精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高三上学期2月期末数学试题

2025~2026学年高三核心模拟卷（中） 数学（二） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合M，然后根据集合并集的概念进行运算即可. 【详解】，，. 故选：B 2. 若复数，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由复数的除法计算，再由共轭复数的定义及复数的概念可得. 【详解】，的虚部是1. 故选：A. 3. 已知方程表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，分和两种情况讨论，结合椭圆的焦距即可得解. 【详解】若，，则，， ，； 若，，则，， ，.由得或， 故选：C. 4. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由向量的垂直可得，进而再由夹角公式可得. 【详解】由，得，又， 所以，，且, 所以， 故选：C. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，再结合分段函数的单调性的判断可得. 【详解】若时，在上单调递增；所以CD错误； 若，由选项中实数是非负实数，当时，函数为开口向下的二次函数的部分， 要使其单调递增，则对称轴，所以. 当时，易得函数单调递增， 考虑断点处的情况，则有成立，所以. 综上所述， 故选：B. 6. 已知圆与抛物线的交点为，，与的准线的交点为，.若，则（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由圆截准线的长可得，再将圆与抛物线方程联立可得相交弦长. 【详解】设圆心到的准线的距离为，则，解得， 所以，，，由与联立， 解得，，由圆与抛物线都关于x轴对称，所以. 故选：C. 7. 若，，是的内角，，的对边，，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 三边互不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先应用余弦定理得出，或，再代入求解得出结论. 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. 8. 设定义在上的函数满足，且存在，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由构造方程组求得，再将不等式转化为成立，进而用导数判断可得. 【详解】由——①，以替换x得——②， ①②两式联立，解得. 又因为，且由得代入后， ，，所以， 令，则， 当或时，；当时，. 所以在，上单调递增，在上单调递减，， 所以， 所以由得，或. 所以要使成立，即恒成立，如图： 所以的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，，分别是，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与所成的角为45° D. 直线与平面所成角为60° 【答案】ABC 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理得平面，根据线面垂直的性质可判断A；由线面平行的判定定理判断B；由异面直线所成角定义计算判断C；由线面垂直得平面，根据线面角定义计算判断D 【详解】对于A，因为正方体中，，分别是，的中点， ，，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为平面， ，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； 对于C，因为， 所以是与所成的角，C正确； 对于D，设与的交点为， 在正方体中，，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 连接，又， 所以即为直线与平面所成的角，，D错误， 故选：ABC. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若的图象关于点对称，则（ ） A. 的值可以为，是的一个周期 B. 的最小值为，是的一个周期 C. 的最小值为，的图象关于直线对称 D. 的值可以为，的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式从而得到的解析式，由得函数的最小正周期判断AB，再由可求出s的表达式，验证是否为即可判断是否为函数的对称轴. 【详解】，，的最小正周期为， 所以是的周期，不是的周期； 由得，，又，所以时，取得最小值，当时，， 由得的图象关于直线对称. 故选：BD 11. 已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目不等式，构造函数，证明函数单调性，判断参数的大小关系，根据每个选项的不等式，分别构造函数，根据函数导数，判断函数单调性，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】因为，所以，令，则， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以，故A正确； 取，则，故B错误； 由知，因为函数与在上都是单调递增函数， 所以当时，，，所以，， 所以，故C正确； 设，所以，令， 则，可知， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 所以的最小值为，所以，在上单调递增， 因为，所以，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】运用余弦的二倍角公式，结合的范围，解得，再代入，即可得解. 【详解】由得，即， 解得或（因，，故舍去）， 因此，又因为， 则， 所以. 故答案为：. 13. 在等比数列中，，，，则数列的前5项和等于_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出公比，写出数列的通项公式即可得数列的通项公式，再利用等比数列求和公式进行求和即可. 【详解】设的公比为，则，， 所以，， 所以. 故答案为： 14. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为_____________. 【答案】180 【解析】 【分析】先取2个奇数并捆绑，再分类讨论所取的偶数是否有0，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】先从1，3，5中任意取2个，并排列有种排法， 若取偶数含0时，在2，4，6中取1个有种取法， 将2个奇数看成一个整体，并与取出的这个非零偶数进行排列，有种排法， 再将0插入有2种方法，所以含0的满足条件的四位数有个； 若不含0时，先从2，4，6中任意取2个有种取法， 将2个奇数看成一个整体，并与取出的这2个偶数进行排列，有种排法， 所以满足条件的四位数有个； 综上所述：所以共有个数. 故答案为：180. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂购进6台车床，其中4台是合格品，2台是次品，需要修理后才能使用.由于车床外表没有区别，技术员要找出2台次品修理，只能逐台检查.若找出2台次品，或找出4台合格品，就结束查找. （1）求第1次查找到的是合格品的概率； （2）记为查找结束时的查找次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算古典概型的概率即可； （2）利用排列组合的知识计算分布列，再利用期望公式计算即可. 【小问1详解】 因为6台中有4台合格品，所以第1次查找的是合格品的概率； 【小问2详解】 的可能取值为2，3，4，5， 其中表示表示第二次检查时结束，可能的原因是：检查的两台均为次品，则； 表示表示第三次查找时结束，可能的原因是：最后一台检查为次品，前两次检查找到次品和合格品各一台， 则， 表示第四次检查时结束，可能的原因是：最后一件为次品且前三次中有一个次品，或者四件均为合格品， 则， 则， 所以的分布列为： 2 3 4 5 16. 已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，且原点到直线的距离为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据离心率、点P及列方程组求解即可； （2）设切点为，则可求得直线l的方程为，根据直线l与双曲线有两个交点，求得，设，，根据韦达定理可得，，即，由此得，最后在此条件下，通过几何性质放缩不等式即可求解，并验证成立即可． 【小问1详解】 设的焦距为，则，又，所以， 因为点在上，所以，所以，， 所以的方程为． 【小问2详解】 如图所示， 因为原点到直线的距离为，所以直线与圆相切， 设切点为，直线l的方程为， 易知直线OD的方程为，而直线l和直线OD互相垂直，且直线l过点D， 则，不妨设，可得，则直线l的方程为， 由与联立，消去整理得， 又，所以，对应， 同样可得，对应， 且由条件知，否则直线l和双曲线只有一个交点， ， 令，则，且，即， 所以，对称轴为，开口向上， 所以，也即，且仅当，时取到， 同理可证明，且仅当，时取到，所以不能同时为0， 即直线l满足时一定和双曲线存在两个交点， 设，，则，， 所以，所以，所以， 连接OD，由题意可知，，所以， 因为，当且仅当时，取等号，此时可知直线AB斜率为0或者不存在，满足， 所以，所以当时，取得最小值，其最小值为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，是的中点，是上一点，平面. （1）求三棱锥的体积； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由线面平行可得是中点，进而可得，从而可得三棱锥的体积； （2）直接用向量的方法计算面面角的余弦值，进而可得二面角的正弦值. 【小问1详解】 连接交于点，连接，如图： 因为平面，平面，平面平面，所以. 因为四边形是菱形，所以与互相垂直且平分，是中点，所以是中点， 又是中点，所以，三棱锥的体积是三棱锥的体积的. 因为平面，平面，所以，，. 又，四边形是菱形，所以， 又，所以由得，所以，都是边长为2的正三角形， 所以的面积为，三棱锥的体积为 所以三棱锥的体积为 【小问2详解】 取中点，连接，则由是边长为2的正三角形知，， 以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，如图： 所以，，， 设平面的一个法向量，则，即， 令，则，， 再设为平面的一个法向量，则，即， 令，则，即 设平面与平面所成二面角为， 则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，且，求满足等式成立的所有正整数与的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得； （3）求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式可求出，由已知等式化简得出，对的取值进行讨论，求出对应的的值，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以 . 【小问3详解】 因为， 又，所以， 所以， 由可得， 变形可得， 整理可得，等式两边同时乘以得， 即， 当时，则有，可得，这样的正整数不存在； 当时，则有，可得，这样的正整数不存在； 当时，则有，即，解得，符合题意； 当时，，而，等式不成立 综上所述，. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若在上存在最大值，求的取值范围以及的值域. 【答案】（1） （2） （3）； . 【解析】 【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义求出直线斜率，即可求出切线方程； （2）分三种情况研究函数的单调性即可； （3）结合（2）的单调性，分类求出，再根据的单调性求值域. 【小问1详解】 ， 当时，，， 则， 则曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，， 令得或， ①若，则， 当时，；当时，；， 则在上恒成立，故在上单调递减， 则在上无极值，不符合题意； ②若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在、上单调递减， 则是的极小值点，不符合题意； ③若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在、上单调递减， 则是的极大值点，符合题意； 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 在上存在最大值， 由（2）知，若，则在上单调递减，不存在最大值； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 若，即，则在上单调递增， 则最大值为， 因为在上单调递减，， 所以； 若，即，则在上单调递增，在上单调递减， 则最大值为， 因为在上单调递减， 当时，；当时，， 所以； 综上，的取值范围为，的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高三核心模拟卷（中） 数学（二） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 3. 已知方程表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与抛物线的交点为，，与的准线的交点为，.若，则（ ） A. B. C. 8 D. 7. 若，，是的内角，，的对边，，且，则是（ ） A 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 三边互不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 设定义在上函数满足，且存在，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，，分别是，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与所成的角为45° D. 直线与平面所成的角为60° 10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若的图象关于点对称，则（ ） A. 的值可以为，是的一个周期 B. 的最小值为，是的一个周期 C. 的最小值为，的图象关于直线对称 D. 的值可以为，的图象关于直线对称 11. 已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则_____________. 13. 在等比数列中，，，，则数列的前5项和等于_____________. 14. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂购进6台车床，其中4台是合格品，2台是次品，需要修理后才能使用.由于车床外表没有区别，技术员要找出2台次品修理，只能逐台检查.若找出2台次品，或找出4台合格品，就结束查找. （1）求第1次查找到的是合格品的概率； （2）记为查找结束时的查找次数，求的分布列和数学期望. 16. 已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求方程； （2）若直线与交于，两点，且原点到直线的距离为，求的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，是的中点，是上一点，平面. （1）求三棱锥的体积； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，且，求满足等式成立的所有正整数与的值. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若在上存在最大值，求的取值范围以及的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $