湖南省永州市雅思高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

绝密☆考试结束前 永州市雅思高级中学10月月考 数学 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生须知： 1、 本卷共四页，满分150分，考试时间120分钟。 2、 答题前，在答题卷指定区域内填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3、 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4、 考试结束后，秩序上交答题纸。 选择题部分 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知，，若，则实数的值为（    ） A．-2 B． C． D．2 2、设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 3、三棱锥中，点在棱上，且，则为 A． B． C． D． 4、若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5、如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为(    ) A． B． C． D． 6、已知两圆和相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7、“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8、8．（24-25高二上·四川眉山·期末）正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，，下列几个命题： ①异面直线与垂直； ②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形； ③三棱锥的体积为 ④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为． 其中真命题的序号为（    ） A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9、已知直线l：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l的一个法向量为 B．若直线m：，则 C．点到直线l的距离是2 D．过与直线l平行的直线方程是 10、已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量D．在上的投影向量的模为 11、已知圆与圆相交于两点，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．当时， C．当且时， D．当时，的最小值为 非选择题部分 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、若过点的直线的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则直线的方程为 ． 13、如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为 . 14、已知某台风中心从点出发，以每小时60千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过450千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距600千米，则点处于危险区域的时长是 小时． 4、 解答题：共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题15分，第18题、第19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、已知空间三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)若向量与共线，求实数的值. 16、设直线l的方程为． (1)若直线l在x轴上的截距为-3，求m的值； (2)若直线l的倾斜角为，求m的值． 17、如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，是棱上一点，且. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18、已知圆为圆上任一点. （1）求的最大值与最小值； （2）求的最大值与最小值. 19、对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值． (1)已知，． ①直接写出和（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时的值； (2)设，，求证：； (3)在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）． 学科网（北京）股份有限公司 $绝密☆考试结束前 永州市雅思高级中学10月月考 数学答案 选择题部分 1、 选择题： 1、【答案】D 【分析】先根据坐标运算求出的坐标，然后利用向量垂直的坐标运算公式直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为， 所以， 解得. 故选：D 2、【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 3、【答案】D 【分析】利用向量加减运算及数乘运算求解即可． 【详解】由题得： = = = 故选D 4、【答案】A 【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程. 【详解】圆经过点，， 可得线段的中点为，又， 所以线段的中垂线的方程为， 即， 由，解得， 即，圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 5、【答案】D 【分析】分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，用空间向量法求点到平面的距离． 【详解】如图，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,0). 则有，， 设平面的法向量为， 则 即 令，得平面的一个法向量为，又， 所以A1到平面的距离. 故选：D. 6、【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围. 【详解】由圆，设圆心且半径， 由圆，设圆心且半径，由， 所以时，两圆相交，则， 故选：C. 7、【答案】C 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 8、【答案】B 【分析】对于①：取的三等分点为，使，利用已知条件找到异面直线， 所成的角，即可得出结果； 对于②：取 的三等分点为，使，利用已知条件得到四边形 即为所求截面，即可得出结论； 对于③：利用等体积法求解即可； 对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使， 猜想出面 即为所求的截面，建立空间坐标证明推测，代入数值即可求出结论． 【详解】解：对于①：取的三等分点为，使，又， 且， 四边形为平行四边形， 且， 四边形 为平行四边形， ， 则 为异面直线， 所成的角， 连接，由题意得：， 所以， 故①正确； 对于②：取 的三等分点为，使，又， 且， 四边形 为平行四边形， 则 且， 又由①得： 且， 于是且， 四边形 为平行四边形， ， 取的中点为，连接， 又， ， 则四边形 即为所求截面， 由题意知：， 则②不正确； 对于③：， 又面，， 所以， 故③正确； 对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使， ， 则面 即为所求的截面， 建立如图所示的空间坐标系，    则，0，，，3，，，3，，，0，，，1，， ，，， 所以面， 由已知条件得： ， 等腰梯形 的高为： ， 所以截面面积为：， 故④正确． 故选：． 多项选择题： 9、【答案】CD 【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据直线平行分析求解. 【详解】对于A，因为直线l：的斜率， 但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误； 对于B，因为直线m：的斜率，且， 所以直线l与直线m不垂直，故B错误； 对于C，点到直线l的距离，故C正确； 对于D，过与直线l平行的直线方程是，即，故D正确． 故选：CD. 10、【答案】BC 【分析】对于A：求出的坐标，进而可求模；对于B：根据求单位向量；对于C：通过计算来判断；对于D：通过计算来判断. 【详解】对于A：，则，A错误； 对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确； 对于C：，， 又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确； 对于D：在上的投影向量的模为，D错误. 故选：BC. 11、【答案】ABD 【分析】由方程得出圆心坐标；由两圆的位置关系得出的范围；由勾股定理结合距离公式判断C；由为圆的直径，结合二次函数的性质判断D. 【详解】由圆的方程可知圆的圆心坐标为，即正确； 当时，圆，， 所以有，即，解得，即B正确； 因为，且，所以， 即，解得或，即C错误； 因为圆的直径为2，所以当时，为圆的直径， 所以， 当且仅当时，，即D正确. 故选：ABD. 非选择题部分 2、 填空题： 12、【答案】 【分析】 求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，写出直线的方程. 【详解】 设直线的倾斜角为， 则，故， 设直线的倾斜角为，则， 故直线的斜率为， 故直线的方程为，即． 故答案为：． 13、【答案】 【分析】由，结合数量积向量运算即可求 【详解】由题，，则 ，故. 故答案为： 14、【答案】5 【分析】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可得到答案； 【详解】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标， 以为圆心，450千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点， 过点作，垂足为． 由题意可知千米，千米，， 则千米，从而千米， 故点处于危险区域的时长是小时． 故答案为：5 3、 解答题： 15、【答案】(1)或2 (2)或1 【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可； （2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，，， 由题意可知， 即，解得或2. （2），， 由题意，设，所以，解得或. 因此，或1. 16、【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，列出不等式组，求出m的值即可； （2）由题意可得直线的斜率为1，根据一般式方程求出斜率，建立等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得,解得， 故当时，直线l在x轴上的截距为-3； （2）由题意得，解得， 故当时，直线l的倾斜角为45° 17、【答案】(1)2 (2). 【分析】 （1）利用面面垂直得出线面垂直，建立坐标系，利用空间向量求解点到直线的距离； （2）分别求解平面与平面的法向量，利用法向量求解两平面的夹角. 【详解】（1）取的中点，连接，并过点作的平行线，交于， 则. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 则， 直线的一个单位方向向量为， 点到直线的距离. （2）， 设平面的法向量为， 则令， 设平面的法向量为， 则令， 设平面与平面的夹角为，则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18、【答案】（1）最大值是，最小值是；（2）最大值是，最小值是. 【详解】（2）试题分析：（1）是圆上的点与点连线的斜率，最大、最小值分别是过点的圆的两条切线的斜率.设切线的斜率为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率；（2）令，则，转化为线性规划问题求解，平移直线，当直线和圆有公共点时，的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.利用点到直线的距离公式，求得的取值范围. 试题解析： （1）显然可以看作是点与点连线的斜率.令，如图所示，则其最大、最小值分别是过点的圆的两条切线的斜率. 对上式整理得， ∴， ∴. 故的最大值是，最小值是.    （2）令，则可视为一组平行线，当直线和圆有公共点时，的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得. 依题意，得，取得， 故的最大值是，最小值是. 考点：直线与圆的位置关系. 19、【答案】(1)① ，；②，此时 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①直接由定义即可得解；②在同一直角坐标系中，画出的图象，从而即可得到的表达式以及最小值. （2）直接由定义即可得证. （3）由四点共面的充要条件，结合定义以及三角不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】（1）①因为，所以 ，； ②由题意，如图所示： 从而，，此时. （2）， 因为 ，， 所以，， 所以， 所以 ． （3）由题意四点共面，所以由四点共面的充要条件可知， 由（2）可知，， 从而， ， 所以，等号成立当且仅当. 学科网（北京）股份有限公司 $