精品解析：山东德州市第一中学等两校2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题

德州一中高二期末两校联考模拟测试题 本试卷共2页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）（附：若，则，，） A. 0.1587 B. 0.0228 C. 0.0027 D. 0.0014 3. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 小明、小红等5人报名学校三类选修课(球类、武术类、田径类)，规定每个人只能报其中的一类选修课，且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有（ ） A 132种 B. 114种 C. 96种 D. 84种 8. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点共有4个 D. 的最大值为8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 设，则下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 若点为的中点，则过P、Q、三点的截面为四边形 B. 若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为 C. 不存在点，使 D. 与平面所成角的正切值最小为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，则（ ） A. 点在上 B. 面积的最大值为 C. 曲线恰好经过个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布，对于的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用表示这100包中质量位于区间的包数，则随机变量的方差是______． 13. 现从甲、乙、丙等6人中先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞.若在甲、乙中只有一人被抽到的条件下，丙不被抽到去跳舞的概率是__________. 14. 某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率____________；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知直线与圆交于，两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，平面平面为线段上的一点． （1）证明：平面； （2）若二面角余弦值为，求值． 17. 在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮通过的概率． （2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 18. 甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中. （1）记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列； （2）记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围. 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. （1）求的方程； （2）已知点. （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德州一中高二期末两校联考模拟测试题 本试卷共2页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出抛物线的标准方程，即可写出焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，所以抛物线焦点坐标为. 故选：D 2. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）（附：若，则，，） A. 0.1587 B. 0.0228 C. 0.0027 D. 0.0014 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以，， 由题意，，且，， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为， 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】解：令，得； 令，得， 则， 故选：B 4. 如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】确定可以建设桥梁的位置有几个地方，进而求出建设3个桥梁的所有可能选法，去掉不符合题意的选法，即可得答案. 【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来， 共有个位置可以建设桥梁， 从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法， 但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意， 故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案. 故选：B. 5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 6. 已知事件相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出关于和的方程组，求解即可. 【详解】∵ 事件相互独立， ， ∵事件与也相互独立， ， 两式相除可得， 解得. 故选：B. 7. 小明、小红等5人报名学校的三类选修课(球类、武术类、田径类)，规定每个人只能报其中的一类选修课，且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有（ ） A. 132种 B. 114种 C. 96种 D. 84种 【答案】B 【解析】 【分析】法一：按3:1:1分组、2:2:1分组报名，应用排列组合、间接法求小明和小红不报同一类选修课的情况数；法二：按3:1:1分组、2:2:1分组报名分别求出小明和小红不报同一类选修课的情况数，即可结果. 【详解】法一：总的情况有种， 若小明和小红报同一类选修课有种， 故小明和小红不报同一类选修课的情况有种. 法二：若按照3:1:1报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有种， 若按照2:2:1报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有种， 故小明和小红不报同一类选修课的情况有种. 故选：B 8. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点共有4个 D. 的最大值为8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定图形，求出椭圆长、短半长轴、，再逐项计算、判断作答. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，故A选项正确； 显然，，解得，则，离心率，故B选项正确； 以椭圆对称中心为圆心，为半径作圆，由，可知与椭圆有4个交点，所以满足的点共有4个，故C选项正确； 由椭圆定义，可得，根据不等式，可得，解得，当且仅当时，取得最大值，故D选项错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 设，则下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】令，则，将原式变形，对于，为第二项的系数，由二项式定理即可求解；对于，令，即可得；对于，令，可求，令，即可求解；对于，令，即可求解. 【详解】令，所以， 所以原式可变形为， 所以，故正确； 令，则，故正确； 令，则， 令，则，所以，故不正确； 令，则， 所以，故不正确. 故选：. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 若点为的中点，则过P、Q、三点的截面为四边形 B. 若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为 C. 不存在点，使 D. 与平面所成角的正切值最小为 【答案】AB 【解析】 【分析】全程采用建系法可验证ABCD选项的正确性，由向量平行可验证A；由线面角的正弦公式验证B，由向量垂直的坐标运算验证C，由线面角的正弦公式可求最小值，进而求出正切值. 【详解】 如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 对于A项，连接P、、Q、四点，当为的中点时，，，，， ，，，所以为平行四边形，A正确； 对B，当点为的中点，，， ，设平面的法向量为，则， 即，令，则，， 则与平面所成角的正弦值为， 故B正确； 对C，可设，，， ，，，令， 即，显然能取到，故C错误； 对D，当与平面所成角的正切值最小时，与平面所成角的正弦值也最小，，设的法向量为， 则与平面所成角正弦值为 ，当或2，时， ，由三角函数可得与平面所成角的正切值最小为，故D错误. 故选：AB 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，则（ ） A. 点在上 B. 面积的最大值为 C. 曲线恰好经过个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将点代入曲线方程判断A，由方程取求点的坐标，取求坐标，求直线与曲线的交点，由此判断B，求直线与曲线的交点，判断C，求到点距离和为的点的轨迹，求该轨迹与已知曲线的交点，由此判断D. 【详解】将点代入曲线的方程的左侧可得， 所以点不在曲线上，A错误； 取可得，所以，，所以， 由曲线可得，因为， 设， 当时，， 当时，，代入曲线方程成立， 所以直线与曲线的交点坐标为， 所以点的纵坐标的绝对值的最大值为， 所以面积的最大值为，，B正确； 由，取，可得， 所以直线与曲线交于点，直线与曲线交于点， 所以曲线经过点，C错误； 坐标平面内到定点的距离和为的点的轨迹为以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，由已知， 又，故， 所以椭圆方程为， 联立，所以， 所以，所以， 所以， 故椭圆与曲线的交点为，， 如图： 故曲线上的所有点都满足故选，D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合曲线方程，确定曲线的范围及曲线上的关键点的坐标. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布，对于的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用表示这100包中质量位于区间的包数，则随机变量的方差是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得，分析可知，利用二项分布的性质求方差. 【详解】由题意可知：，且， 则，可得， 由题意可知：， 所以随机变量的方差. 故答案为：9. 13. 现从甲、乙、丙等6人中先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞.若在甲、乙中只有一人被抽到的条件下，丙不被抽到去跳舞的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：应用分类法计算事件个数结合条件概率公式计算求解；方法二：应用对立事件计算事件个数结合条件概率公式计算求解. 【详解】记“甲、乙中只有一人表演节目”为事件，“丙不参加舞蹈节目”为事件. 事件包含的基本事件个数为， 方法一：①若丙不被抽中参加节目，则有种抽法； ②若丙被抽中参加节目，则只能参加歌唱节目，有种抽法； 所以事件包含的基本事件个数为， 因而， 则在甲、乙只有一人表演节目的条件下，丙不参加舞蹈节目的概率为. 方法二： 由于事件的对立事件为“丙被抽到去跳舞”， 则事件包含的基本事件个数为种抽法； 所以事件包含的基本事件个数为种抽法， 因而， 则在甲、乙只有一人表演节目的条件下，丙不参加舞蹈节目的概率为. 故答案为： 14. 某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率____________；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率____________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】第一空给出具体事件，根据条件概率公式求解即可；第二空根据全概率公式求解. 【详解】从五年级科技课外兴趣小组的12人中随机挑选2个学生，记“其中一个是男生”为事件，“另一个也是男生”为事件， 由题意知12人中有7男5女， 则. 先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两名同学参赛，记“从甲班中选两个同学”为事件，“从乙班中选两个同学”为事件，“两个都是男生”为事件， 因为等可能地从两个班中随机选择一个班，所以， 又， 所以 . 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与圆交于，两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据求出； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【小问1详解】 圆即， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又，所以，即，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，则，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点直线斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得， 所以切线方程为，即， 综上可得，过点的圆的切线方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，平面平面为线段上的一点． （1）证明：平面； （2）若二面角余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直度性质定理判断平面，再利用线面垂直的判定定理判断平面； （2）先以为原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，再设并求，进而求平面的一个法向量，最后向量法求二面角余弦值，从而列方程得到答案. 【小问1详解】 连接，过点作的垂线，垂足为， 平面平面，且平面平面， ，平面， 又平面， 又四边形为菱形，，又平面，， 平面， 又平面， 又，平面， 平面． 小问2详解】 由（1）知，互相两两垂直，以为原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 因为，所以，即. 则， ，. 设，则， ． 易知平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，即． 设二面角为， 则，即，两边同时取平方化简得，解得． 故二面角余弦值为时，． 17. 在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮通过的概率． （2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件、相互独立事件的概率计算； （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”，分别表示，，求出； （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”，由或，计算得解. 【小问1详解】 设事件“甲通过第一轮比赛”，事件“甲通过第二轮比赛”， 事件“乙通过第一轮比赛”，事件“乙通过第二轮比赛”， 由题知相互独立，且． 记事件“乙恰好有一轮通过”，则， 又互斥， 所以当时，， 即当时，乙恰好有一轮通过的概率为. 【小问2详解】 （i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”， 则 ，① ，② 由①②，得，解得. （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”， 则， 则． 或. 18. 甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中. （1）记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列； （2）记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得X所有可能的取值为，分别求出各可能值对应概率值，列出分布列即可‘ （2）设事件B为“进行了4局比赛分出胜负”，求得，设A为“甲获胜”，求出，利用条件概率公式求得“进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜”的概率为；再设事件为“进行了5局比赛分出胜负”，求得，继而求得，同理求得，再由，列出不等式，求解即得. 【小问1详解】 根据题意，则X所有可能的取值为， 于是， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问2详解】 记事件B为“进行了4局比赛分出胜负”， 则， 记事件A为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 ； 记事件为“进行了5局比赛分出胜负”， 则， 则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 . 依题意，， 解得，故p的取值范围为. 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. （1）求的方程； （2）已知点. （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合面积公式以及斜率公式联立方程求解即可， （2）对讨论，联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据模长公式代入求解（ⅰ），根据韦达定理以及两点斜率公式，代入化简即可求解（ⅱ）. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆方程为 【小问2详解】 （ⅰ）当直线与轴重合时，点则， 所以， 当直线与轴不重合时，设， 联立，则， 由得， 设，则 所以 由于，故同号，因此， 故 ， 此时， 综上可得的最大值为 （ⅱ）由于,设， 当直线与轴重合时，，符合题意， 当直线与轴不重合时，设 联立，则， 则 而 ， 即，故， 综上可得, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $