精品解析：河南濮阳市2026届高三第一次模拟考试数学试题

河南濮阳市2026届高三第一次模拟考试数学试题 注意事项： 1.试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简. 【详解】由题意得，. 故选：B 2. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 40 B. C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式可求. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则， 故含的项的系数为. 故选：A 3. 双曲线的离心率为，则的值是（ ） A. B. 2 C. -2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，解方程即可得出答案. 【详解】由双曲线可知：， 所以离心率，解得：. 故选：B. 4. （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式和辅助角公式化简即可得出答案. 【详解】 . 故选：C. 5. 已知 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】由 得 ，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为 ． 故选：C. 6. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在 中利用正弦定理求出，再利用即可求出. 【详解】在 中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 7. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为图象交点的横坐标，数形结合可得；或利用函数的单调性以及零点存在性定理可比较. 【详解】法1：由题意可知，分别为与的函数图象的交点的横坐标， 图象如图： 由图可知， ； 法2：易知，均为增函数， 因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：A 8. 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点 满足 ，是球心，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一，过作与平面平行的截面，转化为点到截面距离的最大值，根据球的截面性质求解即可；法二，建立空间直角坐标系，写出球的方程，设出 点的坐标，利用向量法求点竖坐标的取值范围即可得解. 【详解】法一：过作与平面平行的截面，截面直径为，如图， ，取中点，过作平行线交球与， 则点在以为直径的小圆上，当在点时，过作与垂直的直径交球于， 则点在以为直径的大圆运动，当位于点时，到平面距离最大， 设，则，， 所以到距离最大值为， 故选：D 法二：过点作平面的垂线为轴，在平面内作两条互相垂直的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则球的方程为， 因为点到的距离为3，所以设的坐标为，所以， 设的坐标为，则，， 因为 ，所以，所以， 又由平面向量知识可得， 所以，又因为 ， 所以，所以， 两边平方得，解得， 所以点到平面距离的最大值为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出的解析式，再利用周期公式、正切函数的性质逐一判断. 【详解】由题意得，，则的最小正周期是，故A正确； 由正切函数性质得的图象不是轴对称图形，故B错误； 若，则， 因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C错误； 而，故D正确. 故选：AD 10. 已知圆和直线，下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为 B. 直线与圆相交，且弦长为 C. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D. 过点且与圆相切的直线有且仅有 条 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，根据圆的标准方程即可判断；选项B，根据直线与圆相交的弦长公式，求解即可；选项C，圆与圆关于直线对称，即两圆的圆心关于直线对称，半径相等，所以求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可求得圆方程；选项D，根据点与圆的位置关系，可判断点在圆外，根据圆的切线性质，可知D正确. 【详解】对于选项A，由圆的方程，可知圆心坐标为，半径为4，故A正确； 对于选项B，由题意，圆的圆心到直线的距离为， 因为，所以直线与圆相交， 所以弦长为，故B正确； 对于选项C，设圆心关于直线的对称点， 由直线，得其斜率为，故， 又对称点的中点在直线上，所以， 化简得，即． 又由得，即，整理为； 联立，解得：． 因此，圆的圆心为，方程为16，故C错误； 对于选项D，点到圆心的距离：，所以点在圆外． 所以，过点且与圆相切的直线有且仅有 条，故D正确． 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令 判断B；令以及得出为奇函数判断A；根据的对称性可得出周期性，结合对称性和周期性可判断C；利用周期性和对称性求出函数值判断D. 【详解】令 ，则，故，则，故B正确； 令，则， 则，则或， 令，则，则， 若，则，也满足， 故为奇函数，故A错误； 因为为偶函数，所以的对称轴为，则， 因为为奇函数，所以，则， 则，故，即是的一个周期， 则，故C正确； 因为，所以，； 因为，所以， ，故D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由交、并、补集的定义求解即可. 【详解】 ，所以. 故答案为： 13. 为了研究某班学生的听力成绩（单位：分）与笔试成绩（单位：分）的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现与之间有线性关系，设其回归直线为，已知，若该班某学生的听力成绩为28，据此估计其笔试成绩约为__________. 【答案】 【解析】 【分析】计算，得到中心点，代入回归方程得到，代入数据得到答案. 【详解】，故；，故， 故点在回归直线上，即，得， 即，当 时，代入计算得到. 故答案为： . 14. 如图，在矩形中，，，，分别是和的中点，若是矩形内一点（含边界），满足，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】，，， 取,则, 则 三点共线，即点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 取的中点，连接，则， 因为， ,所以， 因为，所以，所以， 因为，所以 ， 设的中点为, 则 ， 因为，，，分别是和的中点， 所以，当 时，最小，且最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的最小值问题，涉及到向量共线定理的结论，考查学生的等价转化与数形结合的思想，是一道较难的题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； （2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望 . 【答案】（1）；这300名市民评分的平均数为. （2）的分布列如下表所示： 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，即可求得实数的值；再由平均数的公式求出这300名市民评分的平均数； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【小问1详解】 解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. 这300名市民评分的平均数为： . 所以这300名市民评分的平均数为：. 【小问2详解】 解因为评分在分以上的市民所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 16. 已知. （1）若 ，求的图象在点处的切线方程； （2）若，都有 ，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程； （2）先根据题意，得到在 上恒成立，只需在 上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 若 ，则，则，. ，所以切点坐标为，切线斜率为 ， 曲线在点处的切线方程为. 化简可得：. 【小问2详解】 若，都有 ，即， 即在 上恒成立，令，， 由题意，只需当时，即可， 令， 因为当 时， ，所以在上单调递增， 当 时，，所以在上单调递减， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥 中，底面是正方形平面， ，点是棱的中点，平面与棱 交于点． （1）求证： ； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 在正方形中，， 平面，不在平面内， 平面， 又平面 ，平面 平面， ， 又，； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据线面平行的性质即可得证； （2）如图建系，分别求出平面 和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面 的法向量为， 则，故可取， 因为 平面，则为平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求 的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解； （3）设直线的方程为，，，由平面共线向量的坐标表示可得、，列出方程化简即得解. 【小问1详解】 由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为 ； 【小问2详解】 如图，由题意，设， 代入抛物线方程 ，可得， 两式相减可得，即， 由 可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线 内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中 ， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以 的面积. 【小问3详解】 由（1）得，直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点， 则直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，，， 则，因为，所以，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，可得，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，得， 因为 ， ，所以，即． 19. 给定数列且，若对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”. （1）已知数列为“指数型数列”，若 ，求； （2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由； （3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列. 【答案】（1） ， ； （2）数列 是“指数型数列”. 证明：由 ，得 ， 即 ， 所以数列 是等比数列，且 ， 则， ， 所以数列 是“指数型数列”. （3）因为数列是“指数型数列”，故对任意的， 有，则，所以 ， 适合该式. 假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设 ， 则由，得， 所以， 当为偶数且时，是偶数，而是偶数，是奇数， 故不能成立； 当为奇数且时，是偶数，而是奇数，是偶数， 故不能成立； 所以，对任意的，不能成立， 即数列中任意三项都不能构成等差数列. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义代入计算即可； （2）根据“指数型数列"的定义可做判断，证明时利用递推式推出数列 是等比数列，求出，再结合定义即可证明； （3）由递推式可得，继而假设数列中存在三项构成等差数列，结合可推出矛盾，即可证明结论. 【小问1详解】 因为数列是“指数型数列”，所以对于任意的， 都有，因为 ， 所以 ， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南濮阳市2026届高三第一次模拟考试数学试题 注意事项： 1.试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 40 B. C. 20 D. 3. 双曲线的离心率为，则的值是（ ） A. B. 2 C. -2 D. 4. （ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点 满足 ，是球心，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于点对称 10. 已知圆和直线，下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为 B. 直线与圆相交，且弦长为 C. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D. 过点且与圆相切的直线有且仅有条 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，则__________. 13. 为了研究某班学生的听力成绩（单位：分）与笔试成绩（单位：分）的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现与之间有线性关系，设其回归直线为，已知，若该班某学生的听力成绩为28，据此估计其笔试成绩约为__________. 14. 如图，在矩形中， ，，，分别是和的中点，若是矩形内一点（含边界），满足，且，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； （2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望 . 16. 已知. （1）若 ，求的图象在点处的切线方程； （2）若，都有 ，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥 中，底面是正方形平面， ，点是棱的中点，平面与棱 交于点． （1）求证： ； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究 与的关系. 19. 给定数列且，若对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”. （1）已知数列为“指数型数列”，若 ，求； （2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由； （3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $