相似的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练-2026年中考数学一轮复习

相似的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练 相似的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练 考点目录 相似的判定与性质综合 相似的实际应用 考点一 相似的判定与性质综合 例1．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，与交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 例2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，的角平分线、交于点，过点的直线分别与交于点，且，连接．求证： (1)； (2)． 例3．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接， (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 例4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，垂足为点D，垂足为点E，与相交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 变式1．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，在矩形中，点是边上任意一点，连接，． (1)若，，，点是的中点，连接，求的长； (2)若，，，求的长． 变式2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图所示，和中，，，且平分． (1)求证：； (2)点是边的中点，连接和，和交于点，若，，求的长． 变式3．（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 变式4．（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 考点二 相似的实际应用 例1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ (2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？ 例2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图2和图3中的折线）．周末，南南和同学一起来到曹魏古城南城门，利用“矩”测量南城门内门的高度．如图，他们不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与内门顶部点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，南南的眼睛到地面的距离，测得． (1)求南城门内门的高度． (2)据官方规划及竣工资料中记载，南城门内门高．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 例3．（25-26九年级上·宁夏银川·月考）如图，公路旁有两个高度相等的路灯，．小东上午去学校时发现路灯在阳光下的影子恰好落到里程碑处，他的影子恰好落在路灯的底部处．晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯下的影子恰好落在里程碑处．． (1)在图中画出小东的位置（用线段表示），并画出光线，标明阳光、灯光； (2)若小东上午去学校时高的木棒在阳光下的影长为，他的身高为，他距里程碑点E为，求路灯的高． 例4．（25-26九年级上·福建三明·期末）阅读材料，解决问题． 通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动． 如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿． (1)在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示． (2)在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”） (3)已知竹竿的长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式． 变式1．（25-26九年级上·江西九江·期末）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． (1)若，求． (2)设长为高为，求与的函数关系式． 变式2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置． (1)在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为 ；(填“变长”或“变短”) (2)当小亮离开灯杆的距离时，身高为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？ 变式3．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）项目式学习． 背景 小军和小华在假期利用所学知识测量了某建筑的高度（如图）． 素材 首先，小军竖直站立在地面上的点C处，同一时刻，该建筑在太阳光下的影子顶端和小军在太阳光下的影子顶端分别落在地面上的点E、F处；随后，小华在点G处竖立一个高为1米的测角仪，测得该建筑顶端A的仰角，已知小军的身高米，米，米，米 说明 点B、E、C、F、G在同一直线上，点A、M、B在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内． 问题 求该建筑的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 变式4．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末） 探究活动主题 物体在不同光源下的影子 情境一：阳光下的测量 如图1，广场上的景观灯与地面垂直．某日上午，身高的小陈刚好站在景观灯影子的顶端点A处，并做了标记．测量发现景观灯底座中心O，影子顶端A，小陈影子顶端M三点共线．此时小陈的影子长，且点A到景观灯底座中心O的距离． 情境二：灯光下的变化 如图2，到了晚上，小陈从做了标记的A点沿着A→O方向走了到达B点． 问题解决 （1）请根据情境一中的数据求出景观灯的高度； （2）请在图2中画出小陈站在A点和B点时，在景观灯（点P为光源）照射下形成的影子； （3）判断小陈在B点时影子的长度比在A点时影子的长度变长了还是变短了，并求出变化了多少米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练 相似的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练 考点目录 相似的判定与性质综合 相似的实际应用 考点一 相似的判定与性质综合 例1．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，与交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，即； （2）证明：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 例2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，的角平分线、交于点，过点的直线分别与交于点，且，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：如图，过点，，，垂足分别为，． 是的两条角平分线， ， ， 是的平分线， ， ， ． （2）证明：是的两条角平分线， ，． 在中，． 在中，， ． 是的外角， ． ． 是的外角， ． ． ． 在中，． ， ． ． ． ． ． 又， ． ， ． 例3．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接， (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）证明：矩形中，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 由条件可知， ∴， 解得， 在中，； （3）证明：如图，延长和交点H， ，，， ， ， ， ， 由（1）， ， 是矩形的边的中点， ， ， ． 例4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，垂足为点D，垂足为点E，与相交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明： 于点D，于点， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 变式1．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，在矩形中，点是边上任意一点，连接，． (1)若，，，点是的中点，连接，求的长； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∵点是的中点， ∴； （2）解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 化简，得， 解得，，， ∴或． 变式2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图所示，和中，，，且平分． (1)求证：； (2)点是边的中点，连接和，和交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， 即； （2）解：点是边的中点，，， ， ， ， ， ， ． 变式3．（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【详解】（1）证明：∵为外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 变式4．（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为，的长为． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 考点二 相似的实际应用 例1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ (2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？ 【答案】(1)敏敏的影长为公分； (2)高圆柱的高度为公分． 【详解】（1）解：设敏敏的影长为公分， 由题意得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 答：敏敏的影长为公分； （2）解：如图，连接，作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴公分， 设公分，由题意落在地面上的影长为公分， ∴， ∴， ∴（公分）， 答：高圆柱的高度为公分． 例2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图2和图3中的折线）．周末，南南和同学一起来到曹魏古城南城门，利用“矩”测量南城门内门的高度．如图，他们不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与内门顶部点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，南南的眼睛到地面的距离，测得． (1)求南城门内门的高度． (2)据官方规划及竣工资料中记载，南城门内门高．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】(1)南城门内门的高度为 (2)见解析 【详解】（1）解：根据题意可得，． 又， ． ，，， ． ． 答：南城门内门的高度为 （2）解：误差为． 建议：多次测量取平均值，可以减小误差；使用更高精度的测量仪器；测量前校正测量仪器等（答案不唯一，合理即可） 例3．（25-26九年级上·宁夏银川·月考）如图，公路旁有两个高度相等的路灯，．小东上午去学校时发现路灯在阳光下的影子恰好落到里程碑处，他的影子恰好落在路灯的底部处．晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯下的影子恰好落在里程碑处．． (1)在图中画出小东的位置（用线段表示），并画出光线，标明阳光、灯光； (2)若小东上午去学校时高的木棒在阳光下的影长为，他的身高为，他距里程碑点E为，求路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高为 【详解】（1）解：小东的位置（用线段表示），画出光线，标明阳光、灯光如图所示： 作阳光线，过点作的平行线交于点，过点作于点，则线段即为所求； （2）解：由题意可知，， ， ， ∴， ， ， ， 答：路灯的高为． 例4．（25-26九年级上·福建三明·期末）阅读材料，解决问题． 通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动． 如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿． (1)在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示． (2)在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”） (3)已知竹竿的长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)不变，变小 (3) 【详解】（1）解：如图，点为光源的位置，为的影子； （2）解：在光源的照射范围内，移动竹竿， 向左平移时，光源和竹竿高度都没有发生变化，所以其影长不变； 向下平移时，光源高度没变，竹竿高度变低，竹竿到光源的距离变大，离光源越远，影长越短，所以其影长变小； 故答案为：不变，变小； （3）解：过作直线，交直线于点， 依题意，． ∵ ，且， ， ， ， ． 变式1．（25-26九年级上·江西九江·期末）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． (1)若，求． (2)设长为高为，求与的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：为． （2）解： 四边形为矩形， ， 由（1）得， ， ． 变式2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置． (1)在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为 ；(填“变长”或“变短”) (2)当小亮离开灯杆的距离时，身高为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？ 【答案】(1)变短 (2)小亮的影长是米 【详解】（1）解：在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为变短， 故答案为：变短； （2）解：设米，则当米时，米， ， 即， ； 当米时，设小亮的影长是米， ， ， ． 即小亮的影长是米． 变式3．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）项目式学习． 背景 小军和小华在假期利用所学知识测量了某建筑的高度（如图）． 素材 首先，小军竖直站立在地面上的点C处，同一时刻，该建筑在太阳光下的影子顶端和小军在太阳光下的影子顶端分别落在地面上的点E、F处；随后，小华在点G处竖立一个高为1米的测角仪，测得该建筑顶端A的仰角，已知小军的身高米，米，米，米 说明 点B、E、C、F、G在同一直线上，点A、M、B在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内． 问题 求该建筑的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】该建筑的高度约为米 【详解】解：， ， ∴四边形为矩形， 米，， ，， ， ，即， ∴， ∴， 由题意知：， 在中，， ， 解得：， 答：该建筑的高度约为米． 变式4．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末） 探究活动主题 物体在不同光源下的影子 情境一：阳光下的测量 如图1，广场上的景观灯与地面垂直．某日上午，身高的小陈刚好站在景观灯影子的顶端点A处，并做了标记．测量发现景观灯底座中心O，影子顶端A，小陈影子顶端M三点共线．此时小陈的影子长，且点A到景观灯底座中心O的距离． 情境二：灯光下的变化 如图2，到了晚上，小陈从做了标记的A点沿着A→O方向走了到达B点． 问题解决 （1）请根据情境一中的数据求出景观灯的高度； （2）请在图2中画出小陈站在A点和B点时，在景观灯（点P为光源）照射下形成的影子； （3）判断小陈在B点时影子的长度比在A点时影子的长度变长了还是变短了，并求出变化了多少米． 【答案】（1）景观灯的高为17米；（2）见解析；（3）小陈影子的长度变短了，变短了1米 【详解】解：（1）根据题意得，， ， ， ， ， 答：景观灯的高为17米； （2）如图所示，线段和线段分别是小陈站在A点和B点时，在景观灯照射下形成的影子； （3）如（2）图所示，根据题意得，， ， ， ，，， ， 解得：， ，， ， ， ，，， ， 解得：， ， 答：小陈影子的长度变短了，变短了1米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $