专题17二次根式的乘除题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题17二次根式的乘除题型突破讲义 基础 过关题 1.二次根式的乘法 2.二次根式的除法 能力 提升题 3.二次根式的乘除混合运算 4.分母有理化 5.最简二次根式的判断 6.化为最简二次根式 拓展 拔高题 7.已知最简二次根式求参数 8.复合二次根式的化简 一、二次根式乘法 法则：= 条件：a≥0, b≥0 用途：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 逆用：=（a≥0，b≥0），用于二次根式的化简。 二、二次根式除法 法则：： ​​ 条件：a≥0, b>0 用途：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 逆用：=（a≥0，b>0），用于分式形式二次根式的化简 三、含系数的二次根式乘除 乘法：ac=ac 除法：ac=​ 步骤：系数与系数乘除，根式与根式乘除，最后化简。 四、最简二次根式（本节课核心要求） 必须同时满足两条： 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 五、运算步骤 1.先看式子是否有意义（被开方数非负、分母不为 0）； 2.用乘、除法则直接计算； 3.把结果化成最简二次根式； 4.分母中不能留有根号。 【题型1.二次根式的乘法】 1．计算的结果是 ． 2．我们把形如（为有理数且，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 3．计算：＝ ． 4．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 解答题 5．计算： (1)． (2)． 【题型2.二次根式的除法】 6．计算，则中的数是 ． 7．下列各数中，与的商为有理数的是（    ） A． B． C． D． 8．计算： ． 9．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 解答题 10．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3.二次根式的乘除混合运算】 11．计算： ． 12．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 13．计算： （其中）． 解答题 14．计算： 【题型4.分母有理化】 15． ． 16．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 17． ． 18．当，时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 解答题 19．阅读下面计算过程： 试求： (1)________； (2)（为正整数）________ (3)求的值． 【题型5.最简二次根式的判断】 20．请写出一个大于3小于4的最简二次根式 21．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 22．下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【题型6.化为最简二次根式】 23．化简的结果是 ． 24．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 25．如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是 ． 解答题 26．计算： (1) (2) 【题型7.已知最简二次根式求参数】 27．若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 28．已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 29．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 30．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 解答题 31．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【题型8.复合二次根式的化简】 32．化简＝ ． 33．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 34．若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 解答题 35．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17二次根式的乘除题型突破讲义 基础 过关题 1.二次根式的乘法 2.二次根式的除法 能力 提升题 3.二次根式的乘除混合运算 4.分母有理化 5.最简二次根式的判断 6.化为最简二次根式 拓展 拔高题 7.已知最简二次根式求参数 8.复合二次根式的化简 一、二次根式乘法 法则：= 条件：a≥0, b≥0 用途：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 逆用：=（a≥0，b≥0），用于二次根式的化简。 二、二次根式除法 法则：： ​​ 条件：a≥0, b>0 用途：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 逆用：=（a≥0，b>0），用于分式形式二次根式的化简 三、含系数的二次根式乘除 乘法：ac=ac 除法：ac=​ 步骤：系数与系数乘除，根式与根式乘除，最后化简。 四、最简二次根式（本节课核心要求） 必须同时满足两条： 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 五、运算步骤 1.先看式子是否有意义（被开方数非负、分母不为 0）； 2.用乘、除法则直接计算； 3.把结果化成最简二次根式； 4.分母中不能留有根号。 【题型1.二次根式的乘法】 1．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．我们把形如（为有理数且，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，先利用完全平方公式展开式子，再化简二次根式，最后根据题目给出的无理数类型定义判断所属类型． 【详解】解： ， ∴是型无理数， 故选：B． 3．计算：＝ ． 【答案】60 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式乘法法则，先确定符号为正，再计算数值部分． 【详解】原式 = = ． 故答案为：． 4．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换对应二次根式是解题的关键． 将分解为，简化后得到，再代入和表示和． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：D． 解答题 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型2.二次根式的除法】 6．计算，则中的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘法运算解答即可求解，掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中的数是， 故答案为：． 7．下列各数中，与的商为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的除法运算及有理数的定义，将各选项与相除，判断结果是否为有理数． 【详解】解：A选项：，结果是无理数； B选项：，结果是无理数； C选项：，结果是无理数； D选项：，是有理数． 故选：D． 8．计算： ． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式计算平方项，再化简根式并计算除法项，最后合并同类项． 此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题． 【详解】解：． 故答案为：． 9．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子进行化简，再对无理数估值即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 解答题 10．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算解答即可； （2）运用二次根式的乘法运算解题； （3）运用二次根式的除法法则运算解答； （4）运用二次根式的除法运算法则解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型3.二次根式的乘除混合运算】 11．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 12．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 13．计算： （其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 解答题 14．计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 【题型4.分母有理化】 15． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化， 分子和分母都乘以，计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 16．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 17． ． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．当，时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，平方差公式，熟练掌握分母有理化是解题的关键．根据平方差公式进行分母有理化，即可得到答案． 【详解】解：． 故选C． 解答题 19．阅读下面计算过程： 试求： (1)________； (2)（为正整数）________ (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． （1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【题型5.最简二次根式的判断】 20．请写出一个大于3小于4的最简二次根式 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，实数大小比较，根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 写出一个大于3小于4的最简二次根式：． 故答案为：（答案不唯一）． 21．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式； 、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因式，不是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：． 22．下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：①是最简二次根式； ②中含有分式，故不是最简二次根式； ③中含有小数，故不是最简二次根式； ④是最简二次根式； ⑤是最简二次根式； ⑥是最简二次根式； ⑦，故不是最简二次根式． 故答案为：①④⑤⑥． 【题型6.化为最简二次根式】 23．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 24．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 25．如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，实数与数轴，利用勾股定理先求解，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数轴上的点P表示的数是． 故答案为：． 解答题 26．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先确定分母的有理化因式，再将分子分母同乘以该因式，最后化简得出结果． 【详解】（1）． （2）． 【点睛】本题考查二次根式的化简，需通过分母有理化将分母中的根号去掉，即可求解． 【题型7.已知最简二次根式求参数】 27．若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 28．已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 29．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 30．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 解答题 31．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 【题型8.复合二次根式的化简】 32．化简＝ ． 【答案】 【分析】根据平方的性质，二次根式的性质化简即可； 【详解】解： ＝ ＝5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查了平方的非负性，二次根式因数的外移；掌握是解题关键． 33．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【答案】C 【分析】根据和是整数可得是整数，再结合为正整数即可得． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 又∵为正整数， 的最小值为21， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 34．若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 解答题 35．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $