精品解析：河北邯郸市大名县2025-2026学年第一学期期末学业水平评价八年级数学试卷(B)

2025－2026学年第一学期期末学业水平评价 八年级数学（B卷） 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义进行计算是解决本题的关键．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。逐一验证各选项即可． 【详解】A. ：被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不符题意． B. ：被开方数是完全平方数，开方结果为整数，故不属于最简二次根式，不符题意． C. ：被开方数含分母，需分母有理化，故不符题意． D. ：被开方数无法分解为平方数或因式，且不含分母，满足最简二次根式的两个条件． 故选：D． 2. 二十四节气是中华民族历史文化的重要组成部分，图代表“大雪”节气，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：这是一个轴对称图形；淇淇：这是一个中心对称图形 A. 只有嘉嘉说的对 B. 只有淇淇说的对 C. 两人说的都对 D. 两人说的都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据图形可知，这既是一个轴对称图形，也是一个中心对称图形，因此两个人说的都对． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键； 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B：，故本选项符合题意； C：， ， ， 故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.2 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，由旋转的性质可得：，，得出为等边三角形，由含角的直角三角形的性质得出，最后由计算即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ， 为等边三角形，， ， ， ， 故选：B． 5. 已知分式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 将转化为，通过提取公因式法化简所求分式即可． 【详解】解： ． 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解． 【详解】解：当边长为8的边是直角边时， 第三边为斜边，边长为：； 当边长为8的边是斜边时， 第三边为直角边，边长为：； 因此第三边的长是10或， 故选B． 7. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，直角三角形的两个锐角互余，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立．原命题为“至少有一个锐角不大于”，其反面是“所有锐角都大于”． 【详解】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，即存在一个锐角小于或等于． 反证法需假设结论的反面成立，即“两个锐角都大于”．此时，两个锐角的和将超过，与直角三角形中两锐角之和为矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．选项中对应“每一个锐角都大于”的是D． 故选：D． 8. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 9. 两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为（　　） A. 6 B. 5 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，根据题意得到，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，所以，然后根据平行线的性质求解． 【详解】解：过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图， 两把直尺为完全相同的长方形， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了平行线的性质． 10. 如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴直线是图形的对称轴， 如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选C． 11. 如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（ ） A. 13 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，连接，然后先证明，从而，又由等腰可得，从而在中可以求得，又，从而可得的值，进而可以得解． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，点为边上的中点， ，，，． ． ，， ，． ． 又，， ． ，． 在中，． 在中，． 又在中，， ． ． ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 12. 如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 二、填空题（本题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 已知，则的算术平方根是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出 a 的值，再代入方程求出 b 的值，然后计算 ，最后求算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则， 即， 解得， 则， 因此的算术平方根是， 故答案为：5． 14. 等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设腰长为a，底边长为b，根据中线分周长的两种情况进行讨论，列出方程求解，再检验三角形三边关系，排除不成立的情况即可． 【详解】解：设等腰的腰，底边， 为边上的中线， ， 将周长分为和两部分， 当、时， ，解得； 当、时， ， 解得； 当、时，，不能构成三角形， 当、时，、，能构成三角形， 故底边长为：8． 15. 若关于x的方程无解，则m的值______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根．先化为整式方程，再分别讨论系数为0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 移项得 当且时，整式方程无解 解得； 当整式方程的解为增根时，原方程无解， 增根为或 若，代入整式方程得 解得； 若，代入整式方程得 解得； 综上，的值为，，． 16. 如图；的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，延长交于E，利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于E， 垂直于的平分线于P， ，， 在与中， ， ， ，， 和等底同高， ， ， 故答案为：. 三、解答题（本大题共八个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17. 按要求完成下列各小题． （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算、解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）将分式方程转化为整式方程求解，注意要验根． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得 去括号得 移项、合并同类项得 系数化为1得 检验：当时， 是原方程的增根 原方程无解． 18. 嘉琪的练习册上有一道题：“化简：”，其中部分内容被墨迹污染，污染部分的代数式记为，已知该题的正确答案是． （1）求代数式； （2）先将，，，化简，再从中选择一个合适的数作为的值，求代数式的值． 【答案】（1） （2），，，； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算： （1）； （2）根据题意可知，，据此即可求得答案． 【小问1详解】 【小问2详解】 ，，，； 根据题意可知，，所以当时，原式． 19. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交直线l于P，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：连接交直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 此时取得最小值，最小值为的长， 则点即为所作． 20. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 21. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，把代入得到，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：由，，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由得，则， ∴， ∴ ． 22. 如图，在中，为角平分线，，，垂足为E，点F在边上，且． （1）求证； （2）连接，求证垂直平分； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为角平分线，，， ∴，． 在与中， ∴， ∴； （2） 证明：如图， 由（1）知，． 在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴点A，D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，以及垂直平分线的判定， （1）根据平分线性质得，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得，则有，故垂直平分； （3）由（1）、（2）可知，，根据即可求得的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（1）、（2）可知，， ∵， ∴， ∴，解得， 即的长为5． 23. 【问题情境】年某城市文创市集推出了书包和笔记本两款文创产品，某摊主购进这两种产品开展销售．已知用元购进书包的数量比用元购进笔记本的数量少个，且书包的进价是笔记本进价的倍． （1）若小宇同学列出方程：，解得，经检验是原方程的解且符合题意，则此方程中的x表示________． （2）小轩同学有不同的解法；设笔记本的数量为y个，请你帮他求笔记本和书包的进价． （3）该摊主再次以相同进价购进这两种产品，若购进笔记本的数量比书包数量的倍多个，且购进两种产品的总资金不超过元，则最多可以购进书包多少个？ 【答案】（1）笔记本的进价； （2）笔记本的进价是元/个，书包的进价是元/个； （3）个． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）根据列出的方程，确定表示的意义即可； （2）设笔记本的数量为y个，则书包的数量为个，列出方程，解方程即可求解； （3）设购进书包m个，则购进笔记本个，根据购进两种产品的总资金不超过元，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：小宇同学列出方程：， 表示笔记本的进价， 故答案为：笔记本的进价； 【小问2详解】 根据题意列方程，得， 解得， 经检验是原方程的解， 笔记本的进价是：元/个， 书包的进价是：元/个， 答：笔记本的进价是元/个，书包的进价是元/个； 【小问3详解】 设购进书包m个，则购进笔记本个， 由题意得， 解得：， 因为m为整数， 所以m的最大值为， 答：最多购进书包个． 24. 如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 【答案】（1）①为直角三角形； 理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形； ②； （2）①；②或；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据勾股定理求出，再求出即可； （2）①过点P作于点Q，根据角平分线性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可得出，求出，即可求出结果。 【详解】解：（1）① 略 ②∵为直角三角形，， ∴时，， ∴， ∴； （2）①过点P作于点Q，如图所示： ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； ②当时，过点P作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长为或． （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末学业水平评价 八年级数学（B卷） 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 二十四节气是中华民族历史文化的重要组成部分，图代表“大雪”节气，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：这是一个轴对称图形；淇淇：这是一个中心对称图形 A. 只有嘉嘉说的对 B. 只有淇淇说的对 C. 两人说的都对 D. 两人说的都不对 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.2 D. 1.5 5. 已知分式，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 7. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 8. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为（　　） A. 6 B. 5 C. 5 D. 4 10. 如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 11. 如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（ ） A. 13 B. C. 8 D. 12. 如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 已知，则的算术平方根是______． 14. 等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______． 15. 若关于x的方程无解，则m的值______． 16. 如图；的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为________． 三、解答题（本大题共八个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17. 按要求完成下列各小题． （1）计算：． （2）解方程：． 18. 嘉琪的练习册上有一道题：“化简：”，其中部分内容被墨迹污染，污染部分的代数式记为，已知该题的正确答案是． （1）求代数式； （2）先将，，，化简，再从中选择一个合适的数作为的值，求代数式的值． 19. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 20. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 21. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 22. 如图，在中，为角平分线，，，垂足为E，点F在边上，且． （1）求证； （2）连接，求证垂直平分； （3）若，，求的长． 23. 【问题情境】年某城市文创市集推出了书包和笔记本两款文创产品，某摊主购进这两种产品开展销售．已知用元购进书包的数量比用元购进笔记本的数量少个，且书包的进价是笔记本进价的倍． （1）若小宇同学列出方程：，解得，经检验是原方程的解且符合题意，则此方程中的x表示________． （2）小轩同学有不同的解法；设笔记本的数量为y个，请你帮他求笔记本和书包的进价． （3）该摊主再次以相同进价购进这两种产品，若购进笔记本的数量比书包数量的倍多个，且购进两种产品的总资金不超过元，则最多可以购进书包多少个？ 24. 如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $