8.2 特殊的平行四边形 同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

8.2特殊的平行四边形同步练习 一、单选题 1．下列性质中，矩形一定具有的是（    ） A．四边相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 2．下列命题中，能判断四边形是正方形的是（     ） A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形 3．如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将长方形纸片的角C沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若平分，则的度数α是（　　） A． B． C． D．α随折痕位置的变化而变化 5．如图，在菱形中，对角线、相交于点，于点，若，则的大小为（    ） A．20° B．35° C．55° D．70° 6．菱形的两条对角线长为4、3，则这个菱形面积是（　　） A．12 B．24 C．6 D．10 7．如图，两个相同的菱形拼接在一起，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点C，D分别作、的平行线交于点E．若，，则四边形的周长为（    ）    A．6 B．12 C．18 D．24 9．如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．60 C．96 D．192 10．如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置．若∠AED′＝52°，则∠EFB等于（　　） A．70° B．64° C．55° D．52° 11．如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②③④ 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，把一张矩形纸片折叠，点与点重合，折痕为，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若厘米，则的长为 厘米． 14．如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 15．如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝ °． 16．如图，在菱形中，，，M为对角线上一点（M不与点B、D重合），过点，使得，连接，则的最小值是 ． 17．如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是 ． 18．如图，在矩形中，，菱形的三个顶点分别在矩形的边上，，连接．当的面积为时，的长为 ． 三、解答题 19．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 20．已知：如图，在矩形中，．求证：    21．如图，已知点B是∠MAN的边AM上的一点． (1)以AB为一边，作菱形ABCD，且点C在∠MAN的内部，点D在∠MAN的边AN上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，对角线AC与BD相交于点O，若AC＝12，BD＝16，求点C到直线AM的距离． 22．如图，在中，是的中点，是的中点，过点作，与的延长线相交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空： ①当满足条件时，四边形是______形； ②如果，，，则四边形的面积是______． 23．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为一边画一个菱形； (2)在图②中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 24．如图，在菱形中，． (1)实践操作：用尺规作图法过点作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证：四边形是矩形． 25．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点的坐标分别为点，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴交于点． (1)线段的长为___________； (2)求直线的函数解析式； (3)若点在线段上，在线段上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据矩形的边的特征，对角线的特征，来判断即可． 【详解】矩形的对边平行且相等，但是邻边不一定相等，故本选项不符合题意； 矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意； 矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意； 矩形的对角线相等，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解决问题的关键． 2．A 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意； B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意； 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，利用勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：木条的长为， 故选A． 4．C 【分析】本题考查了折叠的性质，角的平分线的定义，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】∵且平分， ∴ ． 故选：C． 5．C 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，∠ABO＝∠ABC＝55°，再由直角三角形的性质求出∠BOE＝35°，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°， ∴∠ABO＝∠ABC＝55°， ∵OE⊥AB， ∴∠OEB＝90°， ∴∠BOE＝90°−55°＝35°， ∴∠AOE＝90°−35°＝55°， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出∠ABO＝55°是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查了菱形的面积，解题的关键是掌握菱形面积的求解方法有两种：①底乘以高，②对角线积的一半．利用菱形的面积是对角线乘积的一半，求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长为4、3， ∴这个菱形面积是． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质可得，，可求的度数，即可求解．掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：C． 8．B 【分析】根据矩形的性质可得，，，由，可证是等边三角形，再根据，，可证四边形是菱形，即可计算出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 9．C 【分析】由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，得出，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，勾股定理，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键． 10．B 【分析】根据折叠性质得出∠D′EF=∠DEF，再根据平角的性质结合∠AED′＝52°求得∠DEF．根据矩形的性质得出ADBC，最后平行线性质得出∠BFE=∠DEF即可解答． 【详解】解：∵四边形EDCF沿EF折叠得到四边形ED′C′F， ∴∠D′EF=∠DEF， ∵∠AED′＝52°，∠D′EF+∠DEF+∠AED′=180° ∴∠D′EF-∠DEF=（180°-∠AED′）÷2=64° ∵四边形ABCD为矩形， ∴ADBC， ∴∠BFE=∠DEF=64°． 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形性质、平行线性质、折叠性质等知识点，灵活运用矩形性质、平行线性质、折叠性质是解答本题的关键． 11．A 【分析】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键．设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴时，四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 12．B 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，关键是由直角三角形的性质求出，的长． 过作轴于，由点的坐标得到，由四边形是菱形，得到，，推出，得到，由勾股定理求出，即可得到的坐标． 【详解】解：过作轴于， ∵点的坐标是， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的坐标为． 故选：B． 13． 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，，，，由平角的定义可得，可证是等边三角形，可求解 【详解】解：四边形是矩形 ，， 把一张矩形纸片折叠，点与点重合， ， 将沿折叠，点恰好落在上的点处， ，，， ，且 ， ， ， ， ， ，， ，且 是等边三角形 ． 故答案为：． 14．4或/或4 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义分三种情况分别进行解答即可． 【详解】解：如图1所示：当时，过点作，则， 当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ，   ； 如图2所示：当时，则； 当时， ∵，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 15．45 【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°，进而得到∠ADE＝∠AED＝75°，从而得到答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°． 又∵三角形ABE是等边三角形， ∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°． ∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°， ∴AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED＝75°， ∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 16．6 【分析】本题考查了菱形及平行四边形的性质、勾股定理以及最值问题，连接并延长交的延长线于P，可得四边形是平行四边形，可推出；作点B关于的对称点，当点A，N，在同一条线上时，最小，据此即可求解； 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴ 连接并延长交的延长线于P， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴当点M从点D向B运动时，点N从点C向点P运动，点N的运动轨迹是线段， ， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 而最小，即：最小， 作点B关于的对称点，当点A，N，在同一条线上时，最小， 即：的最小值为， 连接 由对称得， ∴是等边三角形， 过点作于Q， ∴ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理得，， 即：的最小值为 故答案为： 17． 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题关键是运用菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键． 连接、、，分别交于点、、，设，，求出，，，运用勾股定理求得，，即可得解． 【详解】解：连接、、，分别交于点、、，如图所示， ， ， ， 设，， 即， 四边形、、都是菱形， ，，， ，， ，， 菱形的边长为，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18． 【分析】连接，延长，过作于，如图所示，根据矩形性质、菱形性质，得到相关角及线段的关系，再由两个三角形全等的判定定理得到，结合已知条件确定，当的面积为时，列式求出，从而得到答案． 【详解】解：连接，延长，过作于，如图所示： ， 在矩形中，， ， 在矩形中，，则， 在菱形中，，则， ， 在菱形中，， 在和中， ， ， ， ，， ， 当的面积为时，，即，解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及矩形性质、菱形性质、两个三角形全等的判定与性质、三角形面积等知识，根据题意，准确作出辅助线，数形结合，灵活运用三角形全等的判定与性质得到是解决问题的关键． 19．见解析 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，首先得到，然后得到，证明出，得到，进而证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴，     ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴，     ∴， ∴， ∴． 20．见详解 【分析】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，根据矩形的性质得和，结合题意得，可证，即有结论成立． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和 ∴， 则． 21．(1)见解析 (2)9.6 【分析】（1）以AB为直径，以A点为圆心画圆弧，交AN于点D，再分别以D、B为圆心，AB为半径画弧，两弧交于点C，连接DC、BC，则四边形ABCD即是菱形； （2）过C点作CG⊥AM与G点，利用勾股定理求出AB，根据菱形的面积，即可求解． 【详解】（1）作图如下： ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）如图，过C点作CG⊥AM与G点， ∵AC=12，BD=16，四边形ABCD是菱形， ∴，，AC⊥BD， ∴， ∵菱形ABCD的面积， ∴， ∵CG⊥AM， ∴菱形ABCD的面积， ∴，即， ∴C点到AM的距离为9.6． 【点睛】本题考查了基本作图----复杂作图、菱形的性质、勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键． 22．(1)详见解析 (2)①矩形；② 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，得出，由平行四边形的判定可得出结论； （2）①由矩形的判定方法可得出答案；②先判断出四边形的面积就是的面积，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：为的中点，为中点， ，， ∵， ，， 在和中， ，， ， ， ， ∵， 四边形为平行四边形； （2）解：①当时，四边形是矩形， 证明：，为中点，即为边上的中线， ，即， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形； ②由①知，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，再画菱形即可； （2）利用网格特点画边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：如图①所示．菱形即为所求， （2）如图②所示．正方形即为所求； 【点睛】本题考查的是菱形的判定，正方形的判定，画菱形与正方形，熟练的利用菱形与正方形的判定进行画图是解本题的关键． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、菱形的性质、矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合垂线的作图方法作图即可； （2）结合菱形的性质、矩形的判定定理可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵为边上的高， ∴， ∴四边形是矩形． 25．(1)5 (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题． （1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式； （3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标，根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点的坐标为，，， ， 故答案为：5； （2）解：设，则，， ，即， ， ， 点的坐标为． 设直线所对应的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线所对应的函数表达式为； （3）解：存在，理由：过点作轴于点，如图所示． ， ， ， 在中，， 点的坐标为， 由，设直线的解析式为：， 把代入得：，解得：， 直线的解析式为：， 令，则，解得：， 存在，点的坐标为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $