山东省泰安市2026年一轮复习数与式专题----实数及其运算专题训练

山东省泰安市2026年一轮复习数与式专题----实数及其运算专题训练 一、单选题 1．下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 3．某校初中阶段女生百米测试达标成绩为18秒．下面是某组10名女生的成绩记录，其中“”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，则该组女生百米测试达标的人数为（    ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 4．下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．下列说法正确的个数是（   ） ①如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；②一定没有平方根；③的平方根是；④若，则. A． B． C． D． 6．面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．的算术平方根 7．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3），（4），其中，正确的是（   ） A．（1）和（2） B．（3）和（4） C．（2）和（3） D．（1）和（4） 9．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按由小到大的顺序排列为（　　） A． B． C． D． 10．下列各数，、、0、、中，负有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．下列说法中，正确的是（   ） A．的倒数是 B．两个数比较，绝对值大的反而小 C．不一定是负数 D．符号相反的两个数互为相反数 12．史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 13．计算： ． 14．已知m是的小数部分，则的值为 ． 15．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且，则的值为 ． 16．用“”定义一种新运算：，如．则的值为 ． 17．若，则 ． 18．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 三、解答题 19．计算题： (1) (2) 20．某商场用3000元购进一批商品，售完后，第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件． (1)求该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格； (2)若该商场两次购进的商品售价均为70元，且全部售完，求两次售出这种商品的总利润． 21．【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 22．计算： 23．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了乘方运算、负整数指数幂运算、化简多重符号、化简绝对值，负数定义，先根据相关性质内容进行化简，再与0比较，小于0即为负数，进行作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 2．B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了正负数的运用，理解用正数表示大于、小于的表示方法是关键． 根据“”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标即可求解． 【详解】解：根据“”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标， ∴均为达标， ∴达标的人数为6人， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据“绝对值相等且符号不同的两个数互为相反数”逐一化简各选项中的数对并判断即可求解. 【详解】解：A. ，，两数相等，不是相反数，不符合题意； B. ，，两数相等，不是相反数，不符合题意； C. ，，与0.01绝对值相等且符号相反，互为相反数，符合题意； D. ，的绝对值为0.3，两者绝对值不等，不是相反数，不符合题意. 故选：C. 5．B 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理、平方根，熟练掌握勾股定理逆定理、平方根是解题的关键；分别根据勾股定理的逆定理、平方根的概念，判定各选项的正误即可． 【详解】符合勾股定理的逆定理，说法正确； 当时，，的平方根是，说法错误； ，的平方根是，所以，的平方根是，说法错误； 因为，所以，则， 所以，是的平方根，所以，，说法错误． 说法正确的个数为． 故选：B． 6．B 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：正方形的面积为9， 其边长． 故选：B． 【点睛】本题考查的是算术平方根，解题的关键在于熟练掌握算术平方根的定义，算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根． 7．C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】． 故选：C． 8．C 【分析】此题考查了数轴、数轴上的点表示的数的规律、相关运算法则等知识，解决本题的关键是数形结合思想的灵活应用． 由点A、B、C在数轴上点的位置判断a、b、c的符号，按照运算法则进行判断即可． 【详解】解：若原点在第③部分，则， （1）∵， ∴ 故（1）错误； （2）∵， ∴ 故（2）正确； （3）∵， ∴ 故（3）正确； （4）∵， ∴ 故（4）错误； 故选：C 9．C 【分析】本题考查了相反数，有理数在数轴上的表示，利用数轴比较有理数的大小；根据有理数a，b在数轴上的位置，可把有理数，表示的点在数轴上表示出来，利用数轴即可比较出大小． 【详解】解：把有理数，表示的点在数轴上表示出来，如下图所示， 则， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了化简多重符号，立方根，负整数幂，有理数的分类，小于0的有理数即为负有理数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∴负有理数有数、、、共个， 故选：C． 11．C 【分析】本题考查了倒数、相反数、有理数及其大小比较，根据有理数、倒数、绝对值、相反数的定义解答即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、的倒数是，该选项说法错误，不合题意； 、两个负数比较，绝对值大的反而小，该选项说法错误，不合题意； 、不一定是负数，该选项说法正确，符合题意； 、只有符号不同的两个数互为相反数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 12．A 【分析】本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算． 由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 【详解】解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程是：， 故选：A． 13． 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先将算术平方根，立方根，0次幂，绝对值，负整数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．4 【分析】先估算得到，则，即，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式，去绝对值得原式，然后把m和的值代入计算即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：是的小数部分， ， 原式， ， ，即， 原式 ． 故答案为：． 15．24 【分析】此题考查了相反数、倒数、绝对值和代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ， ∴ ， 故答案为：24． 16． 【分析】本题主要考查对新定义运算的理解和应用，以及运算顺序的掌握．按照题目定义的运算规则，先计算括号内的部分，再代入外层进行运算即可． 【详解】解∶依题意得 ，， ， 故答案为∶ ． 17． 【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键． 18．1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 19．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂，化简绝对值等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）按照二次根式乘除运算法则运算合并即可； （2）先化简二次根式、去绝对值、计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．(1)该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为元 (2)两次售出这种商品的总利润为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）设第一次购进这种商品时每件商品的价格为元，根据第二次购进这种商品时，每件的进价提高了，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于总售价减去总成本，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设第一次购进这种商品时每件商品的价格为元，由题意，得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴； 答：该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为元； （2）由（1）可知，第一次购进商品件，第二次购进商品件， ∴（元）； 答：两次售出这种商品的总利润为元． 21．（1）225；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键． （1）根据前四个图直接推出结论，即可； （2）由（1）发现规律可得，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， ； 故答案为： 225 （2）解：由（1）发现： ； （3）解： ． 22． 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的加减、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，根据根据相关运算法则正确计算即可． 【详解】解：原式 ． 23．(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $