2026年中考数学第一轮复习专题讲练第20讲直线和圆的位置关系基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第20讲 点、直线和圆的位置关系》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2025·四川广安·一模）若的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的交点个数是(        ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系．根据圆与直线的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断交点个数． 【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离， ， 直线与相离，没有交点． 故选：A． 2．（2025·湖南常德·三模）如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，先求出，再根据切线的性质得，再根据三角形内角和定理得，得，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 故选：A． 3．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 5．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知的直径为8，若，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外⇔； ②点P在圆上⇔；③点P在圆内⇔．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．比较的半径和点P到点O的距离的大小，即可根据点与圆的位置关系判断点P与位置关系． 【详解】解：∵的直径为8，即圆的半径为4， 而， ∴点P到圆心的距离等于圆的半径， ∴点P在上． 故选：B． 6．（23-24九年级上·河南许昌·期中）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理可得是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， 则， ∴， 故选B． 7．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图呈现的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．如图1是某同学在课余时间堆的雪人，其头部可抽象成如图2所示的图形，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点、，连接、、，过圆心，与相切，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】通过切线性质得垂直，结合已知垂直推，再利用等腰三角形性质求解角度． 本题主要考查圆的切线性质、等腰三角形性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握切线垂直于过切点的半径是解题关键． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵ 与 相切， ∴ ，即 ． ∴, ∵ ∴ ． 故选：A． 9．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，、分别与相切于、两点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆的切线性质、四边形内角和定理以及圆周角定理．熟悉掌握圆周角定理求解出的度数是解题的关键． 先根据切线性质得到直角，再利用四边形内角和为得出与的关系，最后通过圆周角定理求出，进而求出． 【详解】解：因为、是切线， 所以，， 即． 因为， 所以． 在四边形中，根据四边形内角和为， 即， 可得． 的度数为． 故选：D． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 11．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【分析】设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，四边形是正方形，根据面积法求出内切圆的半径，进而可得的周长． 本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、， 由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， 设内切圆的半径为r， 由， 得， 解得， ∴， ∴， ， ∴的周长 ． 故选：B． 12．（22-23九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可． 先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， ，， ，， 点在内、点在外． 故选：C． 13．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，已知是半的直径，是弦，切于点，交的延长线于点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查切线的性质，如图，连接，根据等边对等角及三角形外角的性质推出，再根据切线的性质得出，即可解答．解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵切于点， ∴， ∴． 故选：C． 14．（2025·四川绵阳·一模）如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了切线长定理，全等三角形的性质和判定，四边形内角和定理， 连接根据切线的性质和切线长定理得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据四边形内角和定理求出，最后根据得出答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的切线，点A，B，E是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 15．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，根据直角三角形的性质求出，然后利用圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 16．（2025·湖南·模拟预测）如图，在内已知为直径，是的切线，且的延长线交于点．连接．若，则的度数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，从而可求． 【详解】解：， 又是的切线， ∴， ， 故选：C． 17．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，内接于，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， 四边形为内接四边形， ， ， 故选：C． 18．（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ）    A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，方向角，关键是由圆的内接四边形的性质求出和的度数． 由平行线的性质推出，求出，故可判断A选项；连接，由圆的内接四边形的性质推出，求出，得到点D在点A的南偏东的方向上，故可判断B选项；求出，得到，因此点E在点A的南偏东方向上，故可判断C选项；由圆的内接四边形的性质求出，得到，故可判断D选项． 【详解】解：如图，    由题意可得， ∴， ∴， ∴，故A选项错误； 连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点A的南偏东的方向上，故B选项错误； ∵， ∴ ∴在四边形中，， ∴， ∴点E在点A的南偏东方向上，故C选项错误； ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴，故D选项正确． 故选：D 19．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 20．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【分析】先证明四边形是菱形，从而可得，再证明四边形是正方形，从而可得，再根据当、、三点共线时，最短，利用勾股定理求得，从而可求得的最小值． 【详解】解：作O关于的对称点，连结，，，， 则，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为D′， ∴为的圆心， ∵是等腰直角三角形的外接圆， ∴，，为斜边的中点， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最短， 此时，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，用勾股定理解三角形，根据正方形的性质与判定求线段长，点与圆上一点的最值问题，折叠问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二、填空题 21．（2025·贵州黔东南·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，已知，则度数为 ． 【答案】 【难度】0.94 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先求出，再由圆周角定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，，，分别切于点，，，如果，那么的周长为 ． 【答案】 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，即可得到，，，从而可求得的周长． 【详解】解：，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 23．（2025·江苏·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A=30°，则∠D的度数为 °． 【答案】30 【难度】0.94 【分析】连接OC，根据切线的性质定理得到∠OCD=90°，根据三角形内角和定理求出∠D． 【详解】解：连接OC， ∵CD为⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， 由圆周角定理得，∠COD=2∠A=60°， ∴∠D=90°-60°=30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 24．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是 ． 【答案】相交 【难度】0.94 【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：根据圆心到直线的距离5小于圆的半径6，则直线和圆相交． 故答案是：相交． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系． 25．（2009·安徽芜湖·中考真题）两圆的半径分别是和，这两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是 ． 【答案】内切 【难度】0.94 【分析】本题主要考查圆和圆的位置关系，两圆外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．根据已知数量关系与两圆位置关系的对应情况可得出答案． 【详解】解：由题意，两圆圆心距， ∴这两圆的位置关系是内切． 故答案为：内切． 26．（2025·北京·模拟预测）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，若，则 ． 【答案】/32度 【难度】0.85 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 27．（2025·四川南充·一模）如图，是的直径，点C，D均在上，过点C作的切线交的延长线于点P，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由切线的性质得，根据，则，结合圆周角定理，得出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点C作的切线交的延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 28．（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 【答案】10 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了切线长定理．直接利用切线长定理得出，进而求出的长． 【详解】解：∵切于点A，B，切于点E， ， 的周长是20， ， ， ， ， 故答案为：10． 29．（2025·宁夏·模拟预测）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查平行线的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 由平行线的性质，可得的度数，根据圆内接四边形对角互补，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于，可得，又由，即可求得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 31．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，． 故答案为： ． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（2025·浙江杭州·二模）如图，内接于，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆内接四边形性质，熟练掌握知识点是解题的关键．在上的优弧上任取一点，连接，，，利用圆内接四边形性质得出，利用圆周角定理得出，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，在上的优弧上任取一点，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 34．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，根据圆的切线得到，进而求出的度数，结合等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，再利用圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵的切线交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 35．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【答案】48 【难度】0.65 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 三、解答题 36．（2025·上海松江·二模）如图，在中，，，点在边上，以O为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点E． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.65 【分析】此题考查了切线的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用切线的性质和含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案； （2）连接、，则，证明△和△是等边三角形，再利用含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：与边相切于点， ， ， ，， ， ， ， ， 的半径长为4． （2）解：连接、，则， ，， ， △是等边三角形， ，, ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 的值为． 37．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理． （1）利用圆内接四边形的性质，求得，再利用平行线的性质求得，推出，得到； （2）连接．先求得．利用圆周角定理求得，利用勾股定理求得，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴． 如图，连接． ∵是的直径， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 39．（2025·浙江丽水·二模）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【难度】0.65 【分析】（1）连接，则和，根据题意得，即有，可得，则有即可判定角平分线； （2）过点O 作于点E，连接，则，判定四边形为矩形，有，结合圆的性质和等腰三角形的性质求得，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 则，， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：过点O 作于点E，连接，如图， 则， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为10， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质、切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、角平分线的判定、矩形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉常规辅助线的做法． 40．（2025·青海西宁·一模）如图，是的直径，点，是半圆的三等分点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)试判断以点，，，为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，理由见解析 (3) 【难度】0.65 【分析】（1）连接，根据与切点，则，由题意得，，即可证明，则，从而得出； （2）四边形为菱形．由（1）得，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形； （3）连接根据四边形为菱形，得是等边三角形，则，再由于点，为直径，在中，根据，求得的长． 【详解】（1）证明：连接， 与切点， ， ， 点是半圆的三等分点， ∴，     ， ， ， ， ∴ 内错角相等，两直线平行 ， ； （2）解：四边形为菱形．理由是： ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形； （3）解：连接． 四边形为菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 于点，为直径， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质以及解直角三角形，是中学阶段的重点内容． 41．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明； （2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点C作于H，， 设，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， 同理可证明 ， ∴， ∴， ∵点B为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 42．（2025·山西·模拟预测）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证； （2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第四单元 图形的性质 《第20讲 点、直线和圆的位置关系》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2025·四川广安·一模）若的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的交点个数是(        ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025·湖南常德·三模）如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知的直径为8，若，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 6．（23-24九年级上·河南许昌·期中）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 8．（2025·吉林长春·模拟预测）堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．如图1是某同学在课余时间堆的雪人，其头部可抽象成如图2所示的图形，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点、，连接、、，过圆心，与相切，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，、分别与相切于、两点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 11．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 12．（22-23九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 13．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，已知是半的直径，是弦，切于点，交的延长线于点，，则（　　） A． B． C． D． 14．（2025·四川绵阳·一模）如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·湖南·模拟预测）如图，在内已知为直径，是的切线，且的延长线交于点．连接．若，则的度数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 17．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，内接于，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ）    A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 19．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 21．（2025·贵州黔东南·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，已知，则度数为 ． 22．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，，，分别切于点，，，如果，那么的周长为 ． 23．（2025·江苏·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A=30°，则∠D的度数为 °． 24．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是 ． 25．（2009·安徽芜湖·中考真题）两圆的半径分别是和，这两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是 ． 26．（2025·北京·模拟预测）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，若，则 ． 27．（2025·四川南充·一模）如图，是的直径，点C，D均在上，过点C作的切线交的延长线于点P，连接．若，则的度数为 ． 28．（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 29．（2025·宁夏·模拟预测）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则 ． 30．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则 ． 31．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为 ． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 33．（2025·浙江杭州·二模）如图，内接于，若，则的度数为 ． 34．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 35．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 三、解答题 36．（2025·上海松江·二模）如图，在中，，，点在边上，以O为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点E． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 37．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 38．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 39．（2025·浙江丽水·二模）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为10，，求的长． 40．（2025·青海西宁·一模）如图，是的直径，点，是半圆的三等分点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)试判断以点，，，为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 41．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 42．（2025·山西·模拟预测）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $