E，作直线分别与、、相交于点F、Q、H．若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 18．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·广西梧州·一模）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点P； ③作射线，即为所求． 丙①在上取点M，利用圆规截取； ②过点M，N作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 20．（2025·天津·一模）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接，交于点H，以点H为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接，若，则（　　）． A． B． C． D． 二、填空题 21．（2025·贵州贵阳·一模）如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A，B为圆心、以的长为半径作弧，两弧交于点C；②连接．观察尺规作图的痕迹，的度数为 ． 22．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图所示，为尺规作图痕迹，若，，则长为 ． 23．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接，分别与，交于点和； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③分别以点和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ④作射线，分别交，于点，，若，，则的度数为 ． 24．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是 ． 25．（2025·四川内江·三模）如图，以矩形的顶点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交及的延长线于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交的延长线于点G．若，，则 26．（2025·湖南·模拟预测）如图，在上分别截取线段，使得；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线．连接， 若，，则的度数为 ． 27．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ． 28．（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为 ． 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 30．（2025·湖南长沙·二模）如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为 ． 31．（2025·浙江杭州·二模）如图，点在双曲线上，连接，分别以点O、A为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点，若，则点的坐标为 ． 32．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 33．（2025·湖南常德·二模）如图，在边长为6的菱形中，对角线，相交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，则 ． 34．（2025·四川乐山·二模）已知中，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是 （将正确选项的番号填在横线上）． 35．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部），连接并延长交于点K．若，则正方形的边长为 ． 三、解答题 36．（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 37．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 38．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图，已知等边． (1)在图上画出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，则的半径_____． 39．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 40．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，已知． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①在边的下方作； ②在射线上截取，连接； (2)判断四边形的形状，结果是______． 41．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 42．（2025·重庆·模拟预测）综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①______． ∴， ∴， ∴②______． 在和中： ∴， ∴③______，， ∴④______． ∴四边形是平行四边形． 43．（2025·福建福州·模拟预测）下面是某校数学兴趣小组研究性学习报告的部分内容，请阅读并解答下列问题． 尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：如图，，点P为外一定点． 求作：过点作的一条切线． 作法：连接线段； 作的_____，交于点； 以点为圆心，的长为半径作，交于点； 作直线直线即为所求作的一条切线． (1)补全作法中所缺的内容：______； (2)求证：直线是的切线； (3)如图，为与的交点，连接，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第22讲 尺规作图》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·模拟）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图-作一个角等于已知角等知识．连接，由作图可得，根据“”证明，即可证明． 【详解】解：连接， 由作图可得． 在和中， ， ∴， ∴． 故选：C 2．（2024·河北邯郸·一模）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．平行四边形的性质．利用基本作图可对A选项直接进行判断；再根据平行四边形的性质得到，，所以，则可对B选项进行判断；同时得到，所以，则可对C、D选项进行判断． 【详解】解：由作图得平分， ∴，所以A选项不符合题意， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即，所以B选项不符合题意， ∴， ∴， ∴，所以C选项不符合题意， 与不能确定相等，所以D选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点O是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， 点O是的中点． ， ． ． ． 故选：A． 4．（25-26九年级上·四川·期中）如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质．根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（    ）． A． B． C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 6．（2025·北京·一模）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定．根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ， 射线平分． 故选：B． 7．（2025·黑龙江·一模）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧交，于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的作法和定义等，由等腰三角形的性质得，由作图可知平分，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∴， 故选：． 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知∠A．尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．则可以直接判定四边形是菱形的依据是（    ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理．由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，， ∴四边形是菱形， ∴依据是“四条边相等的四边形是菱形”． 故选：A． 9．（2025·北京·模拟预测）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定方法，根据作图步骤得到，结合，得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， 又∵， ∴； 故选：D． 10．（2025·河北·一模）如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、三角形内角和定理等知识．由尺规作图的作法得到，根据三角形内角和定理代入数据计算即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，， 即， ∵， ∴， 故选：C． 11．（2025·河南开封·一模）如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：①作图是尺规作图作角的平分线，故①正确； ②作图不能得到射线是的平分线，故②错误； ③作图可以得到射线是的平分线，故③正确； ④作图可以得到是的中线，故④错误； 故选：． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）利用尺规作图在一个矩形内作菱形，则下列作法中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，尺规作图等知识，根据矩形的性质和菱形的判定定理，平行四边形的判定与性质，且结合全等三角形的性质和判定进行逐项分析，证明即可． 【详解】解：A．依题意： 由作图可得，垂直平分线段， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ∴四边形是菱形，故A选项不符合题意； B．如图， 根据作图可得是的垂直平分线，是的垂直平分线， 则，， 即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理证明四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 同理得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；故B选项不符合题意； 如图所示： 结合作图过程得出平分，， ∴ 由矩形的性质得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；故C选项不符合题意； 如图所示： 由矩形的性质得，， 结合作图过程得分别平分， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， 则无法证明四边形是菱形， 故D选项符合题意； 故选：D 13．（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列尺规作图，能确定的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】此题考查了尺规作图—基本作图，观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项作图痕迹可知，D为中点，即，不能确定； B选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，即，不能确定； C选项作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定； D选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定． 故选：C． 15．（2025·天津·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点作交的延长线于点，首先证明是等边三角形，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 由作图可知，平分， ． ∵四边形是平行四边形， ． ． 是等边三角形． ． ， ． ． ，． ． ． ， ． ． 故选：A． 16．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，为上一点，连接．在下方取一点 ，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查了作图-基本作图，作垂线，线段的垂直平分线的性质及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 由作图可知是线段的垂线，利用为的中点，可以推知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质及勾股定理即可得到的长，进而得结论． 【详解】解：由作图可知是线段的垂线，且为的中点， ， ∵的周长为14， 即， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：B． 17．（2025·辽宁锦州·三模）如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点B、C；分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P；作射线．分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D、E，作直线分别与、、相交于点F、Q、H．若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查了作图—作角平分线、作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，由作图可得平分，垂直平分，即可得出，，，证明为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 18．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是掌握以上知识． 作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 故选：B． 19．（2025·广西梧州·一模）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点P； ③作射线，即为所求． 丙①在上取点M，利用圆规截取； ②过点M，N作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】A 【难度】0.4 【分析】方案一，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，即可判断； 方案二，通过证明，，，即可判断； 方案三，举反例，设，并按方案三的操作，推理出点P可以不在的平分线上，从而判断方案的正误． 【详解】解：方案一： 是的平分线 故方案一正确； 方案二： ，，， ， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 是的平分线， 故方案二正确； 方案三： 举反例：如图，设， 按题中的操作步骤可知，， ， ， 过点N作，交于点P， ， ， 显然，点P不在的平分线上， 故方案三错误； 只有方案一和方案二正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的判定与性质及举反例判断假命题是解题的关键． 20．（2025·天津·一模）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接，交于点H，以点H为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接，若，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图，连接，先根据作图过程、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理证明，易得，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接．由作图可知，垂直平分线段，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题 21．（2025·贵州贵阳·一模）如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A，B为圆心、以的长为半径作弧，两弧交于点C；②连接．观察尺规作图的痕迹，的度数为 ． 【答案】60 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了尺规作图，等边三角形的判定和性质．由作法得：，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：60 22．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图所示，为尺规作图痕迹，若，，则长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、作垂线，等腰三角形的判定与性质，由作图可得射线是的角平分线，是线段的垂直平分线，从而可得，，可得，最后证明，进一步可得答案． 【详解】解：根据作图痕迹可知：射线是的角平分线，，是线段的垂直平分线， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为： 6． 23．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接，分别与，交于点和； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③分别以点和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ④作射线，分别交，于点，，若，，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了尺规作图、三角形外角的性质、直角三角形的性质，利用三角形内角和定理可知，由作图可知是的平分线，所以可得，根据三角形外角的性质可以求出，根据直角三角形两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，， ，， ， 由作图可知是的平分线， ， 是的外角， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：． 24．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 由作图可知，平分， ∵，，即，且， ∴， ∴线段长度的最小值是1， 故答案为：1． 25．（2025·四川内江·三模）如图，以矩形的顶点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交及的延长线于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交的延长线于点G．若，，则 【答案】2 【难度】0.65 【分析】过点作，垂足分别为点和，则，由平分得到，由四边形是矩形，进一步可得，则四边形是矩形，得到，由求得，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为点和，则， 由题意可知，平分， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为： 2 ． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质和尺规作图等知识，熟练掌握角平分线的性质、矩形的判定和性质是解题的关键． 26．（2025·湖南·模拟预测）如图，在上分别截取线段，使得；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线．连接， 若，，则的度数为 ． 【答案】/55度 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，由作图得是的平分线，根据角平分线的性质作高后证得平分，从而发现是内外角平分线的夹角．体现了对几何综合的运算能力，推理能力的核心素养要求． 【详解】解：如图，过点 D 作交的延长线于点M，作交的延长线于点 N，作交于G． 由作图得是的平分线， ∴． ∵，， ∴，， ∴，即平分． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴平分． ∴； 故答案为：． 27．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查作图——基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，由勾股定理得，根据，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，． 由勾股定理得，． ， ， ． 故答案为：． 28．（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【难度】0.65 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题的关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【详解】解：由作图步骤可知， 步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D， ， 步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 四边形的对角线与互相垂直， ， 故答案为：12． 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 【答案】9 【难度】0.65 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断平分，根据角平分线的性质可得出，结合已知即可求解． 【详解】解∶由作图知∶ 平分， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶9． 30．（2025·湖南长沙·二模）如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为 ． 【答案】15 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，基本作图-作线段垂直平分线等知识点．由含30度角的直角三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长是． 【详解】解：，， ， 由题意知：D在线段的垂直平分线上， ， 的周长． 故答案为：15． 31．（2025·浙江杭州·二模）如图，点在双曲线上，连接，分别以点O、A为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，连接，由作图方法可得垂直平分，，则由等边对等角和三角形内角和定理可得，设，则，，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点在双曲线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 32．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，过点G作于点M，于点N．利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点G作于点M，于点N． 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（2025·湖南常德·二模）如图，在边长为6的菱形中，对角线，相交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，则 ． 【答案】3 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，中位线的性质，菱形的性质， 根据尺规作图的步骤可知是的垂直平分线，即点M是的中点，再根据菱形的性质可知是的中位线，可知，则答案可得． 【详解】解：根据题意可知是的垂直平分线， ∴点M是的中点． ∵四边形是菱形， ∴， 即点O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：3． 34．（2025·四川乐山·二模）已知中，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是 （将正确选项的番号填在横线上）． 【答案】① 【难度】0.4 【分析】本题考查了尺规作图，过直线外一点作这条直线的垂线，作直径所对的圆周角，理解尺规作图的依据是解题的关键．按尺规作图的要求依次判断即可． 【详解】解：图以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于；再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点；过点作射线，射线即是所求的射线；图符合题意； 图以点为圆心，长为半径画弧交于点E；再以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于，直线，且直线不一定过点C，即射线不一定与垂直，所以射线不是所求的射线，图不符合题意； 图中不是射线，故图不符合题意． 故答案为：． 35．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部），连接并延长交于点K．若，则正方形的边长为 ． 【答案】 【难度】0.4 【分析】如图，连接，过点作于点，在上取一点，使得，连接．证明，设，根据，构建方程求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，在上取一点，使得，连接． 由作图可知垂直平分线段， ∵四边形是正方形， ， 垂直平分线段， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ∴正方形的边长． 故答案为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质及三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题 36．（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 作，利用同位角相等，两直线平行可知． 37．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）利用等腰三角形的性质得到，再证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：连接， ，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 38．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图，已知等边． (1)在图上画出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，则的半径_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】（1）作和的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可； （2）延长交于E，连接，根据圆周角定理得到，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）延长交于E，连接，如图， 为直径， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，解直角三角形的相关计算，作图—作垂直平分线，三角形外接圆，含30度的直角三角形特征，熟悉基本几何图形的性质为解题关键． 39．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查尺规作图和平行四边形的性质，熟练掌握“等边对等角”是解题的关键． （1）利用尺规作图作的平分线，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E即可； （2）由（1）可得，根据得到，进而得到，根据等边对等角证明即可． 【详解】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点， 再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E，如图所示： （2）证明：平分 四边形是平行四边形 ． 40．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，已知． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①在边的下方作； ②在射线上截取，连接； (2)判断四边形的形状，结果是______． 【答案】(1)①见解析②见解析 (2)平行四边形 【难度】0.65 【分析】本题主要考查作图-复杂作图，熟练掌握做一个角等于已知角和平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据题目要求作图即可得； （2）根据平行四边形的判定解答即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求作： （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 41．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【难度】0.65 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 42．（2025·重庆·模拟预测）综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①______． ∴， ∴， ∴②______． 在和中： ∴， ∴③______，， ∴④______． ∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④ 【难度】0.65 【分析】本题考查平行四边形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键， （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）证明，即可证得四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所求作角， （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，． ∴， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 故答案为：①，②，③，④． 43．（2025·福建福州·模拟预测）下面是某校数学兴趣小组研究性学习报告的部分内容，请阅读并解答下列问题． 尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：如图，，点P为外一定点． 求作：过点作的一条切线． 作法：连接线段； 作的_____，交于点； 以点为圆心，的长为半径作，交于点； 作直线直线即为所求作的一条切线． (1)补全作法中所缺的内容：______； (2)求证：直线是的切线； (3)如图，为与的交点，连接，，，求的面积． 【答案】(1)垂直平分线； (2)见解析； (3)． 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了切线的判定、尺规作图，解决本题的关键是熟练掌握切线的判定和尺规作图，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． （1）由尺规作图可知：作的垂直平分线，交于点，由此即可得出答案； （2）由作图可知是的直径，则，即，再根据是的半径即可得出结论； （3）过点作于点，依题意得，，则，，先由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出，进而根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：如下图所示， 由尺规作图可知：是的垂直平分线，交于点， 是的直径， ， 又是的半径， 是的切线； 故答案为：垂直平分线； （2）证明：由作图可知：是的直径， ， 即， 是的半径， 是的切线； （3）解：过点作于点，如下图所示： 是的直径，，， ，， ， ， 在中，， ， 由三角形的面积公式得：， ， 的面积为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $