8.1 平行四边形 同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

8.1平行四边形 同步练习 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，对角线与交于点O，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（   ） A．5 B． C． D．6 5．数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 6．如图，中，平分，若，则（　　） A． B． C． D． 7．数学家莫伦在年发现了世界上第一个完美长方形（如图），即它恰好能被分割成个大小不同的正方形，从这以后人们开始热衷图形完美分割的研究，平行四边形被分割成个小正三角形（如图2），已知中间最小的两个正三角形和边长均为，平行四边形的周长为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列结论中：①平分；②；③；④．正确结论的个数序号是(    ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 9．如图，点P为平行四边形内的任意一点连接．设、、、的面积分别为，则之间的等量关系为 ． 10．如图，在中，平分交于点E，交的延长线于点F，若，则的长为 ． 11．如图、在中，，，，对角线，交于点，，垂足为，连接，则的长是 ． 12．如图，平行四边形的周长是，对角线相交于点，交于点，则的周长为 ．    13．在平行四边形中，，，将沿对角线翻折至，连接，若，则点到边的距离为 ．    三、解答题 14．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 15．已知，如图，在平行四边形中，E、F分别是的中点．求证：    (1)； (2)． 16．【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________． 17．如图，在中，，，分别是边，上的高，连接，作交于点F． (1)求证：； (2)请在图中作出关于直线对称的，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，求的长． 18．如图：平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．点C为y轴上一点，且．    (1)求点C的坐标； (2)点P为x轴上一个动点，点Q为直线上一个动点，如果以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求P点坐标． 19．已知，在四边形中，，，连、，如图1． (1)求的度数； (2)以为对角线，为边作，如图2， ①若，，试求与的长； ②猜想的度数是否变化，若不变，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等． 根据平行四边形的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 故选：A． 2．B 【分析】根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 3．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键． 由，可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 5．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而可得，，根据根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 利用平行四边形对边平行得，结合角平分线得定义，求角解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴． ∴， 故选：B． 7．B 【分析】设的边长是，按照图形规律表示出和，再列出等式即可求出，再表示出，即可求出▱的周长． 【详解】解：如图所示：    设的边长是， 正和正边长均为， ， ， ， ， 即，， ，解得：， ，， 平行四边形的周长为：（）． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及规律型—图形的变化，细心观察，逐步推理表示出平行四边形EH、FG的长是解题关键． 8．B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线等知识，掌握相关知识是解题的关键．①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点作于点，先求出， ，证明是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得， ，进而得到，即可得到，据此可对结论③进行判断，④分别求出，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③过点作于点，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， 由勾股定理得：， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述：所有正确结论的序号是①②④． 故选：B． 9． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键．依据以为底边，以为底边，，即可得到两个三角形边上的高的和为平行四边形边上的高，进而得出平行四边形面积，平行四边形面积，据此可得结论． 【详解】解：∵以为底边，以为底边，， ∴两个三角形边上的高的和为平行四边形边上的高， ∴平行四边形面积； 同理可得，平行四边形面积； ∴； 故答案为：． 10．/8厘米 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，利用平行四边形的性质得出，进而得出，再利用角平分线的性质得出，进而得出，即可得出，同理可得：，即可得出答案，得出，是解题关键． 【详解】解：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】根据平行四边形的性质得，，，，根据角的直角三角形的性质得，根据勾股定理得，，最后根据直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，，，对角线，交于点， ∴，，， 即是边上的中线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，，斜边，是边上的中线， ∴， 即的长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握直角三角形的相关知识是解题的关键． 12． 【分析】此题考查了平行四边形的性质、线段的中垂线的性质以及三角形周长等知识，熟练掌握平行四边形的性质解题的关键． 由四边形是平行四边形，则，，，故有，又，则垂直平分，所以，再根据周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平行四边形的周长是， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长 ， 故答案为：． 13． 【分析】过E作于G，过A作于H，设与交于F，由，，四边形是平行四边形，得，而将沿对角线翻折至，可得，证明，得，在中，可得，由是等腰直角三角形，可得，从而即得，在中，可得，设点C到边的距离为h，由即可得答案． 【详解】解：过E作于G，过A作于H，设与交于F，如图：    ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿对角线翻折至， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设点C到边的距离为h，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，涉及等腰三角形性质及应用、全等三角形判定及性质、等腰直角三角形性质及应用、三角形面积等知识，解题的关键是利用证明． 14．见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到．由中点的定义得到，即可证明， （2）由全等三角形对应边相等即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵E、F分别是的中点， ∴． ∴． （2）∵， ∴． 16．探究：见详解， 应用：12 【分析】本题考查行四边形的性质、三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． [探究]由平行四边形的性质得到，所以，从而判定，得证； [应用]因为，所以．由可求，由平行四边形性质得，可求，同理可求，则． 【详解】解：探究：证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中 ， ， 应用：解：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理，， ． 故答案为：． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直的定义得到，求得，得到，根据全等三角形的性得到结论； （2）如图所示；根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据轴对称的性质得到，，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （3）根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，分别是边，上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴（）， ∴； （2）证明：如图所示； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵关于直线对称的， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18．(1) (2)或 【分析】（1）先求出A、B的坐标，再根据，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）分当四边形是平行四边形时，当四边形是平行四边形时，两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图所示，当四边形是平行四边形时， 则且， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴；    如图所示，当四边形是平行四边形时， 设， ∵平行四边形两条对角线中点坐标相同， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或．    【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的性质等等，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键． 19．(1) (2)①， ②不变， 【分析】（1）延长至F，使，连接，证明，得，，进而推出是等腰直角三角形，即可得到，即可由求解； （2）①延长至F，使，连接，，交于点G，延长交于H，由平行四边形的性质可得，推出，再证明，可得，，进而，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可； ②由①，，结合平角的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长至F，使，连接， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）①解：如图，延长至F，使，连接，，交于点G，延长交于H， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 由（1）知：，是等腰直角三角形，， ， ， 又由（1）知，， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， 设，则， 在和中， 由勾股定理得，即， 解得：，（舍去负值） ， ，； ②不变，，理由如下： 由①知，，， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题关键是构造全等三角形和熟练掌握相关性质定理． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $