精品解析：山西长治市第十五中学校2025-2026学年高一数学第一学期期末质量评估试题

山西长治市第十五中学校2025-2026学年高一数学第一学期期末质量评估试题 （时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，在上增长速度最慢的是（    ） A. B. C. D. 7. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（    ） A. 是第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 与角终边相同的最小正角是 D. 若角为锐角，则角为钝角 10. 设函数，则下列结论错误的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为1 11. 函数，在上单调递减，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则是的________.（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空） 13. 当时，最小值是________． 14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月交纳水费90元，则该月用水量为____m3.  每户每月用水量 水费 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. （1）已知，为第三象限角，求的值； （2）已知，计算值. 16. 已知函数，. （1）若，求的值； （2）设，求的定义域； （3）设，判断的奇偶性，并证明. 17. （1）求的值； （2）已知是第三象限角，求值. 18. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 19. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西长治市第十五中学校2025-2026学年高一数学第一学期期末质量评估试题 （时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可． 【详解】由集合，集合， 得. 故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式解决问题即可. 【详解】由全称命题的否定形式可知命题“”的否定为 “”. 故选：C. 3. 函数的零点为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点的概念求解即可. 【详解】由得或，故函数的零点是、. 故选：B 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，， 因此. 故选：C 5. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 6. 下列函数中，在上增长速度最慢的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 7. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求值即可. 【详解】设，则点到原点的距离为， 则. 故选：D. 8. 若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式、同角公式计算作答. 【详解】因为，则， 所以. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（    ） A. 是第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 与角终边相同的最小正角是 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用终边相同的角的概念求解选项A和C，利用扇形面积公式求解选项B，举的反例判断选项D. 【详解】对于选项，且为第二象限角， 为第二象限角，正确； 对于选项，扇形的半径为， 因此，该扇形的面积，正确； 对于选项，因为， 所以与角终边相同的最小正角是，正确； 对于选项，取，则角为锐角， 但，即角为锐角，错误. 故选：ABC. 10. 设函数，则下列结论错误的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的图象和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，因为，不等于函数最大值或最小值，所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，因为，所以是函数的一个零点，故C正确； 对于D，因为函数最大值为2，故D错误； 故选：ABD. 11. 函数，在上单调递减，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分段函数单调递减的特点，列出相应的不等式组，求解即可得到a的取值范围，从而作出判断． 【详解】由题意可知，，所以． 所以． 即a的取值范围是． 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则是的________.（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件 【解析】 【分析】由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】因为，，所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 13. 当时，的最小值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值等于3． 故答案为： 14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月交纳水费90元，则该月用水量为____m3.  每户每月用水量 水费 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 【答案】20 【解析】 【分析】由题意确定，代入数据即可求解. 【详解】设用水量 m3，交纳水费为元， 由题可知y=， 当时，最大值为36， 当时，最大值为72， 所以，解得. 故答案为：20 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. （1）已知，为第三象限角，求的值； （2）已知，计算的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得的值； （2）利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】解：（1）因为为第三象限角，则； （2）. 16. 已知函数，. （1）若，求值； （2）设，求的定义域； （3）设，判断的奇偶性，并证明. 【答案】（1） （2） （3）偶函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用对数式与指数式的互化结合，可得出的值； （2）利用对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，即可求出函数的定义域； （3）利用函数奇偶性的定义可得出结论. 【小问1详解】 若，则，解得. 【小问2详解】 若，由，得. 所以函数定义域为. 【小问3详解】 由（2）得，函数的定义域关于原点对称，且， 则，故函数为偶函数. 17. （1）求的值； （2）已知是第三象限角，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）逆用两角和的正切公式，结合特殊角的正切函数值进行求解即可； （2）根据两角差的余弦公式，结合同角的三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以， 因为是第三象限角， 所以， 所以. 18. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解； （2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可. 小问1详解】 由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得 故. 【小问2详解】 将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 19. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）由奇函数得和，进而求解； （2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式即可求解． 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为，所以， 即，解得， 从而有， 又由知，解得， 经检验适合题意，，； 【小问2详解】 由（1）知， 由上式易知在上为减函数， 又因是奇函数，从而不等式， 等价于， 因为是减函数，由上式推得， 即对一切有， 从而，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $