专题12平行四边形题型突破讲义(知识点梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题12平行四边形题型突破讲义 基础 过关题 1.利用平行四边形的性质证明 2.等腰梯形的定义 3.等腰梯形的性质定理 4.证明四边形是平行四边形 5.由平行四边形性质和判定证明 6.求平行线间的距离 能力 提升题 7.由平行四边形的性质求解 8.平行四边形性质的其他应用 9.判断能否构成平行四边形 10.添一条件成为平行四边形 11.由平行四边形判定性质求解 12.平行四边形性质判定的应用 13.利用平行线间距离解决问题 拓展 拔高题 14.数图形中平行四边形的个数 15.求三点构成平行四边形的点的个数 一、基本定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 二、平行四边形的性质（边、角、对角线） 1. 边的性质 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2. 角的性质 两组对角分别相等 邻角互补（和为 180∘） 3. 对角线性质 对角线互相平分 4. 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线交点 一般不是轴对称图形 三、平行四边形的判定（4 个判定方法） 1. 定义判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2. 从 “边” 判定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3. 从 “角” 判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4. 从 “对角线” 判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形 四、易错点提醒 1.一组对边平行，另一组对边相等 ⇒ 不一定是平行四边形（可能是等腰梯形） 2.对角线相等 ⇒ 不能判定平行四边形 3.判定时要写清：四边形满足条件 ⇒ 是平行四边形 【题型1.利用平行四边形的性质证明】 1．在平行四边形中，，则（　　） A．20° B．40° C．140° D．160° 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对角相等即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 2．如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，添加：，根据平行四边形的性质得，，继而得到，即可得证．掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：添加的一个条件为．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，故结论A、B正确； ∴，故结论C正确； 无法证明，故结论D错误； 故选：D． 解答题 4．如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明，得到，再由平行四边形的对边相等得到，即可得证结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型2.等腰梯形的定义】 5．图中梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，梯形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的面积，列代数式．解题的关键在于熟练掌握梯形的面积为． 6．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 【答案】B 【分析】本题考查梯形的知识，平行线之间的距离，三角形的面积，关键是这些知识的熟练掌握及灵活运用．根据梯形的性质可得的面积的面积，进而同理即可解决问题． 【详解】解：梯形中， ， ∴的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积， 同理的面积， ∴的面积的面积， 故选：B． 7．已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了梯形的性质，勾股定理；根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，求得的长，根据梯形的面积公式，即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 梯形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ． ∴ 如图，． 故答案为：或． 解答题 8．如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【答案】31.4厘米 【分析】本题主要考查梯形面积，分别求出梯形的面积和梯形的面积，根据的面积是面积的列式求解即可 【详解】解：设梯形和梯形的高为， 所以，梯形的面积， 梯形的面积, 又的面积是面积的， ∴, 解得，， ∵ ∴， 解得，（厘米） 【题型3.等腰梯形的性质定理】 9．在等腰梯形中，已知，，那么 ． 【答案】130 【分析】本题考查了等腰梯形的性质．由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由四边形等腰梯形，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴． 故答案为：130． 10．如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 11．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 解答题 12．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【答案】梯形的面积是25． 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是根据等腰梯形的性质得出全等，再求出高即可． 【详解】解：过点D作的平行线交的延长线于点E，过点D作于H． ， ， 四边形ACED是平行四边形， ，， ， ． 四边形是等腰梯形，， ， ， ， ， ， ， ，， ． ． 答：梯形的面积是25． 【题型4.证明四边形是平行四边形】 13．下面给出四边形中，、、、的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对角相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 14．在四边形中，，相交于点．若，，那么当 ，且 时，四边形为平行四边形． 【答案】 4 5 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理得和分别是对角线和的一半. 【详解】解：， 当， 时， 四边形为平行四边形． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形． 15．已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等即可判断Ⅰ可行，证明得出，同Ⅰ的方法即可判断四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：方案Ⅰ，根据作图可得， 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 方案Ⅱ，∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ 在中， ∴， ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 故选：C． 解答题 16．如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键； 根据垂直得到角相等，在直角三角形中根据HL判定全等，进而得到对边相等，从而证明四边形ABCD是平行四边形． 【详解】解；证明：，， ． 在和中， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【题型5.由平行四边形性质和判定证明】 17．已知：如图，，，给出以下结论： ①；②； ③其中正确的是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由，，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴①平行四边形的对角相等，即，正确；②平行四边形的对边平行且相等，即，正确； ③平行四边形的对边平行且相等，即，正确． ∴正确的有：①，②， ③， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 18．如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，故④错误； 故答案为：①②③． 19．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到 【详解】解：由题意可知： 四边形为平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形. 解答题 20．如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证得； （2）由（1）的结论和中点的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，进而得到，由此可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，． 在和中， ． （2）证明：由（1）得， ，． 又，分别是，的中点， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【题型6.求平行线间的距离】 21．能表示两条平行线间距离的线段有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】D 【分析】本题考查平行线间距离的定义，正确理解该定义是解题的关键．根据平行线间的距离定义，即可选择． 【详解】解：因为平行线是两条向两边无限延伸的直线， 又因为两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度叫两条平行线间的距离， 所以表示这两条平行线间距离的线段有无数条． 故选D． 22．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键． 由于三条直线互相平行，直线与之间的距离取决于直线的位置，有两种情况：当直线位于直线和之间时，距离为两段距离之和；当直线位于直线和同侧时，距离为两段距离之差的绝对值. 【详解】解：有两种情况，如图： （1）直线与的距离是； （2）直线与的距离是； 故答案为：或. 23．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 解答题 24．如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 【答案】与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度．点到直线的距离为 【分析】两条平行线，其中一条直线上一点到另一条直线的距离即为两条平行线间的距离，据此结合的长度即可解答； 根据平行线间的距离处处相等即可得到点到的距离． 【详解】解：与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度，而题中且在上，∴的长度就是这两条平行线间的距离． 点到直线的距离同样是 ，由于，故同一条平行线上的任意点到另一条平行线的垂直距离相等，∵到的垂直距离为，那么到的垂直距离也必然是． 【点睛】本题考查两条平行线间的距离，掌握两条平行线间的距离的定义是解题的关键． 【题型7.由平行四边形的性质求解】 25．在中，，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补． 根据平行四边形的性质可知，再有，可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 两式相加可得， ∴． 故答案为：． 26．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 27．已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 ． 【答案】6 【分析】根据的周长是平行四边形周长的一半，可得，结合可得是线段的中垂线，推出，最后利用勾股定理即可求解． 本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定，勾股定理等，解题的关键是证明是线段的中垂线． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴、互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 解答题 28．如下图，为的对角线，的交点，，是上的一动点，是上的一动点（点，不与端点重合）．若，，，连接，． (1)求线段的长． (2)若的面积为，的面积为，的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着的增大，的值是如何发生变化的． 【答案】(1) (2)的值不变， 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，于是得到结论； （2）如图所示，连接，由四边形是平行四边形，得到，求得，于是得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ． ， ． （2）解：的值不变． 如图，连接． 四边形是平行四边形，， ． ， ， ． ，， ，， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题是平行四边形综合性题目，考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，解决本题的关键是灵活运用知识点. 【题型8.平行四边形性质的其他应用】 29．如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 【答案】A 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，对角相等，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，OA=OC，AD=BC，对角线互相平分，但不一定垂直， ∴ 所以A正确，B、C、D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．注意平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分定理的应用是解此题的关键． 30．平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 【答案】12或18/18或12 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 31．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【分析】根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案． 【详解】 过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E ∵在中，AO=OC， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识． 【题型9.判断能否构成平行四边形】 32．在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，据此结合题意逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； C、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； 故选：A． 33．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BC-BF=（8-3t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=8-3t， 解得：t=2； 当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BF-BC=（3t-8）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=3t-8， 解得：t=4； 综上可得：当t=2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 34．如图，四边形的对角线相交于点，且，添加下列条件仍不能证明四边形为平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法逐一判定即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、由，不能证明四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【题型10.添一条件成为平行四边形】 35．四边形中，，当 时，这个四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．直接利用平行四边形的判定方法得出时可得出这个四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：当，时，四边形是平行四边形， 当时，这个四边形是平行四边形． 故答案为：3 36．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，已知，故当时，四边形为平行四边形． 【详解】要使四边形为平行四边形，根据判定定理，需两组对边分别相等， 即且 已知，满足； ∵， ∴． 故选：C． 37．如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理，由于四边形是平行四边形，得到，然后利用平行四边形的判定定理分别分析求解，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ①时，四边形是平行四边形，故①正确； ②时，，则四边形是平行四边形，故②正确； ③时，， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ④时，则四边形是平行四边形或等腰梯形，故④错误， 故答案为：①②③． 【题型11.由平行四边形判定性质求解】 38．在中，，则 ． 【答案】/50度 【分析】根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，进而可求的度数． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．掌握平行四边形的相邻内角互为补角，相对内角相等是解答本题的关键． 39．如图，在中，对角线，交于点，，，分别作，则四边形的周长为（    ）    A．16 B．14 C．12 D．7 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质，先有平行四边形的性质得到，，再由得到四边形是平行四边形，即可得到，最后求周长即可 【详解】解：∵在中，对角线，交于点，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， 故选：B． 40．如图，在四边形中，，点E为上一点，连接．若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．先根据平行四边形的判定与性质证明四边形、四边形是平行四边形得到，，再利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形、四边形是平行四边形， ∴，， 如图，设与相交于O， ∵， ∴，， ，， ∴， ∴， 故答案为：25． 解答题 41．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 【题型12.平行四边形性质判定的应用】 42．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】(1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2∶两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4）定理3∶对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4∶一组对边平行且相等的四边形是． 【详解】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 43．在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 解答题 44．如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由． (2)若的面积是4，求四边形的面积． 【答案】(1)图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，理由见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． （1）由为的中点，可得，再由条件可得四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得的面积和的面积都等于的面积为4，从而可得四边形的面积为16． 【详解】（1）解：图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形， 理由是：∵E为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵D为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积是16． 【题型13.利用平行线间距离解决问题】 .45．如图，，与相交于点，若的面积等于8，则的面积等于 ． 【答案】8 【分析】题目主要考查平行线间的距离及三角形面积计算，理解平行线间的距离相等是解题关键． 过点D作的延长线于点F，过点C作，根据平行线间的距离相等得出，结合三角形等底，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点D作的延长线于点F，过点C作， ∵， ∴， ∵的面积等于8， ∴， ∴， ∴的面积等于8． 故答案为：8． 46．已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴间的距离处处相等， ∴为同底等高的三角形，为同底等高的三角形， ∴，， ∴， ∴； 故共有3对面积相等的三角形； 故选C． 47．如图，在中，，，，，将沿直线向右平移个单位得到，与相交于点G，，连接，，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，延长交于H，连接，由平移的性质可得，，则，根据三角形面积计算公式可得，根据可得，同理可得，则，进而可得，由平行线的性质可得点A到的距离等于点E到的距离，，则，即可得到． 【详解】解：如图所示，延长交于H，连接， 由平移的性质可得，， ∴； ∵在中，，，，， ∴， ∴； ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴点A到的距离等于点E到的距离，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为；72． 解答题 48．如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 【题型14.数图形中平行四边形的个数】 49．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 50．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 51．如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 解答题 52．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 【题型15.求三点构成平行四边形的点个数】 53．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是 个． 【答案】3/三 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 54．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 解答题 55．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12平行四边形题型突破讲义 基础 过关题 1.利用平行四边形的性质证明 2.等腰梯形的定义 3.等腰梯形的性质定理 4.证明四边形是平行四边形 5.由平行四边形性质和判定证明 6.求平行线间的距离 能力 提升题 7.由平行四边形的性质求解 8.平行四边形性质的其他应用 9.判断能否构成平行四边形 10.添一条件成为平行四边形 11.由平行四边形判定性质求解 12.平行四边形性质判定的应用 13.利用平行线间距离解决问题 拓展 拔高题 14.数图形中平行四边形的个数 15.求三点构成平行四边形的点的个数 一、基本定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 二、平行四边形的性质（边、角、对角线） 1. 边的性质 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2. 角的性质 两组对角分别相等 邻角互补（和为 180∘） 3. 对角线性质 对角线互相平分 4. 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线交点 一般不是轴对称图形 三、平行四边形的判定（4 个判定方法） 1. 定义判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2. 从 “边” 判定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3. 从 “角” 判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4. 从 “对角线” 判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形 四、易错点提醒 1.一组对边平行，另一组对边相等 ⇒ 不一定是平行四边形（可能是等腰梯形） 2.对角线相等 ⇒ 不能判定平行四边形 3.判定时要写清：四边形满足条件 ⇒ 是平行四边形 【题型1.利用平行四边形的性质证明】 1．在平行四边形中，，则（　　） A．20° B．40° C．140° D．160° 2．如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 3．如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 解答题 4．如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 【题型2.等腰梯形的定义】 5．图中梯形的面积为 ． 6．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 7．已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为 ． 解答题 8．如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【题型3.等腰梯形的性质定理】 9．在等腰梯形中，已知，，那么 ． 10．如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 11．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 解答题 12．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【题型4.证明四边形是平行四边形】 13．下面给出四边形中，、、、的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 14．在四边形中，，相交于点．若，，那么当 ，且 时，四边形为平行四边形． 15．已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 解答题 16．如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【题型5.由平行四边形性质和判定证明】 17．已知：如图，，，给出以下结论： ①；②； ③其中正确的是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 18．如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 19．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 解答题 20．如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 【题型6.求平行线间的距离】 21．能表示两条平行线间距离的线段有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 22．已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ． 23．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 解答题 24．如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 【题型7.由平行四边形的性质求解】 25．在中，，则的度数为 ． 26．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 27．已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 ． 解答题 28．如下图，为的对角线，的交点，，是上的一动点，是上的一动点（点，不与端点重合）．若，，，连接，． (1)求线段的长． (2)若的面积为，的面积为，的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着的增大，的值是如何发生变化的． 【题型8.平行四边形性质的其他应用】 29．如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 30．平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 31．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【题型9.判断能否构成平行四边形】 32．在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 33．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 34．如图，四边形的对角线相交于点，且，添加下列条件仍不能证明四边形为平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型10.添一条件成为平行四边形】 35．四边形中，，当 时，这个四边形是平行四边形． 36．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 37．如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是 ． 【题型11.由平行四边形判定性质求解】 38．在中，，则 ． 39．如图，在中，对角线，交于点，，，分别作，则四边形的周长为（    ）    A．16 B．14 C．12 D．7 40．如图，在四边形中，，点E为上一点，连接．若，则 ． 解答题 41．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【题型12.平行四边形性质判定的应用】 42．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 43．在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 解答题 44．如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由． (2)若的面积是4，求四边形的面积． 【题型13.利用平行线间距离解决问题】 .45．如图，，与相交于点，若的面积等于8，则的面积等于 ． 46．已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 47．如图，在中，，，，，将沿直线向右平移个单位得到，与相交于点G，，连接，，则 ． 解答题 48．如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【题型14.数图形中平行四边形的个数】 49．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 50．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 51．如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 解答题 52．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【题型15.求三点构成平行四边形的点个数】 53．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是 个． 54．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 解答题 55．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $