精品解析：安徽省芜湖市第二十七中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末监测 九年级数学试题（人教版） （满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列生活中的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于方程没有实数根，则的值可以为（） A. B. C. 0 D. 2 4. 如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 从、0、1、2这四个数中随机抽取一个数作为的值，使得反比例函数的图象在第一、三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 1 6. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（ ） A. B. C D. 7. 二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A. B. C D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 在正六边形中，边长为4，M、N分别是边的中点，以为直径作，P是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象满足：对称轴为直线，且过点、，与轴交于两点，顶点为，且（为坐标原点）．有下列4个结论： ①若，则； ②若，则该函数的解析式为或； ③当为等腰直角三角形时，； ④对任意实数，总有； 其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ②③④ 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 把二次函数变形为的形式为_____ 12. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为_____． 13. 如图，在中，半径，弦平行于直径，且到直径的距离为．点是上不与A、B重合的一点，则的度数为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有反比例函数和，依次作正方形，使顶点分别在轴和函数图象上（轴上的顶点从下向上依次为、、、、．．．）． （1）写出点的坐标_____； （2）根据上述规律，直接写出的坐标_____． 三、解答题（共9题，15－18每题8分，19－20每题10分，21－22每题12分，23题14分，共90分） 15. 解方程：． 16. 已知抛物线经过点和． （1）求a，b的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别，， （1）将绕点顺时针旋转得到，作出旋转后的图形，并写出的坐标； （2）若将线段绕点顺时针旋转，则线段扫过面积是_____． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是，求的值，并求该方程的另一个根； 19. 已知二次函数的图象过点，且与轴交于、两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出当函数值时，的取值范围； （3）若点是该函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标． 20. 弘扬中华优秀传统文化，某校开展“非遗进校园”活动，设置了“剪纸、皮影、糖画、刺绣”四项传统技艺体验课程（分别用字母A、B、C、D表示），学生每人随机选择其中一项参与． （1）若小明同学从中随机选择一项课程，求他恰好选中剪纸课程的概率； （2）若小丽和小宇两位同学各自随机选择一项课程，但两名同学依次选择一项活动，每人选择后，活动选项不再保留（即不放回）．请用列表或画树状图的方法，求两人恰好选中“剪纸（A）和糖画（C）课程的概率． 21. 如图，是的直径，点在上且，点是劣弧上的一动点（不与、重合），连接与相交于点，延长交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若半径为2，当运动点恰使时，求的长． 22. 在矩形中，，点从点出发，沿向点以每秒1个单位长度的速度运动；同时点从点出发，沿向点以每秒2个单位长度的速度运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）连接、、，设的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最小值； （2）运动过程中，过点作于点，连接．是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23. 项目式学习 任务单项目环节 具体任务内容 思考与解答要求 任务1：基础数据梳理 已知条件： 1．每份套餐食材成本12元，平台配送与运营固定成本每份8元； 2．定价30元/份时，日均销量200份； 3．定价每降1元，销量增10份；每涨1元，销量减10份； 4．设售价为元/份（保证不亏损） 1．计算每份套餐的总成本： _________________________ 2．用含x的代数式表示单件利润： _________________________ 3．分区间表示日均销量： ①当（降价区间）：_______________ ②当（提价区间）：_______________ 任务2：目标利润求解 店铺计划实现日均总利润2000元 4．确定满足目标利润的套餐售价 任务3：利润最大化探究 构建总利润二次函数模型，探究利润最大值 5．求最大日均总利润及对应售价 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末监测 九年级数学试题（人教版） （满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列生活中的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】解：根据平移规律可知，得到的抛物线的解析式是， 故选：B． 3. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握利用判别式判断方程根的情况是解题的关键． 先求出一元二次方程的判别式，根据方程无实数根的条件得到关于的不等式，解不等式后再结合选项判断符合条件的值． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， ∴， 选项中只有，满足条件， 故选：D． 4. 如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 连接，，，分别作，，的垂直平分线交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，、，分别作，，的垂直平分线交点为点B，即点B是旋转中心， 故选：B． 5. 从、0、1、2这四个数中随机抽取一个数作为的值，使得反比例函数的图象在第一、三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数图象在第一、三象限的条件是系数大于零，即，解得.满足的值有0，1，2，共3个，总可能数为4，故概率为. 本题考查了反比例函数的性质，枚举法求概率，熟练掌握计算概率是解题的关键. 【详解】解：∵ 反比例函数的图象在第一、三象限时， 故， ∴， ∵ k从、0、1、2中随机抽取，总可能结果数为4. 满足的k值有0，1，2，共3个， 故反比例函数的图象在第一、三象限的概率为， 故选：C. 6. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意正确表示出长和宽，再利用面积公式列方程；设宽为步，则长为步，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设宽为步，则长为步， 根据矩形面积公式可列方程： ， 故选C． 7. 二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的图象，确定a，b，c的符号，再确定一次函数，反比例函数的图象分布即可 本题考查了二次函数与一次函数图象，反比例函数图象的综合，熟练掌握图象的分布规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在原点的右边， ∴， 故， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、第四象限， 一次函数的图象分布在第一，第二，第三象限， 故选：A． 9. 在正六边形中，边长为4，M、N分别是边的中点，以为直径作，P是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点B作于点S，得到，连接，可以确定，，过点O作于点G，延长交于点H，证明，得到四边形是矩形，根据题意，继而得到，连接，根据题意得，当最短时，取得最小值，此时也取得最小值，解答即可． 本题考查了正六边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，圆周角定理，垂线段最短，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵正六边形中，边长为4，M、N分别是边的中点， ∴，，， 过点B作于点S， ∴，， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴，， ∴，， 过点O作于点G，延长交于点H， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， 连接， ∵以为直径作半圆交于点， ∴，， ∴， ∴当最短时，取得最小值，此时也取得最小值， ∵垂线段最短， ∴当与重合时，取得最小值， ∴， ∴，（负的舍去）， 故线段长的最小值是， 故选：C． 10. 已知二次函数的图象满足：对称轴为直线，且过点、，与轴交于两点，顶点为，且（为坐标原点）．有下列4个结论： ①若，则； ②若，则该函数的解析式为或； ③当为等腰直角三角形时，； ④对任意实数，总有； 其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性、点的位置与函数值的关系、根与系数的关系、几何条件以及最值问题．根据对称轴为可得，由可得对于结论①，由推导出；结论②中，由结合对称轴可得根为和3，但由得，与结论给出的解析式系数不符；结论③中，当为等腰直角三角形时，以P为直角顶点，利用几何关系得；结论④化简为，当时不成立． 【详解】解：∵对称轴为， ，即， ∵顶点，且， ∴，即， ∵点、、在图象上， ， ， ， ， ， ①若，则， ，即，故①正确； ②设，，则， ， ，，， ， 解析式为， 顶点，即， 由得，即，，， 或，与结论中解析式不符，故②错误； ③ 关于对称，设， 若为等腰直角三角形，且，则， ，同理， ，即， 由得， ， 从解析式得， ，即，，故③ 正确.； ④ ， ， ，即 整理得，即 ，但当时，，不一定成立，故④错误． ∴正确结论为① ③． 故选:B ． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 把二次函数变形为的形式为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，通过配方法完成平方变形即可． 【详解】解： 故答案：． 12. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，将代数式变形后代入求值． 【详解】解：是方程 的根， ， 即 ， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ． 故答案为：. 13. 如图，在中，半径，弦平行于直径，且到直径的距离为．点是上不与A、B重合的一点，则的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】过点O作于点F，连接，利用 确定，确定弧所对的圆心角，利用圆周角定理解答即可． 本题考查了平行线间的距离，圆周角定理，圆的性质，余弦函数，熟练掌握定理和三角函数是解题的关键． 【详解】解：过点O作于点F，连接， ∵半径，弦平行于直径，且到直径的距离为． ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在优弧上时，； 当点E在劣弧上时，； 故答案为：或． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有反比例函数和，依次作正方形，使顶点分别在轴和函数图象上（轴上的顶点从下向上依次为、、、、．．．）． （1）写出点的坐标_____； （2）根据上述规律，直接写出的坐标_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，，设，则，又在反比例函数图象上，解得，负值舍去，故，故，故解答即可； （2）利用待定系数法，解方程，分母有理化，确定点的坐标为，点的坐标为，由此不难发现规律如下：点的坐标为，代入计算即可． 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法，正方形的性质，解方程，分母有理化，规律探索，勾股定理，熟练掌握待定系数法，勾股定理，规律的探索是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，根据题意，得，， 设， 则， 又在反比例函数图象上， 故， 解得，负值舍去， 故， 故， 故， 故点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设的解析式为，把代入，得， 解得， 故的解析式为， 又点的坐标为， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或舍去， 故点， 故， 故点， 故点， 点的坐标为， 故点的坐标为， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或舍去， 故点， 故， 故， 故点， 故点的坐标为， 由此不难发现规律如下：点的坐标为， 当时，的坐标为即， 故答案为：． 三、解答题（共9题，15－18每题8分，19－20每题10分，21－22每题12分，23题14分，共90分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解答即可． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 详解】解：， ， 或， ． 16. 已知抛物线经过点和． （1）求a，b的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）不在，见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，图象过点的意义，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法解答； （2）根据图象过点，点的坐标满足函数的解析式计算判断即可． 【小问1详解】 解：将点和代入抛物线方程，得 方程组： 解得：． 【小问2详解】 解：不在，理由如下： 由（1）得抛物线解析式为 将代入得：， ， 点不在这个抛物线上． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别，， （1）将绕点顺时针旋转得到，作出旋转后的图形，并写出的坐标； （2）若将线段绕点顺时针旋转，则线段扫过的面积是_____． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）的三个顶点坐标分别是，，，根据旋转的性质得旋转后的对应坐标分别为，，，画图即可； （2）根据点，得，圆心角为，则线段扫过的面积是是一个扇形的面积，根据公式计算即可． 本题考查了旋转的作图，扇形的面积公式，熟练掌握作图是解题的关键． 【小问1详解】 解：的三个顶点坐标分别为，，，根据旋转的性质得旋转后的对应坐标分别为，， 画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据点，得，圆心角为， 故线段扫过的面积是一个扇形的面积，且为． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是，求的值，并求该方程的另一个根； 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）证明即可． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程，且 ∴ ， ， ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：设是方程的两个根， 则，， ∵， ∴把代入方程得：， ， ∵， ∴， ∴， 故m的值为0，方程的另一个根为1． 19. 已知二次函数的图象过点，且与轴交于、两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出当函数值时，的取值范围； （3）若点是该函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）设函数的解析式为，代入，解答即可； （2）根据函数的增减性解答即可； （3）设点的纵坐标为的面积公式为：，解答即可． 本题考查了待定系数法，二次函数的增减性，面积计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设函数的解析式为， 将代入： ． 函数表达式为：． 【小问2详解】 解：令，代入得：， 解得． 函数图象开口向上， 故时，的取值范围是：． 【小问3详解】 解：根据题意，得． 设点的纵坐标为的面积公式为：， 代入得： ，即或． 当时，代入函数表达式：， 解得， ． 当时，代入函数表达式：， 解得． 综上，点的坐标为：或或或． 20. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“非遗进校园”活动，设置了“剪纸、皮影、糖画、刺绣”四项传统技艺体验课程（分别用字母A、B、C、D表示），学生每人随机选择其中一项参与． （1）若小明同学从中随机选择一项课程，求他恰好选中剪纸课程的概率； （2）若小丽和小宇两位同学各自随机选择一项课程，但两名同学依次选择一项活动，每人选择后，活动选项不再保留（即不放回）．请用列表或画树状图的方法，求两人恰好选中“剪纸（A）和糖画（C）课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查画树状图或列表法求概率，得到所有的可能结果数是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有的等可能的结果，再找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：课程数为4项（A、B、C、D），剪纸课程（A）是其中1项， 故他恰好选中剪纸课程的概率为． 【小问2详解】 解：采用列表法（小宇先选，小丽后选，不放回）： 小丽 小宇 A B C D A B C D 所有可能的结果共种且每种结果的可能性相同，其中“两人恰好选中A和C”的结果有2种：小丽选A，小宇选C；小丽选C，小宇选A． 因此两人恰好选中“剪纸（A）和糖画（C）课程的概率为． 21. 如图，是的直径，点在上且，点是劣弧上的一动点（不与、重合），连接与相交于点，延长交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若半径为2，当运动点恰使时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，三角形全等的判定，证明即可； （2）设，则，解得即可． 本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：是直径 又 是等腰直角三角形 由圆周角定理，且（同弧所对圆周角）． 在和中： ． 小问2详解】 解：由（1）， 又半径为2， ， 在等腰直角中， ， ， 在中， 设，则， ，（负值舍去） ． 22. 在矩形中，，点从点出发，沿向点以每秒1个单位长度的速度运动；同时点从点出发，沿向点以每秒2个单位长度的速度运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）连接、、，设的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最小值； （2）运动过程中，过点作于点，连接．是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，的值为 【解析】 【分析】（1）由题意：，分割法表示所求面积，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可； （2）利用分类思想解答即可． 本题考查了矩形的性质，二次函数的最值，等腰三角形的定义，熟练掌握性质和最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意：． 矩形面积：． 的面积：； 面积：； 的面积：． 故 ， 开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值： ． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由题意：的范围为， ①，则， 解得； ②，则， 解得 ③，则， 解得（另一根不符合题意，舍去） 存在，的值为． 23. 项目式学习 任务单项目环节 具体任务内容 思考与解答要求 任务1：基础数据梳理 已知条件： 1．每份套餐食材成本12元，平台配送与运营固定成本每份8元； 2．定价30元/份时，日均销量200份； 3．定价每降1元，销量增10份；每涨1元，销量减10份； 4．设售价为元/份（保证不亏损） 1．计算每份套餐的总成本： _________________________ 2．用含x的代数式表示单件利润： _________________________ 3．分区间表示日均销量： ①当（降价区间）：_______________ ②当（提价区间）：_______________ 任务2：目标利润求解 店铺计划实现日均总利润2000元 4．确定满足目标利润的套餐售价 任务3：利润最大化探究 构建总利润二次函数模型，探究利润最大值 5．求最大日均总利润及对应售价 【答案】1．20元/份；2．元/份；3．①份；②份； 4.售价为30元/份或40元/份； 5.最大日均总利润为2250元，对应售价为35元/份 【解析】 【分析】1.根据题意，得每份套餐的总成本：食材成本＋配送运营成本解答即可； 2.根据利润＝售价－成本，解答即可； 3. ①根据“定价每降1元，销量增10份”，可知降价时销量为，化简即可； ②根据“每涨1元，销量减10份”，可知提价时销量为，化简即可； 4. 根据日均总利润＝单件利润×日均销量，即，解方程即可； 5. 根据题意，得总利润函数为（，利用二次函数的最值解答即可． 本题考查了列代数式，利润，一元二次方程的解法，二次函数的最值，熟练掌握解方程，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：每份套餐的总成本：食材成本＋配送运营成本，即元/份． 故答案为：20； （2）单件利润的代数式：利润＝售价－成本，即元/份， 故答案为：． （3）解：①降价区间：故销量为份． ②提价区间：故销量为份； 故答案为：①份；②份． （4）解：根据日均总利润＝单件利润×日均销量，即．整理方程： 解得， 即． 因此，满足目标利润的售价为30元/份或40元/份． （5）解：根据题意，得总利润函数为（． 二次函数开口向下， ． 代入得最大利润：． 因此，最大日均总利润为2250元，对应售价为35元/份． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $