湖南省常德市2025-2026学年高三上学期检测考试数学试题

常德市2025-2026学年度上学期高三检测考试 数学（试题卷） 命题人：龚家喜（市教科院） 佘智辉（桃源一中） 田宏达（常德市一中） 周顺（常德外国语学校） 注意事项：本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，只交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 已知平面向量，为单位向量，且，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知抛物线：的焦点为，以为圆心且半径为2的圆与抛物线相交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 D. 函数与在上有两个交点 10. 设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知无穷数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________. 13. 如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体的体积的最大值为36，则该圆柱的侧面积为________. 14. 已知双曲线：左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，且，则双曲线的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 16. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点. （1）为的中点，为上一点，平面，证明：为中点； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. （1）求； （2）设的中点为，，求的长. 18. 已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值. 19. 已知函数，. （1）当，时，求函数的单调区间； （2）若对任意，，对恒成立. （i）求的取值范围： （ii）若，证明：函数有且仅有一个极大值点. 常德市2025-2026学年度上学期高三检测考试 数学（试题卷） 命题人：龚家喜（市教科院） 佘智辉（桃源一中） 田宏达（常德市一中） 周顺（常德外国语学校） 注意事项：本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，只交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【16题答案】 【答案】（1） 如图，取的中点为由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点; （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）增区间为，减区间为. （2）（i）（ii）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $