精品解析：山西晋中市祁县2025-2026学年第一学期上学期期末监测七年级数学试题

2025～2026学年第一学期期末学业水平质量监测 七年级数学 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分、共6页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效，考试结束后，将答题卡交回． 笫Ⅰ卷 选择题（30分） 一、（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 有理数的绝对值是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 调查市场上某食品色素含量是否符合标准 B. 调查我省人民骑电动车头盔佩戴的情况 C. 调查高铁乘车旅客携带危险品的情况 D. 调查观众对《疯狂动物城》这部电影的评价情况 4. 如图所示为由5个大小相同的正方体组成的几何体．则从上面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年，从海南三亚的福建舰，到贵州的花江峡谷大桥，再到甘肃的第四代核裂变反应堆，中国正在用一个个光点重绘世界的技术版图，其中花江峡谷大桥梁段总重量吨，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列文字语言与图形语言相符的是（ ） A. 点P在直线n上 B. 点M在的外部 C. 直线m、n相交于点B D. 可以用表示 7. 2026年，我国消费品国补政策持续进行中．某家电商场为统计2025年月销售业绩的变化情况，最适合选用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数直方图 8. 如图，将四个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示．若现在北京当地时间为1月28日，则此时悉尼时间是（ ） A. 1月27日 B. 1月27日 C. 1月28日 D. 1月28日 9. 若关于的方程的解是，则的值等于（ ） A. 13 B. C. D. 5 10. 某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（ ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 多项式的次数是______． 12. 田径比赛中，跑道的直道段会先确定起点和终点两个标记点，沿着两点的连线划定跑道边界，确保直道笔直无偏差，这个方法依据的数学原理是______． 13. 如图，图书馆A在小明家B北偏东的方向上，若，则超市C在小明家B的______方向上． 14. 如图是由若干个大小相同的小长方形按照一定规律组合而成的大长方形，当大长方形中竖放1个小长方形，就横放4个小长方形（如图①），当竖放2个小长方形，就横放6个小长方形（如图②），…以此类推，当大长方形中竖放和横放的小长方形共有302个时，其中竖放的小长方形有______个． 15. 如图，C是线段上一点，D是的中点，且，，若点E在直线上，且．则的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 阅读下面解一元一次方程的过程，并解答问题： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） （1）第一步的步骤是______，依据是______． （2）从第______步开始出现错误，错误的原因是______． （3）请写出正确的解方程的过程． （4）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项，给同学们提一条建议． 19. 已知射线和，按下列要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在射线的上方作，使得； （2）作，使得射线是的角平分线． 20. 某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． （1）求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ （2）因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 21. 为提高公众对盲症与视力损害的重视，推动消除以上可避免的盲症与中重度视力损伤，倡导人人享有眼健康服务．从2000年起，由国际防盲协会统筹，获世卫组织等机构支持，发起了世界视力日，又称世界视觉日，是全球性的眼健康公益倡导活动，日期是每年10月的第二个星期四．某校为了解全校学生裸眼视力情况，组织全校学生进行了眼视力测查． 收集数据：创新组从全校的视力测查结果中随机抽取了40名学生的左眼裸眼视力，情况如下： 4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 4.8 5.3 4.4 4.2 4.3 4.6 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1 4.7 4.5 5.0 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2 4.5 4.2 4.1 4.7 4.3 4.3 4.1 4.4 4.6 4.1 4.7 整理数据：该小组将这组数据整理如下（每组包含最小值，不包含最大值）： 分组 频数 11 8 2 表示数据：该小组根据频数分布表绘制了如图所示的频数直方图 请根据上述信息，解决下列问题： （1）本次调查获取的数据是______数据（选填“定性”或“定量”）； （2）请将频数分布表和频数直方图补充完整； （3）创新组想通过上述数据绘制扇形统计图，请你帮他们求一求“”所在扇形的圆心角度数？ （4）若该校共有1000名学生，请你估计该校学生左眼裸眼视力正常（5.0及以上）的人数． 22. 如图，点A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数是，B点对应的数是55．现有一动点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发，同时，另一动点Q以每秒6个单位长度的速度从点B出发，设运动时间为t秒． （1）若点P向右运动，同时点Q向左运动： ①运动过程中，______，______（用含字母t的式子表示）． ②若它们在数轴上的C点相遇，则C点在数轴上对应的数______． （2）若点P、Q同时向右运动：当点P到达的中点D时，求的长度？ 23. 已知一对三角板如图1所示放置，，，，． （1）在图1的时刻，______，______°． （2）如图2，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转到上时，三角板停止运动．设三角板旋转的时间为t秒． ①______°（用含字母t的式子表示）； ②运动时间为多少秒时，平分； （3）在三角板旋转的同时，三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转到上时，两个三角板停止运动，请直接写出当t为______秒时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期期末学业水平质量监测 七年级数学 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分、共6页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效，考试结束后，将答题卡交回． 笫Ⅰ卷 选择题（30分） 一、（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 有理数的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数，即可得到的绝对值为． 【详解】解：， ， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的去括号法则与合并同类项法则，关键是掌握去括号法则与同类项的合并规则． 【详解】解：A选项：根据去括号法则，，而非，故A错误； B选项：合并同类项，，故B正确； C选项：与不是同类项，不能合并，故C错误； D选项：与不是同类项，不能合并，故D错误； 故选：B． 3. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 调查市场上某食品色素含量是否符合标准 B. 调查我省人民骑电动车头盔佩戴的情况 C. 调查高铁乘车旅客携带危险品的情况 D. 调查观众对《疯狂动物城》这部电影的评价情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的适用场景，关键是区分两种调查方式的特点：普查适用于范围较小、要求精准、事关重大的情况；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无需全面调查的情况． 【详解】解：A选项：调查市场上某食品色素含量，因食品数量多且检测具有破坏性，适合抽样调查，不符合普查要求； B选项：调查我省人民骑电动车头盔佩戴情况，因范围广、人数多，适合抽样调查，不符合普查要求； C选项：调查高铁乘车旅客携带危险品情况，因高铁安全至关重要，必须对所有旅客进行检查，适合普查，符合要求； D选项：调查观众对电影的评价情况，因观众数量多、范围广，适合抽样调查，不符合普查要求； 故选：C． 4. 如图所示为由5个大小相同的正方体组成的几何体．则从上面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从上面看到的平面图形作答即可． 【详解】解：由图形可知，从上面看到的平面图形是， 故选：B． 5. 2025年，从海南三亚的福建舰，到贵州的花江峡谷大桥，再到甘肃的第四代核裂变反应堆，中国正在用一个个光点重绘世界的技术版图，其中花江峡谷大桥梁段总重量吨，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，关键是确定和的值，其中，为整数．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：对于，将其表示为，满足，且小数点向左移动了4位，故． 所以用科学记数法表示为． 故选：A． 6. 下列文字语言与图形语言相符的是（ ） A. 点P在直线n上 B. 点M在的外部 C. 直线m、n相交于点B D. 可以用表示 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了点与直线的位置关系、角的内部与外部、两直线相交、角的表示等知识．根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 点P在直线n外，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； B. 点M在的内部，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； C. 直线m、n相交于点B，故文字语言与图形语言相符，符合题意； D. 不可以用表示，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； 故选：C 7. 2026年，我国消费品国补政策持续进行中．某家电商场为统计2025年月销售业绩的变化情况，最适合选用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数直方图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计图的合理选择，需根据数据特点及分析目的确定合适的统计图类型． 【详解】解：∵折线统计图用于表示数据随时间的变化趋势， ∴对于2025年月销售业绩的变化情况，应选用折线统计图． 故选：C 8. 如图，将四个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示．若现在北京当地时间为1月28日，则此时悉尼时间是（ ） A. 1月27日 B. 1月27日 C. 1月28日 D. 1月28日 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据北京和悉尼的时差加上北京时间，即可得出结果． 【详解】解：， 故选：D． 9. 若关于的方程的解是，则的值等于（ ） A. 13 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：方程的解是， ， 即， ． 故选：C． 10. 某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（ ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，关键是分别表示出两种优惠方案的费用，再根据费用相等建立等式． 【详解】解：方案①：全体打折，每个道具原价元，人共需个道具，因此费用为； 方案②：全场打九折(即原价的倍)，且赠送个道具，因此只需购买个道具，费用为． 因为两种方案费用一样，所以可得方程：． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 多项式的次数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查多项式的次数定义，关键是找到多项式中次数最高的项的次数． 【详解】解：多项式包含三项，分别为、、常数项，其中次数最高的项是，次数为2，因此该多项式的次数为2． 故答案为：2． 12. 田径比赛中，跑道的直道段会先确定起点和终点两个标记点，沿着两点的连线划定跑道边界，确保直道笔直无偏差，这个方法依据的数学原理是______． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查直线的基本公理，即通过两个点可以唯一确定一条直线，这是确保直道笔直的数学依据. 【详解】在田径比赛中，起点和终点是两个已知点，根据几何公理“两点确定一条直线”，沿着这两点的连线划定跑道边界，可以保证直道段笔直无偏差. 故答案为：两点确定一条直线. 13. 如图，图书馆A在小明家B北偏东的方向上，若，则超市C在小明家B的______方向上． 【答案】南偏东 【解析】 【分析】本题考查了方向角，理解方向角的定义是解题关键． 由题意可知，，，则，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，， ， 超市C在小明家B的南偏东方向上， 故答案为：南偏东． 14. 如图是由若干个大小相同的小长方形按照一定规律组合而成的大长方形，当大长方形中竖放1个小长方形，就横放4个小长方形（如图①），当竖放2个小长方形，就横放6个小长方形（如图②），…以此类推，当大长方形中竖放和横放的小长方形共有302个时，其中竖放的小长方形有______个． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元一次方程的应用根据图形找出一般规律是解题关键．观察发现，当竖放个小长方形，就横放个小长方形，据此列方程求解即可． 【详解】解：当大长方形中竖放1个小长方形，就横放4个小长方形 当竖放2个小长方形，就横放6个小长方形， … 以此类推，当竖放个小长方形，就横放个小长方形， 当大长方形中竖放和横放的小长方形共有302个时， 则， 解得：，即竖放的小长方形有个， 故答案为：100． 15. 如图，C是线段上一点，D是的中点，且，，若点E在直线上，且．则的长是______． 【答案】1或5 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点，利用分类讨论的思想是解题关键．由线段中点可得，从而得到，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：D是的中点，， ， ， ， 当点在上时，， 当点在的延长线上时，， 综上可知，的长是或， 故答案为：1或5． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方、绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）根据乘法分配律简便计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值．利用去括号和合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 18. 阅读下面解一元一次方程的过程，并解答问题： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） （1）第一步的步骤是______，依据是______． （2）从第______步开始出现错误，错误的原因是______． （3）请写出正确的解方程的过程． （4）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项，给同学们提一条建议． 【答案】（1）去分母，等式的基本性质； （2）二，括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据一元一次方程的解法以及等式的基本性质作答即可； （2）根据去括号法则作答即可； （3）根据一元一次方程的解法和步骤计算即可； （4）根据一元一次方程的解法和步骤作答即可． 【小问1详解】 解：第一步的步骤是去分母，依据是等式的基本性质， 故答案为：去分母，等式的基本性质； 【小问2详解】 解：从第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：移项要注意变号（答案不唯一）． 19. 已知射线和，按下列要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在射线的上方作，使得； （2）作，使得射线是的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查基本尺规作角，掌握尺规作一个角等于已知角的步骤是解题关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可． （2）根据尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作 20. 某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． （1）求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ （2）因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 【答案】（1）该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件 （2）现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意，列出方程，即可求解； （2）设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意得： ， 解， 此时， 答：该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件． 【小问2详解】 解：设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意得： ， 解得． 答：现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 21. 为提高公众对盲症与视力损害的重视，推动消除以上可避免的盲症与中重度视力损伤，倡导人人享有眼健康服务．从2000年起，由国际防盲协会统筹，获世卫组织等机构支持，发起了世界视力日，又称世界视觉日，是全球性的眼健康公益倡导活动，日期是每年10月的第二个星期四．某校为了解全校学生裸眼视力情况，组织全校学生进行了眼视力测查． 收集数据：创新组从全校的视力测查结果中随机抽取了40名学生的左眼裸眼视力，情况如下： 4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 4.8 5.3 4.4 4.2 4.3 4.6 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1 4.7 4.5 5.0 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2 4.5 4.2 4.1 4.7 4.3 4.3 4.1 4.4 4.6 4.1 4.7 整理数据：该小组将这组数据整理如下（每组包含最小值，不包含最大值）： 分组 频数 11 8 2 表示数据：该小组根据频数分布表绘制了如图所示的频数直方图 请根据上述信息，解决下列问题： （1）本次调查获取的数据是______数据（选填“定性”或“定量”）； （2）请将频数分布表和频数直方图补充完整； （3）创新组想通过上述数据绘制扇形统计图，请你帮他们求一求“”所在扇形的圆心角度数？ （4）若该校共有1000名学生，请你估计该校学生左眼裸眼视力正常（5.0及以上）的人数． 【答案】（1）定量 （2）见解析 （3） （4）该校学生左眼裸眼视力正常的人数为200人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数直方图，扇形统计图，利用样本估计总体，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据调查获取数据的性质进行判定即可； （2）根据数据统计的方法，完成频数分布表，再根据频数分布表绘制频数分布直方图； （3）用乘以组的人数占比求解即可； （4）用1000名学生乘以5.0及以上的学生人数占比求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查获取的数据是定量数据， 故答案为：定量 【小问2详解】 解：频数分布表如下： 分组 频数 11 13 8 6 2 频数直方图如下： 【小问3详解】 解：， 答：“”所在扇形的圆心角度数为． 【小问4详解】 解：（人） 答：该校学生左眼裸眼视力正常的人数为200人 22. 如图，点A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数是，B点对应的数是55．现有一动点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发，同时，另一动点Q以每秒6个单位长度的速度从点B出发，设运动时间为t秒． （1）若点P向右运动，同时点Q向左运动： ①运动过程中，______，______（用含字母t的式子表示）． ②若它们在数轴上的C点相遇，则C点在数轴上对应的数______． （2）若点P、Q同时向右运动：当点P到达的中点D时，求的长度？ 【答案】（1）①，；②19 （2）的长度为75个单位长度 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）①根据路程速度时间求解即可；②根据题意列一元一次方程，求出相遇时的时间，再求出C点在数轴上对应的数即可； （2）由题意可知，点表示的数为，点表示的数为，先求出表示的数，再根据点P到达的中点D列方程，求出运动时间，从而得到点表示的数，即可求出的长度． 【小问1详解】 解：①由题意可知，，， 故答案为：，； ②由题意可知，， 解得：， 此时C点在数轴上对应的数为， 故答案为：19； 【小问2详解】 解：由题意可知，点表示的数为，点表示的数为， A点对应的数是，B点对应的数是55， ， 是的中点， ， 表示的数为， 点P到达的中点D， ， 解得：， 点表示的数为， ， 即的长度为75个单位长度． 23. 已知一对三角板如图1所示放置，，，，． （1）在图1的时刻，______，______°． （2）如图2，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转到上时，三角板停止运动．设三角板旋转的时间为t秒． ①______°（用含字母t的式子表示）； ②运动时间为多少秒时，平分； （3）在三角板旋转的同时，三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转到上时，两个三角板停止运动，请直接写出当t为______秒时，． 【答案】（1）45，120 （2）①；②运动时间为秒时，平分 （3）40或50 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，图形的旋转，根据图形的特征和相关的性质进行求解是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质求出，然后根据求解；根据三角形外角的性质求； （2）①根据图形每秒转动的角度转动时间求得，②根据列方程求解； （3）分两种情况求解：在内部；在外； 【小问1详解】 解：，，， ， ， ； 故答案为：，120； 【小问2详解】 解：①， 故答案为：； ②当时，平分， ， 解得， 运动时间为秒时，平分； 【小问3详解】 解：三角板旋转速度为，三角板旋转速度为， 秒后： 从初始位置顺时针转 从初始位置顺时针转 ， 当在内部时，，则 ； 当在外部时；，， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $