精品解析：河南信阳市2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题

2025—2026学年度上学期九年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 下列事件中，是必然事件的是（    ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 随意翻开一本书，这页的页码是奇数 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 足球运动员射门一次，球射进球门 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的理解，三角形内角和定理，抓住必然事件一定会发生这一特点是解题的关键．根据必然事件就是一定发生的事件，逐项判断即可． 【详解】解：A、根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为 ，因此是必然事件，故该选项符合题意； B、书的页码可能是奇数或偶数，属于随机事件，故该选项不符合题意； C、交通信号灯有红、黄、绿三种可能，遇到绿灯是随机事件，故该选项不符合题意； D、足球射门可能进球也可能不进球，结果具有不确定性，属于随机事件，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．使用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，通过添加和减去一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】解：原方程：， 一次项系数为 ，其一半为 ，平方为， ， 即， ， 移项得， 故配方后方程为， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中， 绕原点O顺时针旋转，得到 ，若，则旋转后点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转， 角的直角三角形，勾股定理．根据 中，，可得，再由 绕原点O顺时针旋转，得到 ，即可求出旋转后点C的坐标． 【详解】解：∵在 中，， ∴， ∴， ∵ 绕原点O顺时针旋转，得到 ， ∴， ∴． 故选：C 6. 若两个相似六边形的面积比为 ，则它们的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似六边形的面积比为 ， ∴相似比的平方为 ， ∴相似比为． 故选：B 7. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较函数值即可． 【详解】解：∵， 抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 点是抛物线的点， 点关于对称轴的对称点是 ， ． 故选：D． 8. 如图，四边形内接于 ，，那么它的外角 的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补的性质和圆周角定理，解题关键是得出的大小．先根据圆周角定理得出的大小，然后利用圆的内接四边形对角互补的性质，得出的大小，从而得出 的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 9. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ） A. 小球飞行 时飞行高度为 B. 小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C. 小球飞行的最大高度达到 D. 小球从飞出到落地要用 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，自变量、函数值的计算是解题的关键． 根据二次函数图象及解析式，代入计算即可求解． 【详解】解：当 时，，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 解得， 或，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，小球飞行的最大高度为 ，故C选项错误，不符合题意； 当时，， 解得，或 ， ∴小球从飞出到落地要用，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 10. 厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图），则下列说法错误的是（ ） A. y与S之间满足的函数关系式为 B. 点B的坐标为 C. 若面条的总长度为，则面条的横截面面积为 D. 若面条的横截面面积不超过，则面条的总长度不超过150m 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法求出函数关系式，即可判断A选项，代入点B的横坐标求出B的纵坐标即可判断B选项，求出当 时的函数值，即可判断C选项，求出面条的横截面面积不超过时y的取值范围，即可判断D选项． 【详解】解：设y与S之间的函数关系式为， ∵其图象经过， ∴， ∴，A正确； ∵在反比例函数的图象上， ∴，解得． 故点B的坐标为，B正确； 若 ，则， 解得，故C正确； 若面条的横截面面积不超过，则，解得， D错误.． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，读懂题意准确计算是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 反比例函数的图象如图所示，则m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质的知识，对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小，当时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而增大作答，观察图像根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：由图像可知：，即， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到交于点．当时，点恰好落在上，则___________°． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由旋转得 ，，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转α得到，且， ∴ ，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O， ，垂足为E．若，则的长为__________________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据矩形的性质求出相等的角，证明，得出对应边成比例，求出，然后根据线段的数量关系和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：6． 14. 如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长 ，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于_____（结果保留 ）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作于H，由等边三角形的性质得到 ，，则由勾股定理可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵是等边三角形， ， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 在矩形中，，为平面内一点，且，连接 ，，将线段 绕点逆时针旋转得到线段，当点，，在一条直线上时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作图是解题的关键，分①当点E在的延长线上时，②当点E在上时两种情况讨论，两种情况求解方法基本相同，都是过点P作于点F，求得，从而求出 ，最后用勾股定理即可的解． 【详解】解：①当点E在的延长线上时，作图如下，过点P作于点F： ∵在矩形中， ∴， ， ∴， ∵点，，在一条直线上，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ②当点E在上时，作图如下，过点P作于点F： 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） 或 （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是熟练应用恰当的方法解方程； （1）利用配方法解方程即可； （2）化简后利用直接开方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b （1）n的值为　　　　　，a的值为　 　，b的值为　 　； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为　 　°； （3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）60，6，12 （2） 补全频数分布直方图如下： 144 （3）恰好抽到甲、乙两名同学的概率为 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值； （2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由 乘以“C”所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 故答案为：60，6，12； 【小问2详解】 解：扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 ， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和 的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将 绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 19. 如图，在中， ， ，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【答案】 或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵ ，， ∴， 解得：； 当时，， ∵ ，， ∴， 解得：； 综上所述，运动 或秒后，与相似． 20. 如图，是的直径，是弦的延长线上的一点， 的延长线交于点，且 ． （1）求证： ． （2）连接 ，若 ，求 的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∴ ∵是的直径， ∴ ， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质与判定； （1）连接，根据等边对等角可得 ，根据同弧所对的圆周角相等可得 ，等量代换可得 则 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，根据三线合一，即可得证； （2）根据三角形的外角可得 ，根据是的直径，得出 ，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ， ， ∴ ∴ 又∵是的直径， ∴ ， ∴ 21. 问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（、、为常数且 ）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 … ②根据上表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①________，②________． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当满足________时，． 【答案】（1）②图见解析 （2）在每一分支上，y随x的增大而减小；是关于成中心对称的图形（答案不唯一） （3）左，1 （4） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）②描点连线即可得到函数图象； （2）类比反比例函数图象性质可得； （3）观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； （4）观察图象可知，函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象，根据图象可得题目所求． 【小问1详解】 解：②如图： 【小问2详解】 解：类比反比例函数图象性质可得，在每一分支上，y随x的增大而减小；是关于成中心对称的图形； 故答案为：在每一分支上，y随x增大而减小；是关于成中心对称的图形（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； 故答案为：左，1； 【小问4详解】 解：如图： 观察图象可知，函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象， 由函数的图象知，当 时，． 故答案为： ． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当时，求函数值y的取值范围； （3）P为抛物线上任意一点，将点P向下平移2个单位长度得到点，点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，直接写出点P的坐标为________． 【答案】（1）， （2） （3）或． 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图像和性质、点平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）求出 ，根据，求出 ，得出，代入即可求解； （2）结合（1）中解析式可得最大值在顶点处取得，最小值在 处取得，求出最值即可解答； （3）设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为．根据点、点关于原点的对称，则点的坐标为，根据点在抛物线上，即可求解； 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴ ， 又， ∴ ， ∴． 将代入，得， 解得 ， ∴抛物线的表达式为． 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 函数开口向下，顶点坐标为， 故最大值在顶点处取得，最小值在 处取得，值为， 故当时， 【小问3详解】 解：设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为． 设点关于原点的对称点为，则点的坐标为，． ∵点在抛物线上， ∴，解得 或 ， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 23. （1）观察发现：已知是直角三角形，．将绕点B顺时针旋转得到 ，旋转角为 ，直线交直线AC于点F．如图1，当 时，判断：四边形 的形状为_____，与的数量关系为_____； （2）深入探究：在图1的基础上，将 绕点B逆时针旋转，旋转角为 ，如图2，当时，直接写出线段的数量关系______；继续旋转，如图3，当时，请写出线段的数量关系，写出探究的过程； （3）拓展应用：在（2）的基础上当 时，若，请直接写出的长为 ．     【答案】（1）正方形，；（2）；；理由见解析；（3）的长为 或 ． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形 为矩形，根据，证明四边形 为正方形，推出； （2）当时，连接 ，证明，据此即可求得；当时，同理求得； （3）分和两种情况，根据（2）中的结论进行进一步求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，由旋转的性质得， ∴四边形 为矩形， 由旋转的性质得， ∴四边形 为正方形， ∴； 故答案为：正方形，； （2）当时，连接 ，     ∵，，， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴； 当时，连接 ， 同理，， ∴ ， ∵ ，， ∴； 故答案为：；； （3）当时，     ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ， 由（2）可知，， ∴ ∵， 解得 ， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ， 由（2）可知，， ∴ ∵， 解得 ， ∴； 综上，的长为 或 ． 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期九年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（    ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 随意翻开一本书，这页的页码是奇数 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 足球运动员射门一次，球射进球门 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中， 绕原点O顺时针旋转，得到 ，若，则旋转后点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若两个相似六边形的面积比为 ，则它们的相似比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于 ，，那么它的外角 的度数是(　　) A. B. C. D. 9. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ） A. 小球飞行 时飞行高度为 B. 小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C. 小球飞行的最大高度达到 D. 小球从飞出到落地要用 10. 厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图），则下列说法错误的是（ ） A. y与S之间满足的函数关系式为 B. 点B的坐标为 C. 若面条的总长度为，则面条的横截面面积为 D. 若面条的横截面面积不超过，则面条的总长度不超过150m 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 反比例函数的图象如图所示，则m的取值范围为___________． 12. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到交于点．当时，点恰好落在上，则___________°． 13. 如图，在矩形 中，对角线与相交于点O， ，垂足为E．若，则的长为__________________ 14. 如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长 ，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于_____（结果保留 ）． 15. 在矩形 中，，为平面内一点，且，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点，，在一条直线上时，的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 17. 某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b （1）n的值为　　　　　，a的值为　 　，b的值为　 　； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为　 　°； （3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和 的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将 绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 19. 如图，在中， ， ，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 20. 如图， 是的直径，是弦的延长线上的一点， 的延长线交于点，且 ． （1）求证： ． （2）连接 ，若 ，求 的度数． 21. 问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（、、为常数且 ）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 … ②根据上表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①________，②________． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当满足________时，． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当时，求函数值y的取值范围； （3）P为抛物线上任意一点，将点P向下平移2个单位长度得到点，点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，直接写出点P的坐标为________． 23. （1）观察发现：已知是直角三角形， ．将绕点B顺时针旋转得到 ，旋转角为 ，直线交直线AC于点F．如图1，当 时，判断：四边形 的形状为_____， 与 的数量关系为_____； （2）深入探究：在图1的基础上，将 绕点B逆时针旋转，旋转角为 ，如图2，当时，直接写出线段的数量关系______；继续旋转，如图3，当时，请写出线段的数量关系，写出探究的过程； （3）拓展应用：在（2）的基础上当 时，若，请直接写出 的长为 ．     第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $