山东省德州市高中五校2024-2025学年高二上学期1月联考数学试题

德州市高中五校联考 2024—2025学年上学期 高二数学试题（2025年 1月） 本试卷分第 I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 第 I卷的答案涂在答题卡相应位置上,第Ⅱ卷答案直接写在答题卡上。考试结束后，只交答题卡。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 1. 若 2 2222 += mm CC ，则 22 4 2 3 2 2 mCCCC ++++  的值为（ ） A．45 B．55 C．120 D．165 2．在 5 2 2 ( )x x − 的展开式中， 1x− 的系数是（ ） A．40 B．64 C．20 D．-40 3．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有 1 5 的学生每天玩手机超过 1小时，这 些人近视率约为 1 2 ，其余学生近视率约为 3 8 .现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A． 1 5 B． 2 5 C． 7 16 D． 7 8 4．为参加校园文化节，某班推荐 2名男生 3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器 1 人，舞蹈 2 人，演唱 2 人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的 推荐方案的种数为 ( ) A．12 B．24 C．36 D．48 5.生态环境部 2024年 7月 21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交 易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为 了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地 1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的 综合得分 X 近似服从正态分布 ( )51,256N ，则得分在区间 67,83 内的企业大约有( ) （参考数据：若 ( )2,X N  ～ ，则 ( ) 0.6827P X   −   +  ， ( )2 2 0.9545P X   −   +  ） A．108 家 B．116家 C．124家 D．136家 6．已知点 ( ) ( ),3,0 3,0A B− ，动点 P 满足 2 PA PB = ，设 P 点的轨迹为曲线Γ，直线 : 1 0l x y− − = 与Γ交 于 ,C D两点，则弦长 CD =（ ） A．4 2 B．2 2 C． 2 D．4 7．如图，在三棱锥P ABC− 中， ABCV 为等边三角形， APC△ 为等腰直角三 角形，PA PC= ，平面PAC ⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（ ） A． 3 4 − B． 3 4 C． 2 4 D． 2 4 − 8．已知甲、乙去北京旅游的概率分别为 3 4 ， 2 3 ，甲、乙两人至少有一人去北京旅游的概率为 5 6 ，且甲 是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为( ) A． 4 7 B． 3 5 C． 2 3 D． 1 2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分． 9. 下列选项正确的是( ) A. 若随机变量 X服从两点分布，也称 0-1分布，且 𝐸(𝑋) = 1 2 , 则 𝐷(𝑥) = 1 8 B. 若随机变量 X满足 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝐶2 𝑘𝐶4 2−𝑘 𝐶6 2 , 𝑘 = 0,1,2 则 𝐸(𝑥) = 2 3 C.若随机变量 ),(~ 2NX , P(X≤4)=P(X≥0), 则μ=2 D. 某人在 10 次射击中，击中目标的次数为Z ，若 )7.0,10(~ BZ ，则此人最有可能 7 次 击中目标 10．一个质地均匀的正四面体 4 个表面上分别标有数字 1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为 1 或 2”，事件N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件M 发生的概率为 1 2 B．事件M 与事件 N 不互斥 C．事件M 与事件 N 相互独立 D．事件M N+ 发生的概率为 1 2 11．以下四个命题表述正确的是（ ） A．若点 (4,3)A ， (3,5)B 到直线 : 2 1 0l x ay+ + = 的距离相等，则 a的值为 1或-2. B．设 O 为坐标原点，直线 ( )3 1y x= − − 过抛物线 ( )2: 2 0C y px p=  的焦点，且与C 交于 NM、 两点，则 3 316 =MN C．若圆 2 2( ) 1( 0)x a y a− + =  与圆 2 2( 2) 25x y+ − = 有公共点，则实数 a 的取值范围为 [2 3,4 2] D．点 ( )4,5P 关于直线 3 3y x= + 的对称点的坐标为 ( )2,7− 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分 12．已知随机变量服从标准正态分布，则 = )0(p 13．平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1 12 3AC xAB yBC zC C= + + ，则 x y z+ + = 14．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b − =   的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，直线 0x c− = 与双曲线C 的一 个交点为点 P ，与双曲线C 的一条渐近线交于点Q，O 为坐标原点，若 2 1 2 3 3 OP OF OQ= + ，则双曲线 C 的离心率为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.已知在 10 2 1 2 ax x   −    的展开式中满足 0a  ，且常数项为 45 4 ，求： (1)a的值； (2)展开式中 10x 的系数； (3)含 x的整数次幂的项共有多少项. 16. 某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，已知每次抽奖抽 中“幸运奖”得奖金 30元，抽中“安慰奖”得奖金 10元，累计奖金不少于 50元时，停止抽奖，设 甲每次抽中“幸运奖”的概率为 1 3 ，抽中“安慰奖”的概率为 2 3 ，且每次抽奖结果相互独立. (1)记甲抽奖 2次所得的累计奖金为 X，求 X的分布列和数学期望； (2)求甲恰好抽奖 3次后停止抽奖的概率. 17. 为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈” 知识竞赛，共有 10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取 100 人，得分 统计如下： 成绩（分）  )30,40  )40,50  )50,60  )60,70  )70,80  )80,90  )90,100 频数 6 12 18 34 16 8 6 (1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有 1人得分不低于 70分的概率； (2)若该市所有参赛市民的成绩 X 近似服从正态分布 ( )264,15N ，试估计参赛市民中成绩超过 79分 的市民数（结果四舍五入到整数）； (3)为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于 80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动， 规则如下：①参加答题的市民的初始分都设置为 100分； ②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量 *)20,(n n n N ，每一题都需要用一定分数来获取 答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第 k题时所需的分数为 )0.1 1,2, ,(k k n= ； ③每答对一题得 2分，答错得 0分； ④答完n题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）． 已知市民甲答对每道题的概率均为0.6 ，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n为 多少时，他获得的平均话费最多？ 参考数据：若 2~ ( , )Z N   ,则 ( ) 0.6827P Z   −   +  ， 2 0.9545( )P Z   −   +  ， ( 3 3 ) 0.9973P Z   −   +  18.如图，在四棱锥P ABCD− 中，底面 ABCD是平行四边形，且 2 2, 2, 45BC AB ABC= = = ，平面PAB ⊥平面 ,ABCD PA PB BC= = . (1)求证：平面PAB ⊥平面PAC ； (2)点Q是棱PC 上靠近点 P 的三等分点，求直线 AD与平面BDQ所成角的正弦值； (3)求点C 到平面BDQ的距离. 19. 已知椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b + =   的离心率为 3 2 ，点 ( )0,1A 在 C 上，直线 l 与 C 交 于不同于 A的两点 M，N. （1）求 C的方程； （2）若 0AM AN = ，求 AMN 面积的最大值. 德州市高中五校联考 2024—2025学年上学期 高二数学试题答案（2025年 1月） 1-8．DABB．DACD 9.BCD 10.ABC 11.ACD 12. 1 2 13． 7 6 14． 3 5 5 15.解（1）由已知得二项展开式的通项 10 5 20 2 1 10( 1) C 2 k k k k k a T x − − +   = −     ………………3分 因为常数项是 45 4 ，令 5 20 0 2 k − = ，解得 8k = ，……………………4分 此时 2 2 8 10 45 45 C 2 4 4 a a  = =    ，结合 0a  可解得 1a = …………………6分 （2）由（1）知 10 5 20 2 1 10 1 ( 1) C 2 k k k k kT x − − +   = −     ，令 5 20 10 2 − =k ，得 4k = …………8分 所以 10x 的系数为 6 4 10 1 105 C 2 32   =    ……………………10分 （3）要使 5 20 2 k− 为整数，只需 k 为偶数，由于0 10k  ， k N ，故 0,2,4,6,8,10k = ， 因此含 k 的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.…………………13分 16. 解：(1) X 的所有可能取值为 20, 40, 60. ………………………………………1分 且 𝑃(𝑋 = 20) = 2 3 × 2 3 = 4 9 , 𝑃(𝑋 = 40) = 𝐶2 1 ⋅ 1 3 × 2 3 = 4 9 , 𝑃(𝑋 = 60) = 1 3 × 1 3 = 1 9 ……4分 所以 X的分布列为 X 20 40 60 P 9 4 9 4 9 1 ……5分 故 𝐸(𝑋) = 20 × 4 9 + 40 × 4 9 + 60 × 1 9 = 100 3 .……7分 (2) 设“甲恰好抽奖 3次后停止抽奖”为事件 A， 甲恰好抽奖 3 次后停止抽奖，则甲累计奖金为 50元或 70元. …………………8分 ①若甲累计奖金为 50元，则甲抽中“幸运奖” 1次，抽中“安慰奖” 2次， 其概率为( 𝐶3 2 ⋅ ( 2 3 ) 2 × 1 3 = 4 9 .…………………………………………………11 分 ②若甲累计奖金为 70元，则甲抽中“幸运奖” 2次，抽中“安慰奖” 1次，且 第 3次抽中“幸运奖”，其概率为 𝐶2 1 ⋅ 1 3 × 2 3 × 1 3 = 4 27 .………14分 所以 𝑃(𝐴) = 4 9 + 4 27 = 16 27 . 所以，甲恰好抽奖 3次后停止抽奖的概率为 16 27 . …………15 分 17.解：（1）从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为 2 100C ， 设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于 70 分”为事件 A，所以 ( ) 1 1 70 30 2 100 C C 14 C 33 P A = = ， 即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于 70 分的概率为 14 33 .…………4分 （2）因为 79 + = ，所以 1 0.6827 ( 79) 0.15865 2 P X −   = ，…………6分 故参赛市民中成绩超过 79 分的市民数约为0.15865 10000 1587  .…………7分 （3）以随机变量表示甲答对的题数，则 ( ),0.6B n 且 ( ) 0.6E n = ，…………9分 记甲答完n题所加的分数为随机变量 X ，则 2X = ，所以 ( ) ( )2 1.2E X E n= = ，……10分 依题意为了获取答n道题的资格，甲需要的分数为： ( ) ( )20.1 1 2 3 ... 0.05n n n + + + + = + ， 设甲答完n题后的最终得分为 ( )f n ，则 ( ) ( )2100 0.05 1.2f n n n n= − + + 2 223 1 23 85290.05 100 ( ) 20 20 2 80 n n n= − + + = − − + .…………13分 由于 *nN ，所以当 11n = 或 12n = 时， ( )f n 取最大值. 即当他的答题数量为 11n = 或 12n = 时，他获得的平均话费最多.…………15分 18.解：（1）证明：在 ABCV 中， 2 , 45BC AB ABC= = ， 由余弦定理，得 2 2 2 22 cos45AC AB BC AB BC AB= + −   = ， 所以 2 2 2AC AB BC+ = ，即 AB AC⊥ .………………2分 因为平面PAB ⊥平面 ABCD，平面PAB平面 , ,ABCD AB AB AC AC= ⊥ 平面 ABCD， 所以 AC ⊥平面PAB .……4分 又 AC 平面 PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC .………5分 （2）设 ,AB BC的中点分别为 ,O E ，连接 ,OP OE， 因为 ,PA PB O= 为 AB 的中点，所以PO AB⊥ ，………………6分 又平面PAB ⊥平面 ABCD，平面PAB平面 ,ABCD AB PO= 平面PAB， 所以 ⊥PO 平面 ABCD，……………7分 又OE 平面 ABCD，所以PO OE⊥ . 因为 ,O E 分别为 ,AB BC的中点，所以OE∥ AC ， 又 AB AC⊥ ，所以OE AB⊥ ，即 , ,OB OE OP 两两互相垂直，………………8分 以O 为坐标原点， , ,OB OE OP 所在直线分别为 x轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 2AB = ，则 ( ) ( ) ( ) ( )1,0,0 , 1,0,0 , 1,2,0 , 3,2,0A B C D− − − ， ( ) 1 2 2 70,0, 7 , , , 3 3 3 P Q   −     ，……9分 则 ( ) 4 2 2 7 4,2,0 , , , 3 3 3 BD BQ   = − = −     ， 设 ( ), ,m x y z= 是平面BDQ的一个法向量， 则 0 0 m BD m BQ   =   = ，即 4 2 0 4 2 2 7 0 3 3 3 x y x y z − + =   − + + =  ，令 1x = ，则 ( )1,2,0m = .………………11分 设直线 AD与平面BDQ所成角为 ，又 ( )2,2,0AD = − ，………………12分 则 2 10 sin cos , 102 2 5 AD m AD m AD m   = = = =  ，………………13分 所以直线 AD与平面BDQ所成角的正弦值为 10 10 .………………14 分 （3）由（2）知，平面BDQ的一个法向量为 ( ) ( )1,2,0 , 2,2,0m BC= = − ，………15分 C 到平面BDQ的距离 2 2 5 55 BC m d m  = = = ，所以C 到平面BDQ的距离为 2 5 5 .………17分 19.解：（1）由题意可知： 2 2 2 1 3 2 b c e a a b c =   = =  = +  ，解得 2 1 3 a b c  =  =  = ，所以椭圆 C的方程为 2 2 1 4 x y+ = . (方程组 2分，结果 2分，方程 1分) (2)若 0AM AN = ，可知直线 l的斜率存在， 设直线 ( ): 1l y kx m m= +  ，𝑀(𝑥1, 𝑦1)，𝑁(𝑥2, 𝑦2)， 联立方程 2 2 1 4 y kx m x y = +   + =  ，消去 y可 ( )2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = ， 则 ( )( )2 2 2 2Δ 64 4 4 1 4 4 0k m k m= − + −  ，整理可得 2 24 1m k + ， 可得 1 2 2 8 4 1 km x x k + = − + ， 2 1 2 2 4 4 4 1 m x x k −  = + ，…………8分 因为 (0,1)A ，则 1 1( , 1)AM x y= − ， 2 2( , 1)AN x y= − ， 由 0AM AN = ，可得 ( )( )1 2 1 21 1 0x x y y+ − − = ，则 ( )( )1 1 1 21 1 0x x kx m kx m+ + − + − = ， 整理可得 ( ) ( )( ) ( ) 22 1 2 1 21 1 1 0k x x k m x x m+ + − + + − = ，…………10分 则 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 4 8 1 1 0 4 1 4 1 k m k m m m k k + − − − + − = + + ，且 1m  ，则 1 0m −  ， 可得 ( )( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 1 8 1 0 4 1 4 1 k m k m m k k + + − + − = + + ，解得 3 5 m = − ，…………12分 且满足 2 24 1m k + ，可知直线 3 : 5 l y kx= − 过定点 3 0, 5   −    ，…………13分 则 AMN 面积 ( )22 1 2 2 2 4 4 41 3 4 8 1 2 5 5 4 1 4 1 AMN mkm S x x k k −    =  + − = − −    + +    ( ) 2 2 2 22 16 4 1 32 25 4 25 4 15 4 1 k m k kk + − + = = ++ ，令 225 4 2t k= +  ，则 2 2 4 25 t k − = ，…15分 可得 2 2 32 32 8 9425 4 9 4 1 425 AMN t t S t t t t = = = − +  + + V ，因为 ( ) 9 4f t t t = + 在 )2,+ 内单调递增，则 ( ) ( ) 25 2 8 f t f = ，所以当 2t = ， 0k = 时， AMN 面积取到最大值 64 25 .…17分