二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 考点目录 等腰三角形存在性问题 直角三角形存在性问题 等腰直角三角形存在性问题 等边三角形存在性问题 知识点解析 1.预备知识 距离、中点与斜率的表示：已知点 （1） （2）中点坐标 （3）所在直线的斜率；若直线，则；若直线，则. 2.等腰三角形存在性问题： （1）代数法：若为等腰三角形 ①先表示出，，. ②分别先表示、、的长度. ③分类讨论，令，，. （2）几何法：通过圆规纸规作图，分别以已知两点做圆与垂直平分线. （3）几何性质法:等腰三角形底边上的中线、角平分线和高为同一直线.（三线合一） ①先表示出，，. ②分别先表示，，的中点为,,. ③分别表示、、、、、. ③分类讨论，令,,. 3.直角三角形存在性问题： （1）代数法：若为直角三角形 ①先表示出，，. ②分别先表示、、的长度. ③分类讨论，令，，. （2）几何法：构造三垂直模型，通过相似得到方程. （3）斜率法：若为直角三角形 ①先表示出，，. ②分别先表示、、的长度. ③分类讨论，令，，. 4. 等腰直角三角形存在性问题 方法一：先讨论直角三角形存在性问题，再检验等腰三角形问题. 方法二：利用等腰直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半进行求解. 5. 等边三角形的判定 （1）三条边相等的三角形. （2）有一个内角为的等腰三角形. （3）三条角相等的三角形. 6. 若已确定有一个内角为，则优先考虑用“有一个内角为的等腰三角形”进行求解.否则直接利用三边相等进行求解. 真题速递 1．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 2．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 考点一 等腰三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知点在抛物线上． (1)求m的值； (2)在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，计算出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 变式1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 变式2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D是抛物线的顶点，连接，． (1)求抛物线的解析式与直线的解析式； (2)若点P是直线上的一个动点，是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 变式3．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 直角三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由． 变式1．（2025·河北·模拟预测）如图，已知抛物线经过点B（4，0）和点C（0，－2），与x轴的另一个交点为点A，其对称轴与x轴交于点E，过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D，连接AD． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断△ABD的形状，并说明理由； (3)P为线段AD上一点，连接PE，若△APE是直角三角形，求点P的坐标； (4)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D． (1)求顶点D的坐标； (2)点E是斜边上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E、F的坐标； (3)在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由． 变式3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接．      (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； (3)是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三 等腰直角三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ； (3)若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标． (4)点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 变式1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 变式2．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点四 等边三角形存在性问题 例1．（24-25九年级上·江苏连云港·月考）如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 例2．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知平面直角坐标系（如图所示），抛物线的顶点为，与轴交于点，直线． (1)求证：抛物线的顶点在直线上． (2)如果抛物线与直线除点外，同时还经过另一点，已知点，连接、交于点，连接． ①试说明：； ②当为等边三角形时，求的值及的正弦值． 变式1．（25-26九年级·浙江宁波·月考）已知关于的二次函数． (1)证明：函数图像与轴有两个交点； (2)如果函数图像与轴交于点A，与轴分别交于、，且是直角三角形，求的值； (3)函数图像与轴交于A、两点，顶点为点，为等边三角形，求的值． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·月考）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 考点目录 等腰三角形存在性问题 直角三角形存在性问题 等腰直角三角形存在性问题 等边三角形存在性问题 知识点解析 1.预备知识 A(x,y),B(x2,y2 距离、中点与斜率的表示：已知点 （DA--x+-月 +龙，+2) (2)AB中点坐标 2 2 kB=出-上 (3)AB所在直线的斜率 -为：若直线1，则=：若直线1人，则kk=-1 2.等腰三角形存在性问题： ABC (1)代数法：若 为等腰三角形 A(x,y)B(x2,y2)A(x3,3) ①先表示出 ②分别先表示B AC BC 的长度 ③分类讨论，令AB=AC,AB=BC,AC=BC (2)几何法：通过圆规纸规作图，分别以已知两点做圆与垂直平分线 (3)几何性质法：等腰三角形底边上的中线、角平分线和高为同一直线。（三线合一） A(x,y)B(x2,y2)A(x3,y3) ①先表示出 AB AC BC M N P ②分别先表示， 的中点为，，· 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 ③分别表示kB、kC、kc、kP、kN、kcM. ③分类讨论，令AP⊥BC,BN⊥AC,CM⊥AB 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 3.直角三角形存在性问题： （I)代激法：若1BC 为直角三角形 A(x,y)B(x2,y2)A(x3,3) ①先表示出 AB AC BC ②分别先表示 的长度. ③分类讨论，令AB=AC,AB=BC,AC=BC, (2)几何法：构造三垂直模型，通过相似得到方程。 ABC (3)斜率法：若 为直角三角形 A(x,y)B(x2,2)A(3,y3) ①先表示出 KAB kac kac ②分别先表示 、 的长度 B·k4c=-1kAB·kBc=-1kBC·kAc=-1 ③分类讨论，令 4.等腰直角三角形存在性问题 方法一：先讨论直角三角形存在性问题，再检验等腰三角形问题. 方法二：利用等腰直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半进行求解. 5.等边三角形的判定 (1)三条边相等的三角形. (2)有一个内角为60°的等腰三角形 (3)三条角相等的三角形. 6.若已确定有一个内角为60°，则优先考虑用“有一个内角为60°的等腰三角形”进行求解否则直接利用三边相等 进行求解. 3 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 真题速递 1 1.（2025江苏无锡中考真题)已知二次函数'"= 2 mm≠0) 3 图象的顶点为A,与y轴交于点B,对 称轴与x轴交于点C. (①)若该函数图象经过点0，V5, 求点A的横坐标： 2若m<3,点P2和4，乃)在该函数图象上，证明：片>片： (3)若△ABC是等腰三角形，求m的值. 【答案】()点A的横坐标为3 (2)证明见解析 (3) 2v5 3或m=-25 【详钢】解：”次两数少号+m 3 mm≠0) 图象过点0，V3 3 .3 m=5 解得：m=3, 二次函数为y= -x2+3x+5. 2 3 X4= =3 1 2×-2》 点A的横坐标为3， 2解“点2和14在商数”=宁+ 3mm≠0) 图象上， :为-2+2m+ 3m,h=-8+4m+ 3 m<3, 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 y-y2=-2+2m+ 3 1m- -8+4m+ V3 -m 3 3 =-2(m-3)>0 当>5 1 (3)解：在函数=2 x2+mx+ ml(m≠0中， 3 当x=0时， 3 m 三—七之x← 2 3 m “，二次函数图象的顶点为A,对称轴与x轴交于点C 4m, 2+3m,c(m,0, cs,k信5j 解得： m=0（舍去)，m=25 3 m= 42V5 解得：m=0(舍去)， 3, 9以f 当m=-2 则4和c重合，舍去， 6 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 当4C=BC时，则m+ 解得： m=0（舍去)，m=2 3’m=-2V5’ 25 综上： m= 3或m=-2V3」 2.(2025青海中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线"=a+x-3引a≠0)与x轴交于A,B两点，点B的坐 标为，0，点C2,5) 在抛物线上· D B (1)求抛物线的解析式： (2)①求点A的坐标： ②当<0时，根据图象直接写出x的取值范围 (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写 出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（①=x2+2x-3 204-3,0,②3<x<1 3)存在，P(0,7),B0,-3) 【详解】4)解：将110、C(25)代入y=ar+r-3a≠0)得， a+b-3=0 4a+2b-3=5, 个 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 a=1 解得b=2, 六抛物线的解析式为y=+2x-3. 2)解：①令=0 2+2x-3=0 ,则 解得x=-3或x=1, 点4的坐标为-30， ②根据图象可知，当'<0时，x的取值范围为3<x<1, 故答案为：-3<x<1: (3)解：设点P的坐标为0,0， A-3,0)C(2,5) .4C=(2+3+(5-0=50,4P2=(0+32+(a-02=9+a2,Cp2=(0-22+a-5)2=a2-10a+29 ,△ACP是以AC为直角边的直角三角形， .分以下两种情况讨论： 当AP为斜边时，则AP2=AC2+CP2, :9+a=50+a2-10a+29 解得a=7, :B07) 为斜边时，则CP2=AC2+AP 当 ,a2-10a+29=50+9+a2 解得a=-3, :B(0,-3 综上所述，存在符合条件的P点， (0,7)D(0,-3) 8 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 3.(2025·黑龙江绥化中考真题)综合与探究 如图，抛物线”=r+r-5交轴于4、B两点，交》轴于点C.直线"=-5经过B、C两点，若点41,0 B-5,0 .点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）· 34 34 3 2 2 B D A B D. B D 64-8-2-1023 -64-3-2-1923x -64-3-2-19123x -2 -6 -6升 8A 8 -9 -9H -10 -10 -10 备用图 备用图 (1)求抛物线的函数解析式. (2)过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当PE=3ED时，求P点坐标. (3)若点F是直线BC上的一个动点.请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P,使△AFP是以PF为斜边的等腰 直角三角形.若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】（①）y=x+4x-5 ②(-3-8).B3,16 ③)存在，P点坐标为--8或-2，-9，或2，列 【详解】1D解，抛物线y=ar+b-5交轴于410，B-5,0两点， a+b-5=0 .25a-5b-5=0, a=1 解得b=4, y=r2+4x-5 9 二次函数综合：特殊三角形存在性问题复习讲义 (2)解：y=r+4x- 中，当=0时，y=-5 :C0,-5) BC y=kx-5 .设直线的解析式为 ·B(-5,0) ∴.-5k-5=0, ∴k=-1, 、y=-x-5 设Px+4x-5列 则E(x-r-5到 当x<-5时， PE=x2+4x-5-(-x-5)=x2+5x.DE=-x-5, PE =3ED, r+5x=3-x-5) 解得x=-3(舍去)，或x=-5(舍去)， 点P不存在： 当-5<x<0时， PE=-x-5-x2+4x-5=-x2-5x,DE=x+5 r2-5r=3x+5到 解得解得x=-3,或x=-5(舍去)， :r+4x-5=-8 :-3,-8 当0<x<I时，PE<CE,点P不存在： 当x>1时，PE=r+4-5--x-列=+5x,DE=x+5, 10