精品解析：江苏泰州市泰兴市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，关键是将已知根代入方程，通过解方程求出参数的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 即，解得， 故选：C． 2. 某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和极差，根据平均数、中位数、众数和极差的定义判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设个评分排序后为， ∵中位数为，去掉和后剩余，其中位数为， ∴中位数不变， 平均数因总和改变可能变化，众数因数据减小可能变化，极差因最大值和最小值改变可能变化， 故选：． 3. 已知的半径为cm，若cm，则点和的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小．先明确圆的半径，点到圆心的距离，再通过比较与的大小判断位置关系． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离，， ∴， ∴点在外， 故选：C． 4. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的巧妙方法．如图，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面．视线与井口的直径交于点，如果测得m，m，m，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是熟练应用性质列出比例线段；由三角形相似可得即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 5. 在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．在中，根据的定义和勾股定理，设，，通过方程求解x，再求． 【详解】解：如图， ∵，， ∴ 设，， ∵，由勾股定理，， ∴， 解得（舍）或， ∴． 故选：C． 6. 已知二次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，连接、，若的面积为3，则点的位置有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质． 通过求二次函数与坐标轴的交点确定点B和点A的坐标，分两种情况，即点在直线上方或点在直线下方，利用铅锤法表示出的面积，结合点P在抛物线上的条件求解，得到点P的个数． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点， 令得， 解得或， ∴， 与y轴交于点B，令，得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，当点在下方时，过点作轴交于点， ， 设，则， ， ， 当时，取最大值，， 即点在下方时，， 所以在直线下方的抛物线上，存在点，可使的面积为3； 当时，， 解得，， 即在直线下方的抛物线上，存在两个点，可使的面积为3； 当点在上方时，， 所以在直线上方的抛物线上，有点，可使的面积为3， 根据抛物线的对称性，有个点，可使的面积为3， 即总共有4个点满足要求， 故选：D． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案填写在答题卡相应位置） 7. 甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为、、．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是___________．（填“甲”、“乙”或“丙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查的是概率的意义，理解概率的取值范围与事件发生可能性的对应关系是解题的关键．根据概率的取值意义：概率越接近，事件发生的可能性越大；概率等于则事件必然发生，进而判断出概率为的事件“发生的可能性很大，但不一定发生”． 【详解】解：甲事件发生的概率为，远小于，发生的可能性很小； 乙事件发生的概率为，接近，发生的可能性很大，但概率小于，因此不一定发生； 丙事件发生的概率为，表示一定发生，不符合“不一定发生”的描述． 故答案为：乙． 8. 已知是方程的两个实数根，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．根据根与系数的关系得出，代入数据计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：， 故答案为：3． 9. 若，则的值为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的基本性质．由已知比例设参数，代入求值即可． 【详解】解：设 ，（）， 则，， ∴． 故答案为： 10. 在中，若直径为，某弦的弦心距为，则此弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线，垂足为点，则，，连接，由题意可得，由勾股定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过圆心作弦的垂线，垂足为点，则，，连接， ， ∵直径为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 圆心角为，半径为的扇形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，牢记扇形面积公式是解题的关键． 扇形面积公式为（其中为圆心角度数，为半径），将圆心角、半径代入公式即可求出扇形面积． 【详解】解：圆心角，半径为的扇形的面积为． 故答案：． 12. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点和点，则不等式的解集是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题， 先确定当时，，再根据抛物线在直线上方的部分的自变量取值范围即为不等式的解集解答． 【详解】解：当时，， ∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， 当时，． 故答案为：． 13. 已知，以原点为位似中心，将线段缩小后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换的性质．以原点为位似中心时，对应点的坐标比等于相似比．根据点和点的坐标求出相似比，再应用相似比求点的对应点坐标． 【详解】解：以原点为位似中心，点的对应点， 根据位似变换的性质，对应点的坐标比等于相似比， ，， ， 设的坐标为， 点对应点， ，． 点坐标为． 故答案：． 14. 如图是某堤坝的截面示意图，，若坡面的坡度为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，由已知可得，设，，利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，坡面的坡度为， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将大小不同的两块量角器的零刻度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，图中两圆周的交点为，点在大量角器上对应的刻度为，则点在小量角器上对应的刻度为___________（填小于的角）． 【答案】66 【解析】 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握用量角器测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键．连接，，由点P在大量角器上对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在小量角器上对应的刻度． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵大、小量角器的中心分别为、，点P在大量角器上对应的刻度为， ∴， ∵， ∴， ∴点P在小量角器上对应的刻度为． 故答案为：66． 16. 已知，点、在半径为的上，直线与相切于点，且，直线与直线交于点，若，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由条件可知，的半径为r，与相切于点B，且，因此为等腰直角三角形，．又，即．当点A和点B位于的同侧，则．在等腰中，求得，则可得．当点A和点B在的异侧时，， 求得，则可得． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴． 如图1，当点A和点B在的同侧时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图2，当点A和点B在的异侧时，， ∵， ∴， ∴． 故答案为或． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、解一元二次方程，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据特殊角三角函数、零指数幂、二次根式化简法则计算即可解得； （2）用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解： ． 18. 一个不透明的箱子里装有个红球，个黄球，个蓝球，这些球除颜色外完全相同． （1）现从箱子里随机摸出个球（先摸出个球，且这个球不放回，再摸出个球）．通过列表或者画树状图的方法求摸到的个球颜色不同的概率； （2）从箱中随机摸出个球，若摸到红球，则中奖；若摸到黄球，则不放回此球，再摸一次，若第二次摸到红球，则中奖，否则不中奖；若摸到蓝球，则不中奖．直接写出最终中奖的概率___________； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）画出树状图，再根据树状图解答即可求解； （）分别求出第一次摸到红球的概率和第一次摸到黄球且第二次摸到红球的概率，相加即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中摸到的个球颜色不同的结果有种， ∴摸到的个球颜色不同的概率； 【小问2详解】 解：由题意可得，第一次摸到红球的概率为，第一次摸到黄球且第二次摸到红球的概率为， ∴最终中奖的概率为， 故答案为：． 19. 为备战体育中考，初三（3）班的小华和小红坚持进行仰卧起坐专项训练，小红同学根据她们俩连续4个月（训练后）的成绩绘制了如图所示的统计表和折线统计图． 9月 10月 11月 12月 小华 31 35 46 52 小红 21 25 36 42 （1）两名同学仰卧起坐成绩的离散程度___________（填“相同”或“不相同”）； （2）小红认为从折线统计图看，经过4个月的训练，两人的成绩增长率似乎同步（即同一段时间内增长率相同）．小红的说法对吗？请根据上表数据，谈谈你的想法． 【答案】（1）相同 （2）小红的说法错误，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，计算方差，折线统计图，正确理解题意读懂统计图是解题的关键． （1）通过分别计算小红和小华成绩的方差来比较离散程度即可； （2）可以通过计算9月~10月两人的增长率比较即可． 【小问1详解】 解：小华成绩的平均数为，小红成绩的平均数为， ∴小华成绩的方差为：； 小红成绩的方差为：， ∴小华和小红成绩的方差一样，故离散程度相同， 故答案为：相同； 【小问2详解】 解：小红的说法错误，例如9月~10月，小华的增长率， 小红的增长率，， 所以小红的说法错误． 20. 已知二次函数的图象顶点为． （1）求点的坐标； （2）点在该函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将化为顶点式即可求出点的坐标； （2）根据，结合二次函数的图像和性质，即可求n的取值范围． 【小问1详解】 解：∵ ∴． 小问2详解】 解：由（1）得当时，有最大值4， 当时，；当时，； ∴当时，． 21. 如图，矩形中，点在上，且． （1）在上求作点，使以点为圆心的经过点和点（利用无刻度的直尺和圆规完成作图，不写作法，保留画图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）与相切，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，全等三角形性质和判定，矩形性质，切线判定定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连接，作线段的垂直平分线交于点，即可解题； （2）连接，证明，结合矩形性质，全等三角形性质推出，再利用切线判定定理即可推出和的位置关系． 【小问1详解】 解：所作点如图所示： 【小问2详解】 解：与相切，理由如下： 连接， 四边形为矩形， ， ， ， ， 为半径， 与相切． 22. 春节来临，某商场销售的一种新款服装成本为300元/件，每天的销售量（件）与单价（元）之间存在一次函数关系，图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天该款服装的销售量不低于24件，当单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且x为10的倍数） （2）当单价为460元时，每天获得的利润最大，最大利润是3840元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天获得的利润为元，列出w关于x的二次函数关系式，再求出x的取值范围，最后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设 由题意得， ∴， ∴与之间的函数关系式为（，且x为10的倍数）； 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为元， 由题意得，， ∵ ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当单价为460元时，每天获得的利润最大，最大利润是3840元． 23. 图1为某种蝶式环抱手机支架，图2为该手机支架示意图（材料宽度忽略不计）．点、为挡杆，防止手机向下滑落，点、为夹头，从两侧夹住手机．、、、为伸缩杆．手机放置在挡杆、上，由于重力的作用，挡杆下降，、夹头收缩并夹住手机两侧．已知cm． （1）未放置手机时，伸缩杆夹角，求、两点之间的距离（结果精确到cm）； （2）若宽为cm的手机竖放在手机支架上，手机能被夹住，求与之间的距离． （参考数据：） 【答案】（1） （2）与之间的距离 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）过点作于点，解直角三角形可求得的长继而得到的值； （2）通过论证≌≌，四边形为菱形，即可求得结论． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴． ∴． 答：、两点之间的距离； （2）解：连接， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴≌≌， ∴， ∴， ∴， 作直线交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∵∽， ∴， ∴， ∵≌≌， ∴， ∴． 答：与之间的距离． 24. 如图，是边长为的等边三角形，点为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，当其中一点到达点时，、同时停止运动，设运动时间为秒． （1）求证：∽； （2）当是以为斜边的直角三角形时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等，关键是灵活应用知识点解题； （1）根据两边对应成比例且夹角相等论证两三角形相似即可； （2）由相似得到，进而利用三角函数求得，从而得到，即可求得的值． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 由题意可知， ∴， ∴∽； （2）解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴ ∵∽， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过两点． （1）求二次函数的表达式； （2）点、为该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； （3）点、为该二次函数图象上不同两点，且满足，请写出、之间的数量关系，并写出推理过程． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的表达式求解、函数值的大小比较及代数式的推导，涉及代入法、作差比较法和代数变形等知识点，关键是利用点在二次函数的图象上，得到等式、从而适当变形． （1）将已知两点坐标代入二次函数解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可确定函数表达式； （2）先根据函数表达式写出、的表达式，再通过作差法计算，结合的条件判断差的正负，从而比较与的大小； （3）先将点、的坐标代入函数表达式，得到、关于、的表达式，再结合已知等式进行代数变形，推导出，最后代入、的表达式证明． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过、两点， ∴代入得，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点、为该二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵点、为该二次函数图象上不同的两点， ∴，， ∵， ∴，，，， ∵，即， ∴，即， 将代入， 得， ∴． 26. 综合与实践 定义：如果一个小矩形的四个顶点分别落在另一个大矩形的四条边上（不含顶点），则称这个小矩形为大矩形的内接矩形． （1）概念理解： 如图1，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，判断：四边形____________（填“是”或“不是”）正方形的内接矩形； （2）操作探究： 用长方形纸片进行如下操作： 第一步：如图2，沿折叠长方形纸片，点落在边上的点处，再展开纸片，沿裁剪，得到正方形和矩形； 第二步：将矩形按图3放置，发现、、、的对应点、、、恰好分别落在、、、上． ①试说明：； ②探究发现： 如图3，通过度量发现：点恰好是的中点，请说明理由； ③深入思考： 直接写出的值． 【答案】（1）是 （2）①见解析；②见解析；③ 【解析】 【分析】本题结合“内接矩形”综合考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，关键是通过全等关系与相似关系推导线段长度与比例。 （1）根据内接矩形的定义，结合正方形边长相等的性质，证明四边形的顶点在正方形的边上，且为矩形，从而判定其为内接矩形。 （2）①利用正方形和矩形的性质找等角，用证，得到； ②过作，证四边形是矩形，再用证，结合推得，即是中点； ③设正方形边长为，由两角相等证，得比例式化简得，推出是等腰直角三角形，结合是中点，知、，又，故． 【小问1详解】 解：设正方形的边长为，，则． 在与中，，，， ， ，． ， ，即． 同理可得四边形四个角均为直角，且四边相等，故为正方形； 又其顶点均在正方形的四条边上， 四边形是正方形的内接矩形； 故答案为：是． 【小问2详解】 ①解：四边形是正方形， ，． 四边形是矩形， ，． ∴，， ， ，， ． 在与中，，，， ， ； ②解：如图，过点作于点，连接、， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． 矩形矩形， ． 在与中，，， ， ． 由①知， ∴， ， ，即点恰好是的中点； ③解：设正方形的边长为，则， 由①， 设，， 则，． ∵，， ∴， ∴，即，展开化简得， 解得或(舍去)， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵点是的中点， ， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 2. 某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 3. 已知半径为cm，若cm，则点和的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 4. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的巧妙方法．如图，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面．视线与井口的直径交于点，如果测得m，m，m，那么为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知二次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，连接、，若的面积为3，则点的位置有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案填写在答题卡相应位置） 7. 甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为、、．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是___________．（填“甲”、“乙”或“丙”） 8. 已知是方程的两个实数根，则___________． 9. 若，则的值为___________ 10. 在中，若直径为，某弦的弦心距为，则此弦的长为______． 11. 圆心角为，半径为的扇形的面积为___________． 12. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点和点，则不等式的解集是___________． 13. 已知，以原点为位似中心，将线段缩小后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为___________． 14. 如图是某堤坝的截面示意图，，若坡面的坡度为，则的长为______． 15. 如图，将大小不同的两块量角器的零刻度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，图中两圆周的交点为，点在大量角器上对应的刻度为，则点在小量角器上对应的刻度为___________（填小于的角）． 16. 已知，点、在半径为的上，直线与相切于点，且，直线与直线交于点，若，则___________． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 一个不透明的箱子里装有个红球，个黄球，个蓝球，这些球除颜色外完全相同． （1）现从箱子里随机摸出个球（先摸出个球，且这个球不放回，再摸出个球）．通过列表或者画树状图的方法求摸到的个球颜色不同的概率； （2）从箱中随机摸出个球，若摸到红球，则中奖；若摸到黄球，则不放回此球，再摸一次，若第二次摸到红球，则中奖，否则不中奖；若摸到蓝球，则不中奖．直接写出最终中奖的概率___________； 19. 为备战体育中考，初三（3）班的小华和小红坚持进行仰卧起坐专项训练，小红同学根据她们俩连续4个月（训练后）的成绩绘制了如图所示的统计表和折线统计图． 9月 10月 11月 12月 小华 31 35 46 52 小红 21 25 36 42 （1）两名同学仰卧起坐成绩的离散程度___________（填“相同”或“不相同”）； （2）小红认为从折线统计图看，经过4个月的训练，两人的成绩增长率似乎同步（即同一段时间内增长率相同）．小红的说法对吗？请根据上表数据，谈谈你的想法． 20. 已知二次函数的图象顶点为． （1）求点的坐标； （2）点在该函数图象上，且，求的取值范围． 21. 如图，矩形中，点在上，且． （1）在上求作点，使以点为圆心经过点和点（利用无刻度的直尺和圆规完成作图，不写作法，保留画图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断和的位置关系，并说明理由． 22. 春节来临，某商场销售的一种新款服装成本为300元/件，每天的销售量（件）与单价（元）之间存在一次函数关系，图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天该款服装的销售量不低于24件，当单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 图1为某种蝶式环抱手机支架，图2为该手机支架示意图（材料宽度忽略不计）．点、为挡杆，防止手机向下滑落，点、为夹头，从两侧夹住手机．、、、为伸缩杆．手机放置在挡杆、上，由于重力的作用，挡杆下降，、夹头收缩并夹住手机两侧．已知cm． （1）未放置手机时，伸缩杆夹角，求、两点之间的距离（结果精确到cm）； （2）若宽为cm的手机竖放在手机支架上，手机能被夹住，求与之间的距离． （参考数据：） 24. 如图，是边长为的等边三角形，点为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，当其中一点到达点时，、同时停止运动，设运动时间为秒． （1）求证：∽； （2）当是以为斜边直角三角形时，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过两点． （1）求二次函数的表达式； （2）点、为该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； （3）点、为该二次函数图象上不同的两点，且满足，请写出、之间的数量关系，并写出推理过程． 26. 综合与实践 定义：如果一个小矩形的四个顶点分别落在另一个大矩形的四条边上（不含顶点），则称这个小矩形为大矩形的内接矩形． （1）概念理解： 如图1，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，判断：四边形____________（填“是”或“不是”）正方形的内接矩形； （2）操作探究： 用长方形纸片进行如下操作： 第一步：如图2，沿折叠长方形纸片，点落在边上的点处，再展开纸片，沿裁剪，得到正方形和矩形； 第二步：将矩形按图3放置，发现、、、对应点、、、恰好分别落在、、、上． ①试说明：； ②探究发现： 如图3，通过度量发现：点恰好是中点，请说明理由； ③深入思考： 直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $