精品解析：山东临沂市兰陵县2025-2026学年上学期期末质量调研九年级数学试卷

2025-2026学年度上学期质量调研 九年级数学 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列一元二次方程中，有两个互为相反数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据两个根互为相反数，得到两根之和为，进行判断即可． 【详解】解：A、，方程没有实数根，不符合题意； B、，两根之和为，符合题意； C、，方程没有实数根，不符合题意； D、，且两根之和为4，不符合题意； 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 已知反比例函数，有下列结论：①图象必经过点；②图象位于第二、四象限；③y随x的增大而增大；④当时，则．其中正确的是（　　） A. ① B. ①② C. ①④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴当时，，即图象必经过点，故①正确； ∵， ∴图象位于第二、四象限，故②正确； 在每个象限内 随 增大而增大，故③错误； 当 时，，故④错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：B． 4. 在中，，若，，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形函数，利用勾股定理求出 ，再根据正弦、余弦和正切的定义计算即可判断求解，掌握正弦、余弦和正切的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 5. 如图，的斜边在 轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，再利用旋转的性质得到，然后利用第四象限点的坐标特征写出点的坐标． 【详解】如图， 在中，， ， 绕原点顺时针旋转后得到， ， 点的坐标为． 故选A． 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：． 6. 通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（　　） A. △ABC放大后，∠A是原来的3倍 B. △ABC放大后周长是原来的3倍 C. △ABC放大后，面积是原来的3倍 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方来判断． 【详解】解：一个能放大3倍的放大镜看△ABC，则看到的三角形与△ABC相似，相似比是3：1， A、两个相似三角形的对应角相等，故A错； B、周长的比等于相似比，即△ABC放大后，周长是原来的3倍，故B正确； C、面积的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面积是原来的9倍，故C错； D、B选项正确，故D错． 故选B． 【点睛】本题考查了对相似三角形性质的理解．(1)相似三角形周长的比等于相似比．(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 7. 如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，由图可得，，得出的度数，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，在 的内接四边形中，，那么是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先根据圆周角定理求出，再利用圆内接四边形对角互补的性质求出的度数． 【详解】解：∵， ∵四边形内接于 ， ∴。 又∵， ∴． 故选：D ． 9. 点、、在反比例函数的图象上，且，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当 时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数图象在二、四象限，且在每一象限内， 随着 的增大而增大， 由，可知，点在第二象限，点、在第四象限，则， ∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标， ∴． 故选：B． 10. 二次函数 ，自变量 与函数 的对应值如表： 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当， 随 的增大而减小 C. 二次函数的最小值是 D. 抛物线的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求解二次函数解析式和二次函数的性质的知识点，通过待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质判断各选项． 【详解】解：选取点、、代入 ， 得方程组： 解得，代入前两式： 化简得： 得：， 解得 代入，即 解得， . 选项A: ，开口向上，不符合题意； 选项B: 对称轴，开口向上，当时 随 增大而增大，，故 随 增大而增大，不符合题意； 选项C: 顶点坐标，，最小值，不符合题意； 选项D: 对称轴，正确； 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识．根据，证明，，进而证明，即可求出，从而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4 12. 在对物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系．点在此函数图象上，当力达到时，物体在力的方向上移动的距离是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，由反比例函数关系，设，将点代入求 ，再令求解即可． 【详解】设力 与距离的反比例函数关系为， 将点代入得，解得， 故函数表达式为， 当时，，解得， 故答案为：1.5． 13. 如图，直线交于点 ，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 14. 如图，已知四边形内接于 ， 的半径为2，，则弧 的长为______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ，四边形内接于 ， ∴ ， 的半径为2， 弧 的长为． 故答案为：． 15. 如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2＋4．把（5，0）代入函数解析式求得a的值，即可求得该函数解析式，然后把x＝1代入函数解析式，来求相应的y值即可． 【详解】依题意得，该函数的顶点坐标是（0，4）．故设该函数解析式为：y＝ax2＋4（a≠0）． 把点（5，0）代入，得a×52＋4＝0， 解得： a＝−， 所以该函数解析式为：y＝−x2＋4． 把x＝1代入得到：y＝−×12＋4＝． 即桥洞离水面的高是 米， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，学会用待定系数法求解抛物线解析式，设出点的坐标，根据点与抛物线的位置关系，解决实际问题． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，负整数指数幂，绝对值，解题关键在于掌握运算法则． 此题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简，绝对值的性质．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式 ． 17. 若实数，满足，求 的值． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换； 设，则原方程转化为关于 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求 即 的值． 【详解】解：设，则由原方程，得， 整理，得，即， 分解得：， 解得：， 则 的值是或1． 18. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求该函数的解析式，并用配方法求其图象的顶点坐标； （2）当时，求 的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数函数值的取值范围，掌握待定系数的计算，根据自变量取值范围求函数值的取值范围的计算方法是解题的关键 （1）运用待定系数法即可求出解析式，再根据配方法得到顶点式即可求解； （2）分别算出，，的函数值进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴， 解得：， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 解： 中含有顶点， 当 时， 有最大值7， ∵当时，，当时，， ∴当时， 有最小值为， 有最大值为7． ∴当时，． 19. 一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． （2）先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式计算概率，用列表法或树状图法求概率，熟记概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用树状图求解即可． 【小问1详解】 解：口袋中共有 3 个球，其中红球有 2 个， 所以，从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． 【小问2详解】 画树状图： 所有可能的结果共有6种：(红球 1，红球 2)、(红球1，白球)、(红球 2，红球 1)、(红球 2，白球)、(白球，红球 1)、(球，红球 2) ，其中“两次都摸到红球“的结果有 2 种:(红球 1，红球 2)、(红球 2，红球 1)， 所以，（两次都摸到红球）． 20. 如图，， 交 于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求 的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：设 的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴ 的半径是5. 21. 某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到 的距离； （2）求高压电塔 的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）20m （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作于点 ，解直角三角形即可解答； （2）求得 ，进行角度计算得到，则可求得 ，再解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 解：如图，作于点 ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得： ， ， ， ， ，， ． 22. 如图，在四边形中， ，，．以点为圆心，以 为半径作交于点 ，以点为圆心，以 为半径作所交 于点 ，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】（1） 解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以 为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 23. 【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造，，连接 ，． 【特例感知】 （1）如图1，当时， 与 之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点 与点关于 对称，连接 ，EF， ，如图3．已知，，设，求 的长度． 【答案】（1），； （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交 于 ，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）连接交 于 点 与点关于 对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期质量调研 九年级数学 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列一元二次方程中，有两个互为相反数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 3. 已知反比例函数，有下列结论：①图象必经过点；②图象位于第二、四象限；③y随x的增大而增大；④当时，则．其中正确的是（　　） A. ① B. ①② C. ①④ D. ②③④ 4. 在中，，若，，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的斜边在 轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则 点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（　　） A. △ABC放大后，∠A是原来的3倍 B. △ABC放大后周长是原来的3倍 C. △ABC放大后，面积是原来的3倍 D. 以上都不对 7. 如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在 的内接四边形中，，那么是（ ）． A. B. C. D. 9. 点、、在反比例函数的图象上，且，则有（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数 ，自变量 与函数 的对应值如表： 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当， 随 的增大而减小 C. 二次函数的最小值是 D. 抛物线的对称轴是直线 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在 中，，，则_____． 12. 在对物体做功一定的情况下，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系．点在此函数图象上，当力达到时，物体在力的方向上移动的距离是__________ 13. 如图，直线交于点 ，，若，则的值为________． 14. 如图，已知四边形内接于 ， 的半径为2，，则弧 的长为______（结果保留） 15. 如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 若实数，满足，求 的值． 18. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求该函数的解析式，并用配方法求其图象的顶点坐标； （2）当时，求 的取值范围． 19. 一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． （2）先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率． 20. 如图，， 交 于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求 的半径． 21. 某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到 的距离； （2）求高压电塔 的高度（结果保留根号）． 22. 如图，在四边形中， ，，．以点为圆心，以 为半径作交于点 ，以点 为圆心，以 为半径作所交 于点 ，连接交于另一点，连接． （1）求证：为所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留） 23. 【综合与实践】 如图，在中，点 是斜边上的动点（点 与点不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造，，连接 ，． 【特例感知】 （1）如图1，当时， 与 之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点 与点关于 对称，连接 ，EF， ，如图3．已知，，设，求 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $