精品解析：安徽鼎尖教育2025-2026学年高三上学期期末数学试题

过程性学科素质评价 高三数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹等字笔书写，字体工整，笔迹清晰． 3．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 5．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，求得，结合基本交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得，即， 又由，可得． 故选：B. 2. 在的展开式中的系数为（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出相应参数的值，代回通项即可求得的系数. 【详解】依题意，展开式的通项为： . 令，得； 则，所以的系数为24． 故选：B. 3. 如图，在四面体中，点为的重心，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及重心的性质即可求解. 【详解】如图，连接并延长与相交， 点为的重心，， ． 故选：A. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 0 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列前项和性质，和等差数列通项公式列出等式求解即可. 【详解】由等差数列性质得：， 所以， ，， ． 故选：C 5. 已知等轴双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先算出椭圆的焦点，再根据等轴双曲线的特点求出虚半轴长，而焦点到渐近线的距离就是这个虚半轴长. 【详解】椭圆：，，由，则，焦点坐标为； 双曲线，， 又，， 双曲线焦点为，渐近线为，取焦点，渐近线为计算距离， 双曲线的焦点到渐近线的距离． 故选：D 6. 已知定义在上的奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 关于对称 B. 关于点对称 C. 的一个周期为4 D. 为奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数对称性、奇偶性、周期性的定义逐项判断即可. 【详解】为奇函数，，所以. ，，即. ，是周期为的函数.所以C正确. 为奇函数，， 所以，所以关于对称，所以A错误. ， 关于对称.所以B错误. 函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到， 关于轴对称，即为偶函数.所以D错误. 故选：C. 7. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（ ） A. B. 众数小于平均数 C. 中位数超过75分 D. 估计全校有640名考生及格 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判断A不正确；求得数据的众数和平均数的值，可判定B不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定C错误；求得落在中的人数为，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定D正确. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 8. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，，得到 设和，利用导数求得和的单调性，结合函数的单调性，比较大小，即可得到答案. 【详解】令，，， 可得， 设，其中， 可得，所以在上单调递减， 所以，即，即， 故，所以； 设，其中， 可得，令， 可得，故在上单调递增， 所以，可得，所以在上单调递增， 所以，可得， 故，所以，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数，，满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABC，利用基本不等式即可判断；对于D，根据消元，结合二次函数的最值即可判断. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，故B正确． 对于C，， ， 当且仅当即时，等号成立，故C正确． 对于D，， ，， 当时有最小值，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知函数（），则（ ） A. 当时，在区间上的值域为 B. 当时，在区间上单调 C. 若是的一条对称轴，则的值为偶数 D. 若在区间上恰有3个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由，得到，进而可判断，对于B，由， 得到，结合正弦函数性质即可判断，对于C，由求解即可；对于D，由，得到 ，结合正弦函数图象得到，求解即可. 【详解】对于A，当时，， ，，，故A正确． 对于B，当时，， ，令， 在不单调，故B错误． 对于C，若是的一条对称轴， 则， 取值为偶数，故C正确． 对于D，，令， 在恰有3个零点， 则，故D正确． 故选：ACD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点在线段上，则为定值 C. 若点与点重合，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，先用勾股定理计算，再可知点的轨迹，计算即可；选项B，利用向量的运算即可求解；选项C，法一，利用几何法找出球心即可计算出，法二，利用空间坐标系结合球面的定义即可计算出；选项D，由题意知点在以为圆心，1为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A，，则在以为圆心，半径为1的四分之一圆周上，如图（1） 轨迹长度为，故A错误； 对于B，如图（2）所示， 设，， ， 又， ，故B正确． 对于C，方法一，如图（3）所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，在中，外心为中点， 连接并延长交于点，易知平面， 过点作平行于的垂线交于点， 即为三棱锥的外接球球心，， 外接球半径，，故C正确． 方法二，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设球心，， ，解得， ，，故C正确． 对于， 由知，点在以为圆心，1为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，，， 故，如图在平面中，过点作于点， 则，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用复数乘法法则和复数相等的条件求得，然后代入复数模的运算求解即可. 【详解】设，则， ，， ，． 故答案为： 13. 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知，，三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的20%，35%，45%，不合格率分别为0.01，0.015，0.02．现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为______；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是厂生产的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由全概率公式求得该瓶酒是不合格的概率；由条件概率公式求得若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是厂生产的概率. 【详解】记事件：任取一瓶芡实酒，该瓶酒不合格. ：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由厂生产，，； ：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由厂生产，，； ：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由厂生产，，. 则. 所以. 故答案为：①；②. 14. 已知圆：（圆心为点），动点在直线：上，过点向圆作两条切线，切点分别为，；直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，得出直线方程，通过分析得出直线过定点, 点在以为直径的圆上，点到直线的距离等于点到直线的距离 减去圆的半径. 【详解】依题意，将圆化为标准式：， ，，设， 则直线为： 直线恒过点 ，点在以为直径的圆上， ，，：， 点到直线的距离为， 点到直线的距离． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，点在上，且，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，且，即，整理得，进而求得的值； （2）根据题设条件和正弦定理求出的值，再结合（1）的结论求出的值，进而得到，，的值，由得的值，在中，由余弦定理可得的长度. 【小问1详解】 依题意，， 由正弦定理得，， 因为，所以， 即， 化简可得， 又因为，所以， 所以且，解得. 【小问2详解】 由题意知，，， 又因为，所以， 由（1）知，所以，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理， 可得，解得. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，与相交于点 ，点 在棱上且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在直三棱柱中， 因为，且点 在棱上且， 在直角 中，可得，所以， 在直角中，可得，所以，所以. 又因为，，，可得 ，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，再由 ，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，进而证得平面； （2）以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点 为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面的法向量为，， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为 ，则． 【点睛】 17. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，过点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理求出纵坐标差的绝对值的最大值即可求得三角形面积的最大值. 【小问1详解】 由椭圆：的离心率为，得，则， 由椭圆过点，则，联立解得， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 显然直线斜率不为0，设其方程为：，， 由，消去得，， 则， ， 当且仅当，即时取等号，而， 因此， 所以面积的最大值为. 18. 近些年人工智能（AI）经历了爆炸式发展，技术性能显著提升，应用场景深度渗透．现有，，三台机器人进行象棋比赛，比赛规则：每一局由两台机器人进行比赛，剩余的一台机器人进行“调试”，每局比赛结束时，负方在下一局进行“调试”，胜方继续进行下一局比赛．设每一局比赛中的两台机器人获胜的概率均相等，各局比赛结果相互独立且没有平局，首局比赛由和对弈，进行“调试”，表示第局进行“调试”的概率（）． （1）求前3局中，不“调试”的概率； （2）求； （3）若表示前5局比赛中“调试”的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）（） （3）分布列如下： 0 1 2 ，【解析】 【分析】（1）由第1局和第2局均要获胜，结合独立事件概率乘法公式即可求解； （2）由题意得到，构造等比数列，进而可求解； （3）确定的可能取值，求得相应概率，即可求解. 【小问1详解】 记为前3局中，不“调试”， 开始比赛由和对弈， 第1局和第2局均要获胜，； 【小问2详解】 若第局进行“调试”，则第局负， （），， ，又， （）； 【小问3详解】 记：“”为“比赛”，“”为“调试”， ，，， 分布列如下： 0 1 2 ． 19. 已知函数（）． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，求证：函数在上有且仅有2个极值点． 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围； （3）求出函数的导函数，利用隐零点的思想说明函数的极值点，即可证明. 【小问1详解】 依题意，当时，， ，，， 切线方程为：，整理得：． 【小问2详解】 在上恒成立， 在上恒成立， 在上恒成立， 在上恒成立， 令，， 则，， ，， ，在上单调递减， ， ，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 依题意，当时，，， 则， 令，，， ①当时，，， ，单调递增，，， 存在，使得， ，即，单调递减， ，即，单调递增， 在上存在一个极小值点； ②当时，令，， ，，单调递增， 又，， 存在，使得， ，即，单调递减， ，即，单调递增， 又，， 存在，使得， ，即，单调递增， ，即，单调递减， 在上存在一个极大值点， 综上所述，得证在上有且仅有2个极值点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 过程性学科素质评价 高三数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹等字笔书写，字体工整，笔迹清晰． 3．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 5．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中的系数为（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 8 3. 如图，在四面体中，点为的重心，设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 0 C. D. 6 5. 已知等轴双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知定义在上的奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 关于对称 B. 关于点对称 C. 的一个周期为4 D. 为奇函数 7. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（ ） A. B. 众数小于平均数 C. 中位数超过75分 D. 估计全校有640名考生及格 8. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数，，满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知函数（），则（ ） A. 当时，在区间上的值域为 B. 当时，在区间上单调 C. 若是的一条对称轴，则的值为偶数 D. 若在区间上恰有3个零点，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点在线段上，则为定值 C. 若点与点重合，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则______． 13. 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知，，三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的20%，35%，45%，不合格率分别为0.01，0.015，0.02．现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为______；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是厂生产的概率为______． 14. 已知圆：（圆心为点），动点在直线：上，过点向圆作两条切线，切点分别为，；直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，点在上，且，求的长度． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，与相交于点 ，点 在棱上且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，过点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值． 18. 近些年人工智能（AI）经历了爆炸式发展，技术性能显著提升，应用场景深度渗透．现有，，三台机器人进行象棋比赛，比赛规则：每一局由两台机器人进行比赛，剩余的一台机器人进行“调试”，每局比赛结束时，负方在下一局进行“调试”，胜方继续进行下一局比赛．设每一局比赛中的两台机器人获胜的概率均相等，各局比赛结果相互独立且没有平局，首局比赛由和对弈，进行“调试”，表示第局进行“调试”的概率（）． （1）求前3局中，不“调试”的概率； （2）求； （3）若表示前5局比赛中“调试”的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 19. 已知函数（）． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，求证：函数在上有且仅有2个极值点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $