解三角形：周长问题、面积问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形：周长问题、面积问题专项训练 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 考点目录 三角形周长问题 三角形周长最值问题 三角形面积问题 三角形面积最值问题 考点一 三角形周长问题 例1.(25-26高一上北京东城期末)在ABC中，√5 asinC=2 csinAcosC. (1)求∠C; (2)若b=6,且ABC的面积为6√5，求ABC的周长. 【容案】0C-名 (2)6+6√5 【详解】(1)因为√5 asinC=2 esinAcosC,得V3 sinAsinC=2 sinCsinAcosC, 因为0<A<元，0<C<π，所以sinA>0,sinC>0, 所以5=2sC,所以cosC3,所以C=7 6 (2)由S4c=，absinC= 1 2 2ax6simπ=3 621 a=65,解得a=45 由余弦定理可得，c2=a+b2-2abc0sC=48+36-2x45x6x5-12, 所以c=2V5,所以ABC的周长为a+b+c=45+6+2√5=6+6√5. 例2.(25-26高二上云南曲靖月考)在ABC中，角4，B,C的对边分别为ab,c,已知2C=c0sC a sinA ()求tanC: (2)若a=V5,b=3,求ABC的周长 【答案】() (2)√2+√5+3 【详解】(1)在ABC中，因为2C=osC a sin A' 所以由正弦定理得2sinC-cosC sin A sin A 而A∈(0，π)，则sinA≠0，得到2sinC=cosC, 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 结合同角三角函数的基本关系可得tanC=sinC-sinC_1 cosC 2sinC 2 1 (2)因为anC=)>0,所以ce02, 2sin C=cos C 联立方程组 sinC+cos'c=1'解得sinc=5 cosC=2c负很舍去. 5 由题意得a=5,6=3,由余弦定理得2y5_5+9-c2 52×V5×3 解得c=√2（负根舍去）， 则ABC的周长为√2+√5+3 例3.(25-26高二上·贵州贵阳·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinB=bsin2A. (1)求角A的大小： (2)若a=3,ABC的面积为25，求ABC的周长 【答案】⑩号 (2)3+√33 【详解】(1)解：因为a sin B=bsin2A,由正弦定理得sin Asin B=sin Bsin2A, 又因为Be(0,π)，可得sinB>0,所以sinA=sin2A,即sinA=2 sin Acos A, 因为A∈0.可得血4>0，所以c0sA=方所以4 1 3 (2)解：由(1)知sin4=5, 2 因为ABC的面积为25，可得besin A=2W5,解得bc=8, 又由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 将a=3,A=元及bc=8代入得9=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以b+c=√B3, 3 则ABC的周长为1=a+b+c=3+√33. 变式1.25-26高三上：黑龙江期中)4BC的内角4，B.C的对边分别为abc,已知a2+c2-62:-4,inB=2 (I)求ABC的面积： ②若aomc-号求4C的N长 【答案】(1)2√2； (2)4+26 【详解】(1)由余弦定理得a2+c2-b2=2 accosB=-4<0,所以cosB<0, 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 因为sinB= 22 所以c0sB= ac=6, 3 3 3 所以S.c-7 acsinB=25; (2因4：8c,则om8=m4+q=有即co4+c 3， 1 cos(A+C)=cos AcosC-sin AsinC= 3 因为cosAcosC-3,所以sinC 3, b2 a c ac 6 由正弦定理 sinB sin="sinc sin'B sind'sinc=sindsinc18 -c a 3 由(1)知sinB=22 则b=4,a2+c2=b2-4=12, 3 因为(a+c)2=a2+c2+2ac=24,所以a+c=2√6， 故ABC的周长为a+c+b=4+2V6 变式2.(25-26高三上·福建漳州·月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2-bc, b=8 )若cosC 3,求a (2)若ABC的周长为4c,求a 【答案】（①a=486-72 5 (2)a=7 【详解】(1)因为a2=B+c2-bc,所以cos4=6+c-a-c-1, 2bc 2bc 2 又4，Ce0,,cosC={ 所以sinA=1 122 =3 所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC √51122V5+2W2 2x32x3 6 所以a= bsinA 8+3 24V5 2452W2-√ ）48V6-72 sin B3+2W2"2W2+5(22+5(22-V5 5 6 (2)由题意b=8,a+b+c=4c,即c=a+8 3 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 又a2=b2+c2-bc,所以a2=64+ a+8)2 8(a+8, 3 3 整理得a2+a-56=0,解得a=7或a=-8(舍去)， 所以a=7. 变式3.(25-26高二上辽宁月考)在ABC中，2A=B+C,AC=8 0若mC=7求BC: (②)若ABC的周长为4AB,求BC. 【客案1w号 (2)7 (2A=B+C 【详解】(1)由 A+B+C=元'可得A= 3 显然sinC>0,故sinC=V-eos'c-4y5 于是sinB=sin(A+C)=sin4cosC+sinCcos4=5x是+4Ex1-55】 27 7214 而由正弦定理可知AC=BC 8+⑤ sin B sin'故BC= 2=56 5V35 14 (2)由题可知AB+AC+BC=4AB,即BC+8=3AB, 故不妨设AB=1,则BC=31-8, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA, 即(31-8)=t2+64-8t,化简得2-5t=0, 故t=0(舍)或t=5,于是BC=7. 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 考点二 三角形周长最值问题 例1.(25-26高一上·浙江金华期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,sinB=bsinA. (1)求a的值； ②)若cosB-bcos4_b-l,求4BC周长的最大值； acosB+bcosA c (3)若b2=c+1,求证：B=2A 【答案】(1)a=1; 21*2 3: (3)证明见解析 【详解】(1)因为sinB=bsinA,由正弦定理得 06浪所以5=a,所以0= n4cosB-sino4-sB=1,所以nA+Bsml4+9 sin(A-B) sinB (2)因为 =1, sinAcosB+sinBcosA sinC sinA-B)-sinA+B)=sinB,展开化简得：-2 cosAsinB=sinB, 因为A,B∈(0，，所以cosM=-2, 1 所以A=2」 3 因为1=b2+c2-2 bccos 所6+a-1bc,所以6+os1-(三9 所以b+c 2 ,当且仅当6=c=5时，取等号， 3 所以A8C周长的最大值为1+25， 3 (3)因为a=1,b2=c+1,所以b2=ac+a2,又因为b2=a2+c2-2 accosB, 所以a2+c2-2 accosB=ac+a2,所以c=2 acosB+a, 所以sinC=2 sinAcosB+sinA, 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B=2 sinAcosB+sinA, 化简得sinB-A)=sinA, 因为A,B∈(0，π，所以B-A∈-元，π， 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 所以B-A=A或B-A+A=元， 所以B=2A或B=π（舍去）， 故B=2A 例2.(25-26高二上·湖南期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2 sin AcosC=2sinB-sinC. (1)求角A的大小； (2)若a=V5,求ABC周长的最大值. 【答案】（①A= 3 (2)3√5 【详解】(1)在ABC中，A+B+C=元，故sinB=sinA+C), 将其代入等式得2 sin AcosC=2sinA+C)-sinC,即2 sin A cosC=2 sin AcosC+2 cos Asin C-sinC, 整理得sinC2cosA-1=0, 由C∈(0，列，得sinC≠0，解得cosA=, 又A∈(0，，故A= (2)由余弦定理d=+c2-2bce0sA代入4=号a=5可得3=分+c2-bc,则c=h+q-3, 3 由基本不等式bc≤ 可路3 3 则(b+c2≤12，由b>0,c>0可得b+c≤2V3,当且仅当b=c时等号成立， 所以a+b+c≤2V5+5=35, 则ABC周长的最大值为3√5 例3.(24-25高一下新疆乌鲁木齐·月考)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 AB.AC+BA.BC=2c2 cos B,b=3. (I)求∠ABC; (2)若ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围. 【答案】0肾 (233+3,9] 6 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 【详解】(1)因为AB.AC+BA.BC=2c2cosB,所以bc cos A+accos B=2c2cosB, 所以bcos A+a cos B=2 ccosB,由正弦定理得：sin B cosA+sin Acos B=2 sin CcosB, 所以sin(A+B)=2 sin CcosB,又因为A+B=元-C,所以sinC=2 sin C cos B, 1 又因为Ce(0,π)，所以sinC>0,所以cosB=。 2' 又因为Be(Q,利，所以B-行即∠ABC- 3 2由正弦定理得m有nCs加B=2,所以a=23sn4c=25snC, 所以a+c=25sinA+2V3sinC=2V3(sinA+sinC), in 4+sin C sin A+sin(-B)=sin 4+sin=v3 sin(+ a+c=23(sin 4+sin C)=6sin(4+), 6 0<A< 因为ABC为锐角三角形，即 2 0<C=2 3A、π 所以<A<,<A+亚<2π 6 <2’31 63, 即 <sin(A+s1,35<a+c≤6， 6 则3V5+3<a+b+c≤9，所以ABC的周长的取值范围为3V5+3,9 变式1.(24-25高一下·福建厦门月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为ABC的面积，且 S=a2-(b-c)2. (1)求cosA; (2)若ABC为锐角三角形 ()当b=17,求ABC周长的取值范围； （D求+c的取值范围 be 【学】0号 a(0 (i) 514 【详解】(1)因为S=a2-(b-c2,S=besin4,由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 besinA-bcco+he 化简得：sinA=41-cosA),sin2A+cos2A=1, 代入整理得：(17c0sA-15)(cosA-1=0, 解得60s41含去)或号 A 2 tan 1-tan2415解得tan tan A=- 2 8 4’ 2 ()由正弦定理” n=;。enB得，a=2=ǒ C 17sin C sinBsinBc sinB 又sinC=sin(A+B),周长L=a+b+c=8+17+17sin4+B) sin B sin B 即L=8+cosB+32, 1+cosB 1+2cos:B 11 8 sin B sin B 2sin B cos B 2 tan B:l=_ 2 tan B+32, 2 <B2号 因为 0<C=元-A-B< 所以A<B<晋日， 2'42241 2 πA (42/下an tan B+32<136 3, tan tan 2 2 故周长Le40,3: 、136 iD+c_b+,令1=>0)，则表达式为1+ bc c b sin B 1 1 17 t= 由正弦定理得：sin(A+B)sinA tan B +cos 4 17tan B 17 15+8, tan B 由锐角三角形条件，tan Be5,+o 令u=ianB,则u>15,8c .289 8’415/,15+°e15, 15 1717×1517)1517 15+8289i517'15, ∈ u 函数f)=1+在(0,1上单调递减，在山，+∞)上单调递增， P 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 )得)9格瑞-2 故 变式2.(2526高三上·广东广州期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且m=(c0sB,cosC)） ,i=-2a+c,b）,mi=0. (1)求角B的大小； (②)若三角形为锐角三角形，且b=√5，求ABC周长的取值范围 【答案】()B= 2)3+5,35 【详解】(1)m·n=cosB(-2a+c+bcosC=0,则由正弦定理得cosB(-2sinA+sinC)+sinBcosC=0, .-2cosBsinA cosBsin C sin BcosC =0-2cosBsin4+sin(B+C)=0, .sin(B+C)=sinA,:2cosBsinA sinA, 又4e(0,,sm4>0,cos8=:8e0,,B= 1 3 (2)在锐角三角形ABC中，B=工， 因为根据正弦定理sinA sin B sinC√3 =2,所以a=2sinA,c=2sinC, 2 又因为B-骨所以C-号-4， 所以三角形周长为a+b+c=V3+2sinA+2sinC =5+2im4+2sn后a-A小-5+2sn4+5cos4+m4=25n4:}5, 因为4引c引即4引-4引所以4后引 4传刘m+89: 所以a+b+ce3+V5,3V3] 变式3.(2025·内蒙古赤峰一模)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,acos C+一c=b (1)求角A的大小： (2)若a=2,求ABC周长I的取值范围 0 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 【答案】04：胃 (2)4,6 1 【详解】(1)（方法1）由正弦定理，得sin AcosC+二sinC=sinB, 1 ..sin AcosC+sin C=sin(A+C), 1 sin AcosC+sinC=sin AcosC+cos Asin C. 1 sinC-eos 4sin C, 1 Ce(0,π)，sinC>0,.cosA= 2 Ae(0,,A= 3, (方法2)由余弦定理得cosC=a2+b-C2 2ab 代入已知acosC+c=b得：aa+-c+ 2 2ab 0=6, b2+c2-a2=be,..cosA b2+c2-a21 2bc 2 :4e0:4=骨 (2)方法1 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,得b+c2-bc=4. 4 :.(b+c2≤16，b+c≤4（当且仅当b=c时等号成立）， 由于b+c>a,.2<b+c≤4， △ABC周长1的范围为4,6： (方法2转化为三角函数最值) a b c 2 43 由正弦定理sin A sinB sinC√33， 2 sina,c-43 得b=43 sinC, b+c=45 3sinc= 3sin B+43 3 sinB+43 -sin(4+B), 3 10解三角形：周长问题、面积问题专项训练 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 考点目录 三角形周长问题 三角形周长最值问题 三角形面积问题 三角形面积最值问题 考点一 三角形周长问题 例1.(25-26高一上北京东城期末)在ABC中，√5 asinC=2 csinAcosC. (1)求∠C; (2)若b=6,且ABC的面积为6√5，求ABC的周长. 例2.(25-26高二上云南曲靖月考)在ABC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知2C=cosC a sin A (I)求tanC; (2)若a=√5，b=3,求ABC的周长 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 例3.(25-26高二上贵州贵阳月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知asinB=bsin2A. (1)求角A的大小： (2)若a=3,ABC的面积为2√3，求ABC的周长 变式1.（25-26高三上：黑龙江：期中)4BC的内角4,8，C的对边分别为a,bc,已知a2+c2-6=-4,snB=25 3 (I)求ABC的面积； ②若os4casC-子，求4BC的周长 2 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 变式2.(25-26高三上福建漳州月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2-bc, b=8 0若mC-求a (2)若ABC的周长为4c,求a 变式3.(25-26高二上辽宁月考)在ABC中，2A=B+C,AC=8. @考oesC-求BC, (2)若ABC的周长为4AB,求BC 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 考点二 三角形周长最值问题 例1.(25-26高一上.浙江金华期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,sinB=bsinA. (1)求a的值； ②)若cosB-bcos4_b-l,求4BC周长的最大值， acosB+bcosA c (3)若b2=c+1,求证：B=2A 例2.(25-26高二上·湖南期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2 sin AcosC=2sinB-sinC. (1)求角A的大小： (2)若a=V3,求ABC周长的最大值. 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 例3.(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 AB.AC+BA.BC=2c2 cos B,b=3. (I)求∠ABC; (2)若ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围. 变式1.(24-25高一下·福建厦门月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为ABC的面积，且 S=a2-(b-c)2 (I)求cosA; (2)若ABC为锐角三角形 (1)当b=17,求ABC周长的取值范围： (i)求+c的取值范围 bc 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 变式2.(2526高三上广东广州期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且m=(cosB,c0sC) ,i=-2a+c,b,m,n=0. (I)求角B的大小： (2)若三角形为锐角三角形，且b=√5，求ABC周长的取值范围 =6. 变式3.(2025内蒙古赤峰.一模)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,acosC+c (1)求角A的大小： (2)若a=2,求ABC周长I的取值范围. 6 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 考点三 三角形面积问题 例1.(2026新疆一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosB-bcosA=b+c,D为BC的中点. (1)求角A; (2)若a=2V7,AD=V3,求ABC的面积. 例2.(25-26高三上·天津河东·期末)己知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，asiB=4, CosA=3 25 (1)求b的值： ②求e行24的台， (3)若三角形ABC的面积为14，求sinC. 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 例3.(25-26高一上浙江湖州期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为4，b,c,已知b=5,B= 4 若A=子，求边c的值： (2)若3 acosB+3 bcosA=2√2a. (i)求C的值： (ⅱ)求ABC的面积， 变式1.(25-26高一上·云南昆明·期末)ABC中，sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC (1)求A; (2)若BC=1且AB+AC=2,求ABC的面积. 6 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 变式2.(25-26高三上浙江嘉兴·期末)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4ac0sC=5a-3c. (1)若sinA=三，求sin2C; 4 2若cosC-gb=,求BC的面积 变式3.(2026四川巴中一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=3,c=√2· (I)若∠ABC=T ，求sinA的值； ②若∠ABC=号，D为线段4C上-点，且氵@=5， SC即3，求D的值 0 解三角形：周长问题、面积问题专项训练 考点四 三角形面积最值问题 例1.(24-25高三上山东泰安·期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A为锐角，△ABC的面 积为，且(b2+c2）tanA=4S+a2 2sin2A (1)求A; (2)若a=1,求S的最大值 例2.(24-25高二下·云南曲靖月考)在①asin C=√5 ccos A;②(a+b+c(sinB+sinC-sinA)=3 bsin C;③ acosC+√5 asinC=b+c这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答 在ABC中，内角A、B、C的对边分别是Q、b、C,且满足_（填条件序号）， (1)求角A; (②)a=2,求SBc的最大值， 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分 ⊙