精品解析：广东省深圳外国语学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

广东省深圳外国语学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上， 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则（ ） A. -5 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 2. 已知在数列中，，，则的值为（ ） A. 13 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推关系进行求解即可． 【详解】由，， 得， ， ， 故选：B 3. 双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程可表示出其渐近线的方程,根据两条渐近线所在直线垂直,推断出其斜率之积为，进而求得与的关系，根据，求得与的关系，则双曲线的离心率可得. 【详解】由双曲线方程为， 得该双曲线的渐近线方程为：， 因为两条渐近线互相垂直，所以， 所以，由，所以， 所以双曲线的离心率， 故选：B. 4. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件求，代入排除直线重合即可求解. 【详解】由题意知,即,解得或. 当时，两直线方程都是，两直线重合，不合题意； 当时，直线即与直线平行，符合题意. 故选：A. 5. 已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答. 【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为， 则， 因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，， ， 所以. 故选：D 6. 已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程，然后判断直线过定点，把点到直线的距离转化为圆心到直线的距离与半径之和，进而求出最大值即可． 【详解】设，又点，且，所以， 则，即点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 又直线恒过定点， 则，所以点在圆外， 所以点到直线的距离等于圆心到直线的距离与半径之和， 即点到直线的距离， 当时，，即点到直线的距离的最大值为6. 故选：D. 7. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 64 C. -64 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件构造函数，根据函数的求导法则，求出函数导数，求出导数值即可. 【详解】令，其中； 则， 代入，可得. 故选：B. 8. 在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 数列中的最小值为 C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用前项和与通项公式的关系判断A，通过分析数列的正负状况得到最小值判断B，利用等差数列的定义并结合题意判断C，先求出，，再结合绝对值数列的求法判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以当时，； 当时，； 当时，也适合上式；所以当时，；故A正确； 对于B，因为，所以当时，，当时，， 所以为中的最小项，且；故B正确； 对于C，因为，所以， 而，可得数列是等差数列；故C正确； 对于D，因为当时，，当时，，且，， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 10. 抛物线C：的焦点为F，准线为.若点在抛物线C上，过F点的直线交抛物线C于A，B两点，则（ ） A. B. 圆与准线交于M，N两点，则三角形的面积为8 C. 以为直径的圆与准线只有一个公共点 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A项，由抛物线的定义进行求解；对于B项，联立方程，求出点，，又，即可求面积；对于C项，设，以为直径的圆的半径为，而线段的中点到轴的距离为，因此以为直径的圆与轴相切，进行判断；对于D项，当直线的斜率存在时，设直线：，与抛物线联立，由弦长公式进行求解，当直线的斜率不存在直接计算求解． 【详解】对于A，由点在抛物线C上，得，解得，，故A正确； 对于B，因为直线：交圆于点，， 又，则三角形的面积为，故B错误； 对于C，设， 根据抛物线定义可知， 又以为直径的圆的半径为， 而线段的中点为，即，它到轴的距离为， 因此以为直径的圆与轴相切，与准线无交点，故C不正确， 对于D，由焦半径公式，，， 当直线的斜率存在时，设直线：， 与抛物线联立得， 则，， 计算得， ， 故， 当直线的斜率不存在时，不妨记， 则，则，故D正确． 故选：AD. 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥及三棱锥的体积均为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中平行和垂直关系可证明A正确，由锥体体积公式以及点到平面距离的比例关系计算可得B正确，由正方体的体对角线与各棱之间的关系可判断C错误，求出点P在平面内的轨迹，根据圆的周长公式计算可知D正确. 【详解】对于A，因为，所以. 因为，所以，A正确； 对于B，如图取中点，连接，，，， 因为，所以，即，且； 同理可得，，且；所以是等腰三角形. 记，则为和的中点，所以， 所以. 因为，，平面，所以平面. 因为，所以过点. 所以. 对于三棱锥，的边长长度固定，B到的距离， 所以，到平面的距离为的一半，，所以B正确： 对于C，易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等， 所以过点A的体对角线及过A分别平行于，，的直线均满足要求，所以C错误； 对于D，因为，所以点P在以的中点为球心，半径为的球面上， 所以动点P的轨迹为平面与球的球面的交线. 因为平面，所以平面， 所以到平面的距离为. 所以球心到平面的距离为， 且球心在平面的投影为的中点. 设平面截球所得截面圆的半径为，则. 所以点P在平面内的轨迹是圆，因此动点P的轨迹长度为圆的周长，等于，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的可导函数，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】因为是定义在上的可导函数，， 则. 故答案为：. 13. 等比数列的前n项和记为，，若关于x的方程的两根之积为9，且，则______. 【答案】73 【解析】 【分析】由，得，再由进行求解． 【详解】设数列的首项为，公比为， 因为，所以， 因为，所以，. 所以， 解得. 由关于的方程的两根之积为9，得, 因此，于是. 故答案为：73. 14. 如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M、当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据椭圆的定义式判断点M的轨迹为椭圆，求出标准方程；，可得，，换元令，结合函数单调性求值域即可. 【详解】如图，连接， 因点是线段的中垂线上一点，故， 则，且，即， 可知点M的轨迹为以点A，B为两焦点的椭圆， 则，，即，，则， 所以轨迹的方程为； 因点M是椭圆上的一点，则 设， 则， ， 令， 则， 设， 则时 所以在上单调递增， 则最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设曲线． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线在点处的切线与直线垂直．求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用两直线垂直关系列式求解即可. 【小问1详解】 若，则， 所以切线斜率， 故切线方程为即. 【小问2详解】 由可得， 所以在点处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直， 即可得，因此． 16. 在中，. （1）求B； （2）若的周长为，求边上中线的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角的正弦公式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合（1）的结论进行求解即可. 【小问1详解】 根据正弦定理由， 因为，所以，即，所以； 【小问2详解】 由（1）可知，而，所以， 因此，由余弦定理可知：， 因为的周长为，所以有， 设边上中点为，所以， 由余弦定理可知：， 所以边上中线的长. 17. 已知数列的首项为4，前项和为，且，，. （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义可证明是以4为首项，2为公差的等差数列，可求得其通项公式； （2）利用分组求和以及等比数列前项和公式计算可得结果. 【小问1详解】 依题意， 则，故数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，而， 记数列的前项和为， 所以 . 综上所述，. 18. 如图，在等腰直角三角形中，，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置. （1）求证：平面平面； （2）若为中点，且点在平面上的投影为，点满足，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若是中点，是否存在点，使得，同时直线与平面所成角为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为三角形为直角三角形，且， 故，而，所以， 由翻折过程中有：， 由，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件先证明，然后根据已知条件利用线面垂直判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）过作直线平面，而，则直线，，两两垂直，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解即可； （3）设点到平面的距离为，然后根据与平面所成角为，利用向量法表示出相关的等式解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作直线平面，而， 则直线，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 因为点在平面上的投影为，所以平面， 由，且是中点，所以分别是中点， 由，得， 此时设， 则， 因为，所以， 即，解得：， 所以，故， 设平面的法向量， ， 取，得， 而平面的法向量可取， 设平面与平面夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）中空间直角坐标系，知，， 设，，，， 则点到平面的距离为， 因为，， 由，得，解得，即， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即， 又且，即， 平面的法向量为，， 而与平面所成角为， 所以以， 解得，解得，， 所以点到平面的距离为. 19. 已知圆O：，直径为，圆M过点A，B，且与直线相切. （1）若所在直线的倾斜角为，求圆M的半径. （2）设点.若点A在圆O上运动过程中，圆心M形成的轨迹为曲线. （i）求的值； （ii）在曲线上取点M，N，使得，求三角形面积的最小值 【答案】（1）2或6. （2）（i）1；（ii）. 【解析】 【分析】（1）判断圆心M所在直线方程，设出点的坐标，根据列方程求解可得； （2）（i）设方程为，设，根据列方程化简可得方程；（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合韦达定理化简即可求解. 【小问1详解】 依题意点A，B关于原点对称，设，则， 又，所以. 因为圆M过点A，B，所以圆心M必在直线上，设，圆的半径为r， 因为圆M与相切，所以， 又，即，所以，解得：或. 当时，；当时，，所以圆M的半径为2或6. 【小问2详解】 （i）依题意直线必为过原点的直线，且， ①当直线斜率存在时，设方程为，则圆M的圆心M必在直线上， 设，圆M的半径为r，因为圆M与相切，所以， 又， 所以，整理可得：， 即M点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点为点， 因为，即抛物线上点到的距离，所以. ②当直线斜率不存在时，则直线方程为：，所以M在x轴上， 设，所以，解得：，即. 又，则. 综上所述，为定值1. （ii）由（i）知曲线的轨迹方程为：，焦点，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，，， 由可得， 所以，，，即. 因为，所以， 又，所以， 代入，，化简整理得，， 所以，且，解得或. 设点P到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或， 所以，当时，的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳外国语学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上， 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则（ ） A. -5 B. 1 C. 3 D. 5 2. 已知在数列中，，，则的值为（ ） A. 13 B. 15 C. 18 D. 21 3. 双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 5. 已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 6. 已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 7. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 64 C. -64 D. 128 8. 在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 数列中的最小值为 C. 数列是等差数列 D. 10. 抛物线C：的焦点为F，准线为.若点在抛物线C上，过F点的直线交抛物线C于A，B两点，则（ ） A. B. 圆与准线交于M，N两点，则三角形的面积为8 C. 以为直径的圆与准线只有一个公共点 D. 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥及三棱锥的体积均为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的可导函数，若，则_____. 13. 等比数列的前n项和记为，，若关于x的方程的两根之积为9，且，则______. 14. 如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M、当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设曲线． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线在点处的切线与直线垂直．求的值． 16. 在中，. （1）求B； （2）若的周长为，求边上中线的长. 17. 已知数列的首项为4，前项和为，且，，. （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图，在等腰直角三角形中，，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置. （1）求证：平面平面； （2）若为中点，且点在平面上的投影为，点满足，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若是中点，是否存在点，使得，同时直线与平面所成角为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆O：，直径为，圆M过点A，B，且与直线相切. （1）若所在直线的倾斜角为，求圆M的半径. （2）设点.若点A在圆O上运动过程中，圆心M形成的轨迹为曲线. （i）求的值； （ii）在曲线上取点M，N，使得，求三角形面积的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $