精品解析：安徽六安市独山中学2025-2026学年第一学期高二数学期末试卷

六安市独山中学2025-2026学年度第一学期高二数学期末试卷 一、单选题 1. 某校高三年级有男生人，女生人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取人，从女生中任意抽取人进行调查．这种抽样方法是（ ）． A. 简单随机抽样法 B. 抽签法 C. 随机数表法 D. 分层抽样法 2. 直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为 A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 3. 若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 4. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 5. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 A. B. C. D. 6. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A. 9.4，0.484 B. 9.4，0.016 C. 9.5，0.04 D. 9.5，0.016 7. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 11. 已知一组样本数据，则（ ） A. 该样本数据的平均数为2 B. 该样本数据的众数与中位数相同 C. 该样本数据的方差大于极差 D. 该样本数据的标准差小于众数 三、填空题 12. 若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_________ 13. 若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________． 14. 若事件､相互独立，，，则__________． 四、解答题 15. 已知两条直线，相交于点. （1）求交点的坐标； （2）求过点且与直线垂直的直线的方程. 16. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 17. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． （I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目． （II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的2所学校均为小学的概率． 18. 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表： 分组 频数 4 25 30 29 10 2 合计 100 （1）请作出频率分布表，并画出频率分布直方图； （2）估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概率是多少； （3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如：区间的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安市独山中学2025-2026学年度第一学期高二数学期末试卷 一、单选题 1. 某校高三年级有男生人，女生人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取人，从女生中任意抽取人进行调查．这种抽样方法是（ ）． A. 简单随机抽样法 B. 抽签法 C. 随机数表法 D. 分层抽样法 【答案】D 【解析】 【分析】 根据总体由男生和女生组成，个体有明显差异求解. 【详解】总体由男生和女生组成，比例为， 所抽取的比例也是， 故选：D． 2. 直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为 A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案． 解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1 则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1， 把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心． 所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心． 故选B 考点：直线与圆的位置关系． 3. 若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先把点代入抛物线方程得出，结合抛物线定义及准线计算求解. 【详解】为抛物线上一点，则，即， 且抛物线的准线为， 则点到其焦点的距离为. 故选：B. 4. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】设事件A为不用现金支付， 则 故选：B. 5. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】: 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，C C÷C= 6. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A. 9.4，0.484 B. 9.4，0.016 C. 9.5，0.04 D. 9.5，0.016 【答案】D 【解析】 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，利用平均值和方差的求解公式可求所剩数据的平均值和方差. 【详解】去掉一个最高分和一个最低分后，剩余分数如下：9.4、9.4、9.6、9.4、9.7， 平均值为； 方差为； 故选：D. 【点睛】本题主要考查平均数和方差的求解，明确求解公式是解题关键，侧重考查数据分析的核心素养. 7. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， ∵点在圆上，∴点P为切点． 从而圆心与点P的连线应与切线垂直． 又∵圆心为，设切线斜率为k， ∴，解得． ∴切线方程为． 故选：D. 8. 已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 二、多选题 9. 为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分焦点在x轴上和y轴上，根据离心率公式直接求解可得. 【详解】当焦点在x轴上时，，则， 所以，，解得； 当焦点在y轴上时，，则， 所以，，解得. 故选：CD 10. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 11. 已知一组样本数据，则（ ） A. 该样本数据的平均数为2 B. 该样本数据的众数与中位数相同 C. 该样本数据的方差大于极差 D. 该样本数据的标准差小于众数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数，方差，极差，众数，中位数的概念求解即可. 【详解】因为平均数， 所以方差，标准差，众数为2， 将这组数由小到大排列，即， 2在中间，中位数为2，最大数为3，最小数为，极差为， 所以BD正确，AC错误. 故选：BD. 三、填空题 12. 若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_________ 【答案】 【解析】 【详解】双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0） ∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点， ∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0） ∴a=3，c= ∴ ∴椭圆C的方程是 故答案为 13. 若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解. 【详解】解： ，解得 故答案为： 14. 若事件､相互独立，，，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率公式求得正确答案. 【详解】若事件､相互独立，，，则 故答案为： 四、解答题 15. 已知两条直线，相交于点. （1）求交点的坐标； （2）求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）两直线方程联立即可求得交点坐标； （2）根据两直线垂直可求得直线斜率，进而求得直线方程. 【详解】（1）由得：， ； （2）直线斜率为，直线斜率. ，即：. 【点睛】本题考查两直线交点坐标求解、根据两直线垂直求解直线方程的问题；关键是明确两直线垂直则斜率乘积为. 16. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 【答案】（1） 不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,. ,因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直； （2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，, 易知平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为，则， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 17. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． （I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目． （II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的2所学校均为小学的概率． 【答案】(1)3,2,1 (2) 【解析】 【详解】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1． (2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种． ②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种． 所以P(B)＝＝． 18. 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表： 分组 频数 4 25 30 29 10 2 合计 100 （1）请作出频率分布表，并画出频率分布直方图； （2）估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概率是多少； （3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如：区间的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 【答案】（1）作图见解析； （2）0.69，0.44； （3）1.4088 【解析】 【分析】(1)先列频率分布表，再作频率分布直方图； (2)由频率分而表直接求纤度落在中的概率和纤度小于1.40的概率即可； (3) 设纤度为，写出可取的值，再求期望即可. 【小问1详解】 频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 0.04 25 0.25 30 0.30 29 0.29 10 0.10 2 0.02 合计 100 1.00 频率分布直方图如下图． 【小问2详解】 纤度落在中的概率约为， 纤度小于1.40的概率约为． 【小问3详解】 设纤度为，可取的值是1.32，1.36，1.40，1.44，1.48，1.52， 则，，，，，， ∴. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $