精品解析：山西晋中市榆次区2025-2026学年第一学期期末学业水平质量监测九年级数学试卷

2025-2026学年第一学期学业水平质量监测题（卷） 九年级数学 【温馨提示】 1．试题共8页，计23题；总分值120分；答题时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的信息填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图所示为某微信用户的部分零钱明细，表示（ ） A. 支出100元 B. 收入100元 C. 余额100元 D. 支出20元 2. 第十五届全运会于年月日至日在粤港澳三地举办，象征着三地在“一国两制”框架下的深度合作与协调发展．下列与全运会运动项目有关的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面属于平行投影的是（ ） A. 阳光下的树影 B. 皮影戏 C. 路灯下的人影 D. 台灯下的笔影 4. 如图为U型磁铁，它在物理学中应用广泛，常用于磁场性质演示实验，也是电动机、发电机模型和磁电式电表的核心部件，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 书法作品天头（顶部留白）常大于地头（底部留白），其比例大约为．从美学角度分析，此比例既避免头重脚轻，又通过视觉轻重的平衡营造出虚实相生的韵律感，让整体构图和谐雅致．这种设计利用了数学中的（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 6. 一元二次方程x2-3x+5=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 2026年春节联欢晚会的吉祥物由四匹骏马组成，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”一脉相承．小华准备购买两个2026年春晚吉祥物玩偶盲盒送朋友（每个盲盒中装一个玩偶，四种玩偶出现的可能性相同），他买到的两个盲盒中所装玩偶不同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 9. 为了给学生们创建更好学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（ ） A. 在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B. 用长为80米栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C. 修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D. 对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 10. 年月晋中启动了“怡然见晋中·魏榆驰春·马到福成”年货大集．某非遗摊位售卖手工枣花馍，每个成本元，定价元时，平均每天可售出个．为响应年货节“惠民让利”号召，决定降价促销，调研发现：每个枣花馍降价元，平均每天可多售个．摊主希望平均每天获得元的利润，设每个枣花馍应降价元，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：______． 12. 如图，直线，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，，则的长为________． 13. 小明想要估计他家池塘里鱼的数量，他首先捕捞出条鱼做了标记，然后放回池塘，一段时间后，他随机捕捞出条鱼，发现带标记的鱼有条，据此估计该池塘里约有______条鱼． 14. 如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 15. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交边于点，若点恰好是的中点，且，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 为鼓励学生积极参与体育锻炼，某校体育健康宣传小组随机选取部分校内学生，围绕其一周内的体育锻炼情况开展问卷调查．依据问卷调查结果，小组整理并绘制成以下两幅统计图（不完整）．现请结合相关信息，回答下列问题： 一周内体育锻炼情况调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． ．你最喜欢的体育运动是_________ A．足球 B．篮球 C．羽毛球 D．乒乓球 E．跑步 F．其他 ．你平均每周体育锻炼的时间约为_________（每项含最小值，不含最大值） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时及以上 （1）本次参与调查问卷的学生中，最喜欢的体育运动是篮球的学生有________人；补全条形统计图； （2）若该校共有名学生，请估算最喜欢的体育运动是跑步的学生人数； （3）该校准备在以上四项球类运动即足球、篮球、羽毛球、乒乓球中随机挑选两项，作为本月推广的体育项目，请你用列表或画树状图的方法求出本月推广的体育项目为足球与篮球的概率． 18. 如图，在中，，点，分别是边和中点，连接，，，与交于点． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）请在图中求作一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 19. 为践行绿色低碳发展理念，某老旧小区在改造工程中，逐步为居民楼顶安装了光伏发电系统．该小区年的光伏发电收益约为万元，年的光伏发电收益约为万元，求该小区这两年光伏发电收益的年均增长率． 20. 我们在研究一个新函数时，常常会借助图象研究其性质．下面我们就尝试探索函数的图象与性质． （1）首先，思考自变量的取值范围：________；然后列出函数与自变量的几组对应值： … … … … 其中________； （2）根据以上表格，在平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）若点，，在该函数图象上，请用“”将，，连接起来； （4）观察所画的函数图象，写出这个函数图象的一个特征． 21. 综合与实践 问题情境： 某科技小组学习了测量密度后，查阅相关资料，自制了一个如图所示的简易吸管密度计（圆柱形），并进行了调试实验，将吸管密度计浸入液体中，静止后浸入液体的深度记为，该液体的密度记为，部分实验数据如下表： 液体 号 号 号 建立模型： （1）根据调试数据发现是的反比例函数，求与之间的函数关系式； （2）问题解决：为了验证自制吸管密度计的准确性，小组成员将自制吸管密度计浸入到已知密度为的液体中，静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确？ （3）调试结束之后，小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为，最少浸入液体的深度需才能保持测量状态稳定，请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围． 22. 项目学习 项目主题：自制视力表 项目背景：通常标准对数视力表的测试距离是．为了保护好眼睛，同学们想依据自己卧室的大小，自制合适的视力表，定期测试视力，预防近视． 驱动问题：如何设计并制作符合自己卧室大小的视力表？ 项目实施： （1）观察与测量 标准对数视力表中每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．小华任选了一张测试距离为的标准对数视力表中的个视力值，测得对应行“E”的边长，通过表格记录如下： ①猜想与满足________函数关系（填：“一次”或“反比例”）； ②直接写出与的函数关系式________； （2）计算与设计 小华用硬纸板复制了标准对数视力表中不同行的两个“E”，分别编号为①②，并如图摆放，从右侧点看去，点，，恰好在一条直线上．发现此时，，，之间满足一定的关系，从而可以根据不同的测试距离设计相应大小的“E”，制作符合需求的视力表． 已知测试距离为的标准对数视力表中，视力对应的“E”高为．小华卧室的测试距离为，请你帮她计算自制的视力表中视力对应的“E”高应为多少？ 23 综合与实践 问题情境： 如图1，四边形是菱形，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）隐去线段，，将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别是点，． ①如图2，当点在内部时，与相交于点，判断与数量关系，并说明理由； ②若，，在旋转的过程中，连接，．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学业水平质量监测题（卷） 九年级数学 【温馨提示】 1．试题共8页，计23题；总分值120分；答题时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的信息填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图所示为某微信用户的部分零钱明细，表示（ ） A. 支出100元 B. 收入100元 C. 余额100元 D. 支出20元 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，熟练掌握正负数在收支场景中的表示方法是解题的关键． 根据生活中收支的正负表示规则，正数表示收入，负数表示支出，据此判断的含义． 【详解】解：∵正数表示收入，负数表示支出， ∴表示支出100元， 故选：A． 2. 第十五届全运会于年月日至日在粤港澳三地举办，象征着三地在“一国两制”框架下的深度合作与协调发展．下列与全运会运动项目有关的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下面属于平行投影的是（ ） A. 阳光下的树影 B. 皮影戏 C. 路灯下的人影 D. 台灯下的笔影 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影，根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 、阳光下的树影属于平行投影，符合题意； 、皮影戏属于中心投影，不符合题意； 、路灯下的人影属于中心投影，不符合题意； 、台灯下的笔影属于中心投影，不符合题意； 故选：． 4. 如图为U型磁铁，它在物理学中应用广泛，常用于磁场性质演示实验，也是电动机、发电机模型和磁电式电表的核心部件，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．熟练掌握从前往后看到的是主视图，其中看到的用实线，看不到的用虚线是解题的关键． 【详解】解：根据从前往后看到的是图形是， 故选B． 5. 书法作品天头（顶部留白）常大于地头（底部留白），其比例大约为．从美学角度分析，此比例既避免头重脚轻，又通过视觉轻重的平衡营造出虚实相生的韵律感，让整体构图和谐雅致．这种设计利用了数学中的（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义和应用，由黄金分割的比值约为即可求解，而平移，旋转，轴对称和比例无关． 【详解】解：∵黄金分割的比值约为， ∴这种设计利用了数学中的黄金分割， 故选D． 6. 一元二次方程x2-3x+5=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：∵△=9-20=-11＜0， ∴方程没有实数根． 故选D． 7. 2026年春节联欢晚会的吉祥物由四匹骏马组成，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”一脉相承．小华准备购买两个2026年春晚吉祥物玩偶盲盒送朋友（每个盲盒中装一个玩偶，四种玩偶出现的可能性相同），他买到的两个盲盒中所装玩偶不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及两个盲盒中所装玩偶不同的情况，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 一共有16种情况，则两个盲盒中所装玩偶不同的情况有12种， 故他买到的两个盲盒中所装玩偶不同的概率为， 故选：B． 8. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 先根据推导出两个三角形的位似比，再利用位似图形的面积比等于位似比的平方这一性质，结合的面积计算出的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵与位似，位似中心为， ∴与的位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 为了给学生们创建更好的学习和生活环境，某学校利用假期时间进行了装修改造，以下相关情境中，y是x的反比例函数的是（ ） A. 在校园的绿化带内重新栽种绿植，一个工人每小时栽种6平方米，栽种时间为x小时，栽种的总面积为y平方米 B. 用长为80米的栅栏围一个矩形劳动实践基地，矩形长x米，宽y米 C. 修建一个圆形花坛，花坛半径为x米，面积为y平方米 D. 对教学楼2000平方米的外墙重新粉刷，每天粉刷x平方米，需要粉刷y天 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义（k 为常数，），逐一分析各选项中的函数关系． 【详解】解：A．栽种总面积，为正比例函数，故A不符合题意； B．栅栏周长，得，为一次函数，故B不符合题意； C．圆面积，为二次函数，故C不符合题意； D．总工作量，得，符合反比例函数，故D符合题意． 故选：D． 10. 年月晋中启动了“怡然见晋中·魏榆驰春·马到福成”年货大集．某非遗摊位售卖手工枣花馍，每个成本元，定价元时，平均每天可售出个．为响应年货节“惠民让利”号召，决定降价促销，调研发现：每个枣花馍降价元，平均每天可多售个．摊主希望平均每天获得元的利润，设每个枣花馍应降价元，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个枣花馍应降价元，根据题意列出方程即可，正确理解题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每个枣花馍应降价元， 根据题意可列方程， 故选：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数性质，根据反比例函数的性质，当比例系数时，y随x的增大而增大，选取适当的k值即可． 【详解】解：∵反比例函数在每一个象限内函数值y随x的增大而增大， ∴， 选取，则， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，直线，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，通过已知线段的长度建立比例关系，从而求出未知线段EF的长度． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 小明想要估计他家池塘里鱼的数量，他首先捕捞出条鱼做了标记，然后放回池塘，一段时间后，他随机捕捞出条鱼，发现带标记的鱼有条，据此估计该池塘里约有______条鱼． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由样本所占百分比估计总体的数量，根据标记鱼在总体中的比例与重捕样本中标记鱼的比例相等建立方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设池塘中鱼的总数为条， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 故答案为：． 14. 如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，过点A作轴于E，通过解，分别求出和，进一步即可求出点A的坐标． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， 过点A作轴于E， 在中， ，． ∴，， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，解直角三角形的相关计算，坐标与图形，等边三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交边于点，若点恰好是的中点，且，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用正方形对角线性质证明，得；再通过角度关系证明，得与；设正方形边长为，推出与，进而证明，利用相似比和勾股定理求出边长与线段长度，最终计算． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点恰好是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质及全等、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （）利用因式分解法解一元二次方程即可； （）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 17. 为鼓励学生积极参与体育锻炼，某校体育健康宣传小组随机选取部分校内学生，围绕其一周内的体育锻炼情况开展问卷调查．依据问卷调查结果，小组整理并绘制成以下两幅统计图（不完整）．现请结合相关信息，回答下列问题： 一周内体育锻炼情况调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． ．你最喜欢的体育运动是_________ A．足球 B．篮球 C．羽毛球 D．乒乓球 E．跑步 F．其他 ．你平均每周体育锻炼的时间约为_________（每项含最小值，不含最大值） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时及以上 （1）本次参与调查问卷的学生中，最喜欢的体育运动是篮球的学生有________人；补全条形统计图； （2）若该校共有名学生，请估算最喜欢的体育运动是跑步的学生人数； （3）该校准备在以上四项球类运动即足球、篮球、羽毛球、乒乓球中随机挑选两项，作为本月推广的体育项目，请你用列表或画树状图的方法求出本月推广的体育项目为足球与篮球的概率． 【答案】（1），补全条形统计图见解析； （2）估算最喜欢的体育运动是跑步的学生人数有人； （3）本月推广的体育项目为足球与篮球的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． （）根据条形统计图可得最喜欢的体育运动是篮球的学生有（人），则本次参与调查问卷的学生有（人），所以最喜欢的体育运动是足球的学生有：（人），然后相减即可求出平均每周体育锻炼的时间约为小时的人数，然后补全条形统计图即可； （）先求出最喜欢的体育运动是跑步的学生人数的占比为，然后通过乘以占比即可； （）画出树状图，一共有等可能的结果，体育项目为足球与篮球的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：最喜欢的体育运动是篮球的学生有（人）， ∴本次参与调查问卷的学生有（人）， ∴最喜欢的体育运动是足球的学生有：（人）， ∴最喜欢的体育运动是足球的学生且平均每周体育锻炼的时间约为小时的有：（人）， 补全条形统计图如下， 故答案为：； 【小问2详解】 解：最喜欢的体育运动是跑步的学生人数的占比为：， ∴最喜欢的体育运动是跑步的学生人数为：（人）， 答：估算最喜欢的体育运动是跑步的学生人数有人； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下， 一共有等可能的结果，体育项目为足球与篮球的结果有种， ∴本月推广的体育项目为足球与篮球的概率为． 18. 如图，在中，，点，分别是边和的中点，连接，，，与交于点． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）请在图中求作一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定与性质定理，结合等腰三角形性质进行推理是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质得到且，结合中点定义推出且，判定四边形是平行四边形；再由，是中点，根据等腰三角形三线合一得到，从而证明该平行四边形为矩形． （2）在的上方作，交于即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； 小问2详解】 解：如图，点即为所求， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形． 19. 为践行绿色低碳发展理念，某老旧小区在改造工程中，逐步为居民楼顶安装了光伏发电系统．该小区年的光伏发电收益约为万元，年的光伏发电收益约为万元，求该小区这两年光伏发电收益的年均增长率． 【答案】该小区这两年光伏发电收益的年均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，设该小区这两年光伏发电收益的年均增长率为，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该小区这两年光伏发电收益的年均增长率为， 根据题意得，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该小区这两年光伏发电收益的年均增长率为． 20. 我们在研究一个新函数时，常常会借助图象研究其性质．下面我们就尝试探索函数的图象与性质． （1）首先，思考自变量的取值范围：________；然后列出函数与自变量的几组对应值： … … … … 其中________； （2）根据以上表格，在平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）若点，，在该函数图象上，请用“”将，，连接起来； （4）观察所画的函数图象，写出这个函数图象的一个特征． 【答案】（1）　　 （2）见解析 （3） （4）当时，随的增大而减小． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质： （1）根据题意可知，当时，； （2）以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点即可； （3）根据题意，得，，； （4）根据函数图象即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知，所以自变量的取值范围为． 当时，． 故答案为： ； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 【小问3详解】 根据题意，得，，． 所以． 【小问4详解】 当时，随的增大而减小． 21. 综合与实践 问题情境： 某科技小组学习了测量密度后，查阅相关资料，自制了一个如图所示的简易吸管密度计（圆柱形），并进行了调试实验，将吸管密度计浸入液体中，静止后浸入液体的深度记为，该液体的密度记为，部分实验数据如下表： 液体 号 号 号 建立模型： （1）根据调试数据发现是的反比例函数，求与之间的函数关系式； （2）问题解决：为了验证自制吸管密度计的准确性，小组成员将自制吸管密度计浸入到已知密度为的液体中，静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确？ （3）调试结束之后，小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为，最少浸入液体的深度需才能保持测量状态稳定，请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围． 【答案】（1）与之间的函数关系式为； （2）静止后浸入液体的深度稳定在约厘米可说明此自制吸管密度计较准确； （3）这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （）由题意设与之间的函数关系式为，然后将，代入即可求解； （）将代入解析式即可求解； （）分别求出当时，；当时，，从而求出取值范围． 【小问1详解】 解：由题意设与之间的函数关系式为， 将，代入得，解得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵与之间的函数关系式为； ∴将代入得：，解得：， 答：静止后浸入液体的深度稳定在约厘米可说明此自制吸管密度计较准确； 【小问3详解】 解：当时，；当时，； ∴这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围是． 22. 项目学习 项目主题：自制视力表 项目背景：通常标准对数视力表的测试距离是．为了保护好眼睛，同学们想依据自己卧室的大小，自制合适的视力表，定期测试视力，预防近视． 驱动问题：如何设计并制作符合自己卧室大小的视力表？ 项目实施： （1）观察与测量 标准对数视力表中每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．小华任选了一张测试距离为的标准对数视力表中的个视力值，测得对应行“E”的边长，通过表格记录如下： ①猜想与满足________函数关系（填：“一次”或“反比例”）； ②直接写出与的函数关系式________； （2）计算与设计 小华用硬纸板复制了标准对数视力表中不同行的两个“E”，分别编号为①②，并如图摆放，从右侧点看去，点，，恰好在一条直线上．发现此时，，，之间满足一定的关系，从而可以根据不同的测试距离设计相应大小的“E”，制作符合需求的视力表． 已知测试距离为的标准对数视力表中，视力对应的“E”高为．小华卧室的测试距离为，请你帮她计算自制的视力表中视力对应的“E”高应为多少？ 【答案】（1）反比例， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数、相似三角形的判定与性质． (1)由表中的数据可知，所以与满足反比例关系，用待定系数法求出反比例函数的解析式； (2)根据可知，利用相似三角形的性质可知，求出，即为自制的视力表中视力对应的“E”高． 【小问1详解】 解：由表中数据可知， 与满足反比例关系， 设， 把代入， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是； 故答案为：反比例，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，，， ， 解得：， 自制的视力表中视力对应的“E”高为． 23. 综合与实践 问题情境： 如图1，四边形是菱形，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）隐去线段，，将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别是点，． ①如图2，当点在内部时，与相交于点，判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，在旋转的过程中，连接，．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①，理由见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可证明，，从而判断四边形的形状； （2）①连接、，根据旋转的性质和菱形的性质可证明，则，．容易证明，，进而推出．通过证明，可判断与的数量关系； ②分两类讨论，当时，连接，容易证明，则，．根据等腰三角形的性质可得，，．容易证明，从而计算出，以及．容易证明，根据相似三角形和勾股定理计算出，进而得到．当时，、、三点共线，使用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①，理由如下： 如图，连接、， 由旋转的性质可知，，，， ， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②当时，如图，连接， 由旋转的性质可知，，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由①可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 在直角中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴、、三点共线， ∴， 在直角中，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练运用菱形的性质构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $