1.平行四边形第三节多边形的内角和与外角和》讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦多边形内角和公式推导与应用、外角和性质及应用核心知识点，通过课前预习回顾三角形、四边形内角和，以“观察—猜想—验证—推理”探究过程，借助分割多边形为三角形的转化思想推导内角和公式，结合邻补角关系得出外角和恒为360°，构建从已知到未知的学习支架。 该资料以探究活动为特色，如五边形内角和的多种分割方法、外角和的跑步情境推导，培养学生推理意识与几何直观。例题融入军事、科技、传统文化等实际情境，强化模型意识与应用意识，课中助力教师引导学生深度探究，课后通过知识清单与分层训练，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第六章平行四边形第三节多边形的内角和与外角和》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解多边形内角和公式的推导过程，能熟练运用公式计算任意多边形的内角和。 2.掌握多边形外角和的性质，明确任意多边形的外角和为360 ° ，并能解决相关实际问题。 3.经历 “ 观察 — 猜想 — 验证 — 推理 ” 的探究过程，提升逻辑推理能力和几何建模思想。 4.能运用多边形内角和与外角和公式解决角度计算、图形判定等综合问题，增强数学应用意识。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.多边形内角和公式的推导与应用。 2.任意多边形外角和为360 ° 的性质及应用。 （二）难点 1.多边形内角和公式推导过程中 “ 分割多边形为三角形 ” 的转化思想。 2.综合运用内角和、外角和公式解决含未知边数、未知角度的复杂问题。 ) 三．课前预习 1.由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做______，其中n≥______（n为整数）。 2.三角形的内角和是______°，四边形的内角和是______°。 3.从n边形的一个顶点出发，能引出______条对角线，这些对角线将n边形分成______个三角形。 4.猜想n边形的内角和公式为______。 5.多边形的外角是指多边形的一边与另一边的______所组成的角，任意多边形的外角和是______°。 四．课堂探秘 探究一：多边形内角和公式的推导 (1) 上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗?与同伴交流. (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗?你还有其他的方法吗? 【归纳总结】： 从n边形的一个顶点出发，对角线的条数为（n-3）条，分成的三角形个数为（n-2）个。因此，得到如下定理， 定理：n边形内角和公式为：（n-2）×180°（n≥3且n为整数）。 【核心理解】 1.推导本质：转化思想，将多边形通过从一个顶点引对角线的方式，分割为(n-2)个三角形，利用三角形内角和为180°，累加得到多边形内角和，这是定理的核心推导逻辑。 2.边数与内角和的关系：内角和随边数n的增加成线性递增，每增加1条边，内角和增加180°（如四边形比三角形多180°，五边形比四边形多180°）。 3.定理的适用范围：仅适用于凸多边形和凹多边形（所有封闭的平面多边形），且n为≥3的整数，不存在边数为2及以下的多边形。 4.特殊多边形验证： （1）三角形（n=3）：(3-2)×180°=180°，符合三角形内角和定理； （4）四边形（n=4）：(4-2)×180°=360°，与平行四边形、矩形等四边形内角和一致。 探究二：多边形外角和的探究 如图小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步. (1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角?在图上标出这些角。 (2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个?它们的和是多少? 小刚是这样思考的:如图，跑步方向改变的角分别是∠1，∠2，∠3,∠4,∠5. ∵∠1+∠EAB=180o,∠2+∠ABC=180o.∠3+∠BCD=180o，∠4+∠CDE=180o，∠5+∠DEA=180° ∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+D∠EA=900° ∵五边形的内角和为(5-2)x180°=540o即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE∠+DEA=540°, ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°. 【归纳总结】： 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角(exterior angle).在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和 定理 多边形的外角和都等于360° 【核心理解】 1.推导本质：邻补角与内角和结合：多边形每个内角与其相邻外角互为邻补角（和为180°），n边形内角和+外角和 = n×180°；结合内角和公式(n-2)×180°，可推导出：外角和 = n×180°-(n-2)×180°=360°，推导核心是对内角和定理的反向运用。 2.核心特性：边数无关，恒为定值 这是外角和与内角和的关键区别：内角和随边数增加线性递增，而外角和无论边数是3（三角形）、8（八边形）还是n，结果始终是360°，是多边形的固有定值。 3.定义前提：每个顶点仅取一个外角。 多边形每个顶点有2个相等的外角，外角和定理中仅取每个顶点的一个外角求和，若重复选取则不满足360°的结论，这是应用定理的前提条件。 4.特殊多边形验证 （1）三角形：外角和360°； （22）正方形/矩形：每个外角90°，4×90°=360°； （3）正六边形：每个外角60°，6×60°=360°，均符合定理。 【关键延伸】正多边形中，可利用外角和定理快速求单个外角度数和边数： （1）正n边形每个外角度数 = 360°÷n； （2）若已知正多边形单个外角度数α，则边数n = 360°÷α。 该推导比用内角和计算更简便，是外角和定理最常用的应用技巧。 【经典例题】 例题1：求多边形的内角和 已知一个多边形是七边形，求它的内角和。 例题2：由内角和求边数 一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数。 例题3：外角和的应用 一个多边形的每个外角都等于45°，求这个多边形的边数。 例题4：综合应用 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和内角和。 【答案】：边数为9，内角和为1260° 【解析】：设多边形边数为n，根据题意列方程：（n-2）×180° = 3×360° + 180° 计算右边：3×360°=1080°，1080°+180°=1260°因此方程变为：（n-2）×180°=1260° 解得：n-2=7，n=9内角和为（9-2）×180°=1260°，故边数为9，内角和为1260°。 例题5．四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O． （1）若点O在四边形ABCD的内部， ①如图1，若AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DOE＝　 　°； ②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． （2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系． 五．课堂检测 （一）．选择题 1．下列多边形中，内角和最小的是（　　） A． B． C． D． 2. 2026年全军开训动员中，某参演方队组成正多边形队列，其内角和为1440°，该正多边形是（ ） A. 正八边形 B. 正九边形 C. 正十边形 D. 正十一边形 3.2026年军事演习中，8架无人机组成正多边形侦察阵，其一个外角的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 4. 2026年首飞的“梦舟”飞船某零部件轮廓为正多边形，一个内角是150°，该正多边形边数为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 5. 国防部回应美新版国防战略引用“青山遮不住，毕竟东流去”，若诗句书法写在正多边形卷轴上，其内角和是外角和的3倍，这个正多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 6．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　） A．40° B．42° C．30° D．52° 7．一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角等于（　　） A．60° B．45° C．72° D．40° 8．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连接AD，则∠DAG＝（　　） A．18° B．20° C．28° D．30° 9．某n边形的每个外角都等于与它相邻内角的，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．9 10．如图，直线MN经过一个正多边形的顶点A，若∠1＝∠2＝22.5°，则此正多边形为（　　） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 （二）．填空题 11.2026年我国首座商用高空风能电站建成，其叶片基座为正五边形钢架，该正五边形的一个内角度数为＿＿＿。 12.古诗词“七弦琴上松风至，百衲衣边月影舒”，若琴身装饰边框为正七边形，该正七边形的内角和为＿＿＿。 13.2026年全球首款量产型氢能源无人机发布，其机身碳纤维框架为正十边形，该正十边形的一个外角度数为＿＿＿。 14.传统非遗“窗棂雕刻”中，八角窗的正八边形格纹，其内角和比内角和为720°的多边形多＿＿＿度。 15. 已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值为________． 16. 一个多边形切去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为___________. 17. 如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____． 18．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了　 　米？这个多边形的内角和是　 　度？ 19．如图，已知正六边形ABCDEF，连接AC，CE，则∠ECA＝　 　°． 20．如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为　 　． （三）．解答题 21．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80° （1）如图1，若∠B＝∠C，求∠C的度数； （2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，求∠C的度数． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是AD延长线上一点，连接BE，交CD于点F，∠EBC＝∠E． （1）求证：∠A＝∠C； （2）连接AF，若∠ABE＝∠EBC，∠C＝2∠AFD，求∠AFB的度数． 23.（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； （2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数． 24．如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　 　； （2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　度 （3）如图3所示已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明． 25.如图,BE、DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β. (1)试说明:∠MBC+∠NDC的度数与α,β的数量关系; (2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=30°,请写出α、β所满足的等量关系; (3)如图2,若α=β,判断BE和DF的位置关系,并说明理由. 图1图2 26．探究归纳题： （1）试验分析： 如图1，经过A点可以做 　 　条对角线；同样，经过B点可以做 　 　条对角线；经过C点可以做 　 　条对角线；经过D点可以做 　 　条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 　 　条对角线 （2）拓展延伸： 运用1的分析方法，可得： 图2共有 　 　条对角线； 图3共有 　 　条对角线； （3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有 　 　条对角线．（用含n的式子表示） （4）特例验证：十边形有 　 　对角线． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭平面图形叫做________，组成多边形的各条线段叫做多边形的________，相邻两边的公共端点叫做多边形的________，相邻两边组成的角叫做多边形的________。 2.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的________。 3.边数为n（n≥3且n为整数）的多边形叫做n边形，三角形是边数最少的多边形，其中四边形有________条对角线，五边形有________条对角线。 4.多边形内角和定理：n边形的内角和等于________，用字母表示为S=(n - 2)×180°。 5.正多边形的每个内角都相等，若一个正n边形的每个内角为108°，则n = ________。 6.多边形的外角是指多边形的一边与另一边的________所组成的角，多边形的每个顶点处有________个外角，且这两个外角是________角。 7.多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于________，与多边形的边数无关。 8. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是________边形；若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是________边形。 9.若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的边数为________，其内角和为________。 10.过n边形的一个顶点可以作________条对角线，这些对角线将n边形分成________个三角形。 11.六边形的内角和为________，外角和为________。 12.一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，则这个多边形的内角和为________。 （二）强化训练 一．选择题 1. 2026年嫦娥七号月球探测器的某结构部件为多边形，内角和是1260°，该多边形边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2．如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为720°，则对应的图形是（　　） A． B． C． D． 3．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是（　　） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 4．如图，如果∠A＝50°，那么∠1+∠2的大小为（　　） A．130° B．180° C．230° D．260° 5. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　 　） A. 140米 B. 150米 C. 160米 D. 240米 6. 中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（ ） A. 50° B. 100° C. 180° D. 200° 7.如图,四边形ABCD中,过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为α和β,则α+β=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.360°　　　　　B.540°　　　　　C.720°　　　　　D.900° 8.如图,∠1=∠2=∠3=∠4=62°,分别作∠DEF和∠EFA的平分线,并交于点P,则∠P的度数是(　　) A.55°　　　　　B.56°　　　　　C.57°　　　　　D.60° 9.如图,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正△ABF,则下列结论错误的是(　　) A.AE=AF　　 B.∠EAF=∠CBF C.∠F=∠EAF　　　D.∠C=∠E 10.嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案,已知用六个△ABC纸片按如图1所示的方法拼接,可得外轮廓是正六边形图案,若用n个△ABC纸片按如图2所示的方法拼接,那么可以得到外轮廓的图案是 (　　) 图1图2 A.正七边形　　B.正八边形　　　　C.正九边形　　D.正十边形 二．填空题 11.2026年我国新一代北斗导航接收终端量产，其芯片封装外壳为正多边形，若一个外角为40°，则该多边形的边数为＿＿＿。 12.古诗词“五脊六兽凝古意，雕梁画栋藏匠心”，古建筑五脊对应的五边形构件，其内角和为＿＿＿。 13.2026年商用量子计算终端落地，其核心散热片为正多边形，若内角和为1440°，则该多边形的边数为＿＿＿。 14.传统书法“九宫格”的边框为正多边形变体，若某正多边形一个内角为140°，则其边数为＿＿＿。 15. 如图，、、、是五边形的4个外角，若，则_______°． 16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度． 17．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　 　度． 18．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝　 　度． 19.如图,点D、A、B、C是正十边形依次相邻的顶点,分别连接AC、BD相交于点P,则∠DPC=　　　　度.  20.如图,正八边形ABCDEFGH中,延长对角线BF与边DE的延长线交于点M,则∠M=　　　　°.  三．解答题 21．如图，已知F是四边形BCDE的边BE上一点，CB与DF的延长线相交于点A，其中∠A＝∠ADE． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）若∠C＝∠E，求证：BE∥CD． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝110°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F． （1）求∠ABC的大小； （2）求∠CDF的大小． 23．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题． （1）将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… 18 ∠α的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 …… 　 　 （2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． （3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 24．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D． （1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数； （2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由． 25．阅读材料： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论．这一方法也可以用来解决其他求角度的问题，如图，四边形ABCD是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线AC，则四边形内角和就转化为△ACB和△ACD内角和的和，为360°． 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC（∠BDC＜180°）与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整； 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的 （即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸， 连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的）． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　 　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　°． 26．如图：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D＝∠C+∠B． （1）用“8字型” 如图（1）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． （2）造“8字型” 如图（2）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　． （3）发现“8字型” 如图（3）：BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线． ①图中共有　 　个“8字型”； ②若∠B：∠D：∠F＝4：6：x，求x的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第六章平行四边形第三节多边形的内角和与外角和》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解多边形内角和公式的推导过程，能熟练运用公式计算任意多边形的内角和。 2.掌握多边形外角和的性质，明确任意多边形的外角和为360 ° ，并能解决相关实际问题。 3.经历 “ 观察 — 猜想 — 验证 — 推理 ” 的探究过程，提升逻辑推理能力和几何建模思想。 4.能运用多边形内角和与外角和公式解决角度计算、图形判定等综合问题，增强数学应用意识。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.多边形内角和公式的推导与应用。 2.任意多边形外角和为360 ° 的性质及应用。 （二）难点 1.多边形内角和公式推导过程中 “ 分割多边形为三角形 ” 的转化思想。 2.综合运用内角和、外角和公式解决含未知边数、未知角度的复杂问题。 ) 三．课前预习 1.由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做______，其中n≥______（n为整数）。 2.三角形的内角和是______°，四边形的内角和是______°。 3.从n边形的一个顶点出发，能引出______条对角线，这些对角线将n边形分成______个三角形。 4.猜想n边形的内角和公式为______。 5.多边形的外角是指多边形的一边与另一边的______所组成的角，任意多边形的外角和是______°。 【答案】 1.多边形；3 2. 180；360 3. （n-3）；（n-2） 4. （n-2）×180° 5. 反向延长线；360 四．课堂探秘 探究一：多边形内角和公式的推导 (1) 上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗?与同伴交流. 【解析】我们可以用分割法来推导：从五边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点作对角线，能把五边形分成3个三角形。因为一个三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和为： 3×180°= 540°。 (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗?你还有其他的方法吗? 【解析】小明的方法：把五边形分割成5个三角形，5个三角形的内角和为5×180°= 900°再减去中间一个周角360°，得到五边形内角和：900°- 360° = 540°。 小亮的方法：把五边形分割成4个三角形，4个三角形的内角和为4×180°= 720°，再减去一个平角180°，得到五边形内角和：720°- 180°= 540°。 【归纳总结】： 从n边形的一个顶点出发，对角线的条数为（n-3）条，分成的三角形个数为（n-2）个。因此，得到如下定理， 定理：n边形内角和公式为：（n-2）×180°（n≥3且n为整数）。 【核心理解】 1.推导本质：转化思想，将多边形通过从一个顶点引对角线的方式，分割为(n-2)个三角形，利用三角形内角和为180°，累加得到多边形内角和，这是定理的核心推导逻辑。 2.边数与内角和的关系：内角和随边数n的增加成线性递增，每增加1条边，内角和增加180°（如四边形比三角形多180°，五边形比四边形多180°）。 3.定理的适用范围：仅适用于凸多边形和凹多边形（所有封闭的平面多边形），且n为≥3的整数，不存在边数为2及以下的多边形。 4.特殊多边形验证： （1）三角形（n=3）：(3-2)×180°=180°，符合三角形内角和定理； （4）四边形（n=4）：(4-2)×180°=360°，与平行四边形、矩形等四边形内角和一致。 探究二：多边形外角和的探究 如图小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步. (1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角?在图上标出这些角。 【解析】小刚沿逆时针方向跑步，每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是五边形的外角（在图上，每个转弯处的外侧角就是改变的角）。 (2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个?它们的和是多少? 【解析】个数：五边形有5个外角，所以他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有5个。和：任意多边形的外角和都为360°，所以这5个角的和是360°。 小刚是这样思考的:如图，跑步方向改变的角分别是∠1，∠2，∠3,∠4,∠5. ∵∠1+∠EAB=180o,∠2+∠ABC=180o.∠3+∠BCD=180o，∠4+∠CDE=180o，∠5+∠DEA=180° ∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+D∠EA=900° ∵五边形的内角和为(5-2)x180°=540o即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE∠+DEA=540°, ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°. 【归纳总结】： 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角(exterior angle).在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和 定理 多边形的外角和都等于360° 【核心理解】 1.推导本质：邻补角与内角和结合：多边形每个内角与其相邻外角互为邻补角（和为180°），n边形内角和+外角和 = n×180°；结合内角和公式(n-2)×180°，可推导出：外角和 = n×180°-(n-2)×180°=360°，推导核心是对内角和定理的反向运用。 2.核心特性：边数无关，恒为定值 这是外角和与内角和的关键区别：内角和随边数增加线性递增，而外角和无论边数是3（三角形）、8（八边形）还是n，结果始终是360°，是多边形的固有定值。 3.定义前提：每个顶点仅取一个外角。 多边形每个顶点有2个相等的外角，外角和定理中仅取每个顶点的一个外角求和，若重复选取则不满足360°的结论，这是应用定理的前提条件。 4.特殊多边形验证 （1）三角形：外角和360°； （22）正方形/矩形：每个外角90°，4×90°=360°； （3）正六边形：每个外角60°，6×60°=360°，均符合定理。 【关键延伸】正多边形中，可利用外角和定理快速求单个外角度数和边数： （1）正n边形每个外角度数 = 360°÷n； （2）若已知正多边形单个外角度数α，则边数n = 360°÷α。 该推导比用内角和计算更简便，是外角和定理最常用的应用技巧。 【经典例题】 例题1：求多边形的内角和 已知一个多边形是七边形，求它的内角和。 【答案】：900° 【解析】：根据n边形内角和公式（n-2）×180°，七边形的n=7，代入公式得： （7-2）×180° = 5×180° = 900°，因此七边形内角和为900°。 例题2：由内角和求边数 一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数。 【答案】：10 【解析】：设这个多边形的边数为n，根据内角和公式列方程：（n-2）×180° = 1440° 解方程：n-2 = 1440°÷180° = 8，因此n=8+2=10，该多边形为十边形。 例题3：外角和的应用 一个多边形的每个外角都等于45°，求这个多边形的边数。 【答案】：8 【解析】：任意多边形外角和为360°，设边数为n，每个外角都相等时，外角和= n×每个外角度数，因此：n = 360°÷45° = 8，该多边形为八边形。 例题4：综合应用 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和内角和。 【答案】：边数为9，内角和为1260° 【解析】：设多边形边数为n，根据题意列方程：（n-2）×180° = 3×360° + 180° 计算右边：3×360°=1080°，1080°+180°=1260°因此方程变为：（n-2）×180°=1260° 解得：n-2=7，n=9内角和为（9-2）×180°=1260°，故边数为9，内角和为1260°。 例题5．四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O． （1）若点O在四边形ABCD的内部， ①如图1，若AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DOE＝　 　°； ②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． （2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系． 解：（1）①∵AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAD＝130°，∠ADC＝110°， ∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴∠OAD＝65°，∠ADO＝55°，∴∠DOE＝∠OAD+∠ADO＝65°+55°＝120°故答案为：120； ②∠B+∠C+2∠DOE＝360°，理由：∵∠DOE＝∠OAD+∠ADO，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴2∠DOE＝∠BAD+∠ADC，∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC＝360°，∴∠B+∠C+2∠DOE＝360°； （2）∠B+∠C＝2∠DOE，理由：∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣∠B﹣∠C，∠EAD+∠ADO＝180°﹣∠DOE，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，∴∠BAD+∠ADC＝2（∠EAD+∠ADO），∴360°﹣∠B﹣∠C＝2（180°﹣∠DOE），∴∠B+∠C＝2∠DOE． 五．课堂检测 （一）．选择题 1．下列多边形中，内角和最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，五边形的内角和等于（5﹣2）×180°＝540°，六边形的内角和等于（6﹣2）×180°＝720°，所以三角形的内角和最小，故选：A． 2. 2026年全军开训动员中，某参演方队组成正多边形队列，其内角和为1440°，该正多边形是（ ） A. 正八边形 B. 正九边形 C. 正十边形 D. 正十一边形 【答案】：C 【解析】：由内角和公式(n - 2)×180° = 1440°，解得n = 10，故选C。 3.2026年军事演习中，8架无人机组成正多边形侦察阵，其一个外角的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】：B 【解析】：多边形外角和恒为360°，正八边形一个外角为360°÷8 = 45°，故选B。 4. 2026年首飞的“梦舟”飞船某零部件轮廓为正多边形，一个内角是150°，该正多边形边数为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】：B 【解析】：正多边形一个外角为180° - 150° = 30°，边数n = 360°÷30° = 12，故选B。 5. 国防部回应美新版国防战略引用“青山遮不住，毕竟东流去”，若诗句书法写在正多边形卷轴上，其内角和是外角和的3倍，这个正多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】：B 【解析】：设边数为n，由(n - 2)×180° = 3×360°，解得n = 8，故选B。 6．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　） A．40° B．42° C．30° D．52° 【答案】：B 【解析】：∵∠1＝70°，∠2＝152°，∴∠B+∠C＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣70°﹣152°＝138°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣138°＝42°．故选：B． 7．一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角等于（　　） A．60° B．45° C．72° D．40° 【答案】：D 【解析】：设正多边形的边数为n，∵正多边形的内角和为1260°，∴（n﹣2）×180°＝1260°，解得：n＝9，∵360°÷9＝40°，∴正九边形的每个外角40°，故选：D． 8．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连接AD，则∠DAG＝（　　） A．18° B．20° C．28° D．30° 【答案】A 【解析】：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°又∵EA＝ED，∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，∵正方形GABF的内角∠BAG＝90°，∴∠DAG＝90°﹣72°＝18°，故选：A． 9．某n边形的每个外角都等于与它相邻内角的，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．9 【答案】C 【解析】：n边形的外角和是360°∵每个外角都等于与它相邻内角的，∴该n边形的内角和为360°×4＝1440°∴（n﹣2）×180＝1440解得，n＝10．故选：C． 10．如图，直线MN经过一个正多边形的顶点A，若∠1＝∠2＝22.5°，则此正多边形为（　　） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 【答案】：B 【解析】：22.5°+22.5°＝45°，360÷45＝8．故此正多边形为正八边形．故选：B． （二）．填空题 11.2026年我国首座商用高空风能电站建成，其叶片基座为正五边形钢架，该正五边形的一个内角度数为＿＿＿。 【答案】：108° 【解析】：正五边形内角和为(5-2)×180°=540°，正多边形各内角相等，故一个内角为540°÷5=108°。 12.古诗词“七弦琴上松风至，百衲衣边月影舒”，若琴身装饰边框为正七边形，该正七边形的内角和为＿＿＿。 【答案】：900° 【解析】：直接套用多边形内角和公式，n=7时，内角和为(7-2)×180°=900°。 13.2026年全球首款量产型氢能源无人机发布，其机身碳纤维框架为正十边形，该正十边形的一个外角度数为＿＿＿。 【答案】：36° 【解析】：任意多边形外角和为360°，正十边形各外角相等，故一个外角为360°÷10=36°。 14.传统非遗“窗棂雕刻”中，八角窗的正八边形格纹，其内角和比内角和为720°的多边形多＿＿＿度。 【答案】：360 【解析】：正八边形内角和为(8-2)×180°=1080°，1080°-720°=360°。 15. 已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值为________． 【答案】85° 【解析】∵AB∥CD，∠C=60°，∴∠B=180°-60°=120°，∴（5-2）×180°=x+150°+125°+60°+120°，∴x=85°． 16. 一个多边形切去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为___________. 【答案】7或8或9 【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8． 则原多边形的边数为7或8或9．故选：D． 17. 如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____． 【答案】36° 【解析】五边形是正五边形，，，；故答案为：． 18．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了　 　米？这个多边形的内角和是　 　度？ 【答案】120；3960． 【解析】设他所走的路径构成了正n多边形，则n＝＝24，5×24＝120（m）， 多边形的内角和＝（24﹣2）×180°＝3960°，故答案为：120；3960． 19．如图，已知正六边形ABCDEF，连接AC，CE，则∠ECA＝　 　°． 【答案】60 【解析】∵正六边形ABCDEF，∴ED＝CD，AB＝BC，∠D＝∠B＝120°，∴∠DCE＝∠BCA＝30°，∴∠ECA＝60°，故答案为：60． 20．如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为　 　． 【答案】75° 【解析】观察图形可知，△EFH是等腰直角三角形，则∠EFH＝45°，△DEF是等腰三角形， ∵∠DEF＝120°，∴∠EFD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠DFH＝45°+30°＝75°． 故答案为：75°． （三）．解答题 21．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80° （1）如图1，若∠B＝∠C，求∠C的度数； （2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，求∠C的度数． 解：（1）因为∠A+∠B+∠C+∠D＝360，∠B＝∠C， 所以∠B＝∠C＝＝＝70°． （2）∵BE∥AD，∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°．又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°，∴∠C＝180°﹣∠EBC﹣∠BEC＝180°﹣40°﹣80°＝60°． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是AD延长线上一点，连接BE，交CD于点F，∠EBC＝∠E． （1）求证：∠A＝∠C； （2）连接AF，若∠ABE＝∠EBC，∠C＝2∠AFD，求∠AFB的度数． 解：（1）∵∠EBC＝∠E，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形（两对边平行的四边形是平行四边形）∴∠A＝∠C（平行四边形的对角相等） （2）连接AF，∵∠C＝2∠AFD，∠A＝∠C，∴∠A＝2∠AFD，∵DC∥AB，∴∠DFA＝FAB＝∠DAB，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠FAB＝∠A，∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∴∠FAB+∠ABE＝（∠A+∠ABC）＝90°，∴∠AFB＝180°﹣90°＝90°． 23.（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； （2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数． 解：（1）∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°， ∴∠3+∠4＝360°﹣（∠5+∠6），∵∠1+∠5＝180°，∠2+∠6＝180°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠5+∠6），∴∠1+∠2＝∠3+∠4； （2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）∵∠B+∠C＝240°，∴∠MDA+∠NAD＝240°，∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线， ∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD，∴∠ADE+∠DAE＝（∠MDA+∠NAD）＝×240°＝120°，∴∠E＝180°﹣（∠ADE+∠DAE）＝180°﹣120°＝60°． 24．如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　 　； （2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　度 （3）如图3所示已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明． 解：（1）如图1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°． （3）∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，如图3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，即2∠P＝∠D+∠B． 25.如图,BE、DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β. (1)试说明:∠MBC+∠NDC的度数与α,β的数量关系; (2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=30°,请写出α、β所满足的等量关系; (3)如图2,若α=β,判断BE和DF的位置关系,并说明理由. 图1图2 解：(1)由四边形内角和得,∠ABC+∠ADC=360°-(α+β),∴∠MBC+∠NDC=(180°-∠ABC)+(180°-∠ADC)=360°-(∠ABC+∠ADC)=360°-360°+α+β=α+β. (2)如图,连接BD,由(1)得,∠MBC+∠NDC=α+β,∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC, ∴∠CBG=∠MBC,∠CDG=∠NDC,∴∠CBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β),在△BCD中,∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β,在△BDG中,∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°,∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°,∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CBD)+∠BGD=180°,∴(α+β)+180°-β+30°=180°,∴β-α=60°. (3)BE∥DF.理由:如图,延长BC交DF于H,由(1)得,∠MBC+∠NDC=α+β,∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC,∴∠CBE=∠MBC,∠CDH=∠NDC,∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β),∵∠BCD=∠CDH+∠DHB,∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB,∴∠CBE+β-∠DHB=(α+β),∵α=β,∴∠CBE+β-∠DHB=(β+β)=β,∴∠CBE=∠DHB,∴BE∥DF. 26．探究归纳题： （1）试验分析： 如图1，经过A点可以做 　 　条对角线；同样，经过B点可以做 　 　条对角线；经过C点可以做 　 　条对角线；经过D点可以做 　 　条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 　 　条对角线 （2）拓展延伸： 运用1的分析方法，可得： 图2共有 　 　条对角线； 图3共有 　 　条对角线； （3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有 　 　条对角线．（用含n的式子表示） （4）特例验证：十边形有 　 　对角线． 解：（1）经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． （2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； （3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有条对角线． （4）特例验证：十边形有＝35对角线． 故答案为：（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭平面图形叫做________，组成多边形的各条线段叫做多边形的________，相邻两边的公共端点叫做多边形的________，相邻两边组成的角叫做多边形的________。 2.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的________。 3.边数为n（n≥3且n为整数）的多边形叫做n边形，三角形是边数最少的多边形，其中四边形有________条对角线，五边形有________条对角线。 4.多边形内角和定理：n边形的内角和等于________，用字母表示为S=(n - 2)×180°。 5.正多边形的每个内角都相等，若一个正n边形的每个内角为108°，则n = ________。 6.多边形的外角是指多边形的一边与另一边的________所组成的角，多边形的每个顶点处有________个外角，且这两个外角是________角。 7.多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于________，与多边形的边数无关。 8. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是________边形；若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是________边形。 9.若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的边数为________，其内角和为________。 10.过n边形的一个顶点可以作________条对角线，这些对角线将n边形分成________个三角形。 11.六边形的内角和为________，外角和为________。 12.一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，则这个多边形的内角和为________。 【答案】1.多边形；边；顶点；内角 2.对角线 3.2；5 4.(n - 2)×180°（n≥3且n为整数） 5. 5 6.反向延长线；2；对顶 7.360° 8.六；四 9.10；1440° 10.(n - 3)；(n - 2) 11.720°；360° 12.900° （二）强化训练 一．选择题 1. 2026年嫦娥七号月球探测器的某结构部件为多边形，内角和是1260°，该多边形边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】：C 【解析】：由(n - 2)×180° = 1260°，解得n = 9，故选C。 2．如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为720°，则对应的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：设n边形的内角和为720°，则（n﹣2）×180＝720解得n＝6小明减掉部分后A是七边形，B是六边形，C是五边形，D是四边形．故选：B． 3．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是（　　） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】：C 【解析】：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°＝360°，n﹣2＝2， n＝4．故选：C． 4．如图，如果∠A＝50°，那么∠1+∠2的大小为（　　） A．130° B．180° C．230° D．260° 【答案】：C 【解析】：360°﹣（180°﹣50°）＝360°﹣130°＝230°∴∠1+∠2＝230°故选：C． 5. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　 　） A. 140米 B. 150米 C. 160米 D. 240米 【答案】B 【解析】已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，所以多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故选B． 6. 中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（ ） A. 50° B. 100° C. 180° D. 200° 【答案】C 【解析】如图，∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，∠1+∠2+∠A=180°，∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°．即五角星五个锐角的度数和是180°.故选C． 7.如图,四边形ABCD中,过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为α和β,则α+β=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.360°　　　　　B.540°　　　　　C.720°　　　　　D.900° 【答案】B　 【解析】如图,设直线l与CD交于点E.∵四边形ABCE的内角和为(4-2)×180°=360°, 三角形ADE的内角和为180°,∴α+β=360°+180°=540°.故选B. 8.如图,∠1=∠2=∠3=∠4=62°,分别作∠DEF和∠EFA的平分线,并交于点P,则∠P的度数是(　　) A.55°　　　　　B.56°　　　　　C.57°　　　　　D.60° 【答案】B　 【解析】∵∠1=∠2=∠3=∠4=62°,多边形的外角和为360°,∴∠5+∠6=360°-62°×4=112°,∴∠DEF+∠AFE=248°,∵EP,FP分别平分∠DEF和∠AFE, ∴∠FEP=∠DEF,∠EFP=∠AFE,∴∠FEP+∠EFP=(∠DEF+∠AFE)=124°,∴∠P=180°-124°=56°.故选B. 9.如图,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正△ABF,则下列结论错误的是(　　) A.AE=AF　　 B.∠EAF=∠CBF C.∠F=∠EAF　　　D.∠C=∠E 【答案】C　 【解析】∵五边形ABCDE是正五边形,∴AE=AB,∠C=∠E=∠EAB=∠ABC=（5-2）×180°÷5=108°,故D选项结论正确;∵△ABF是正三角形,∴∠FAB=∠FBA=∠F=60°,AB=AF=FB,∴∠EAF=∠EAB-∠FAB=108°-60°=48°,∠CBF=∠ABC-∠FBA=108°-60°=48°,∴∠EAF=∠CBF,故B选项结论正确;∵AB=AE,AB=AF=FB,∴AE=AF,故A选项结论正确;∵∠F=60°,∠EAF=48°,∴∠F≠∠EAF,故C选项结论错误,故选C. 10.嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案,已知用六个△ABC纸片按如图1所示的方法拼接,可得外轮廓是正六边形图案,若用n个△ABC纸片按如图2所示的方法拼接,那么可以得到外轮廓的图案是 (　　) 图1图2 A.正七边形　　B.正八边形　　　　C.正九边形　　D.正十边形 【答案】C　 【解析】正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,所以每个内角的度数720°÷6=120°, 所以∠ACB=120°-80°=40°,所以∠BAC=180°-40°-80°=60°.所以用n个△ABC纸片按题图2的方法拼接得到外轮廓图案的每个外角度数为180°-60°-80°=40°,因为360°÷ 40°=9,所以得到外轮廓的图案是正九边形.故选C. 二．填空题 11.2026年我国新一代北斗导航接收终端量产，其芯片封装外壳为正多边形，若一个外角为40°，则该多边形的边数为＿＿＿。 【答案】：9 【解析】：多边形边数=外角和÷一个外角度数，即360°÷40°=9。 12.古诗词“五脊六兽凝古意，雕梁画栋藏匠心”，古建筑五脊对应的五边形构件，其内角和为＿＿＿。 【答案】：540° 【解析】：根据多边形内角和公式，n=5时，内角和为(5-2)×180°=540°。 13.2026年商用量子计算终端落地，其核心散热片为正多边形，若内角和为1440°，则该多边形的边数为＿＿＿。 【答案】：10 【解析】：设边数为n，由(n-2)×180°=1440°，解得n=10。 14.传统书法“九宫格”的边框为正多边形变体，若某正多边形一个内角为140°，则其边数为＿＿＿。 【答案】：9 【解析】：该正多边形一个外角为180°-140°=40°，边数=360°÷40°=9。 15. 如图，、、、是五边形的4个外角，若，则_______°． 【答案】300 【解析】由题意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，又∵多边形的外角和为360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°．故答案为：300． 16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度． 【答案】360° 【解析】如右图所示，∵∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°． 故答案为：360°． 17．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　 　度． 【答案】180° 【解析】如图连接CE，根据三角形的外角性质得∠1＝∠A+∠B＝∠2+∠3，在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED＝180°，∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED＝180°． 18．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝　 　度． 【答案】360° 【解析】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，故答案为：360°． 19.如图,点D、A、B、C是正十边形依次相邻的顶点,分别连接AC、BD相交于点P,则∠DPC=　　　　度.  【答案】　144 【解析】　∵∠DAB和∠ABC是正十边形的内角,∴∠DAB=∠ABC==144°, DA=AB=BC,∴∠ABD===18°,∠BCA===18°, ∴∠PBC=∠ABC-∠ABD=144°-18°=126°,∴∠DPC=∠PBC+∠PCB=126°+18°=144°, 故答案为144. 20.如图,正八边形ABCDEFGH中,延长对角线BF与边DE的延长线交于点M,则∠M=　　　　°.  【答案】　22.5 【解析】　∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠EFG=∠DEF=(8-2)×180°÷8=135°,∴∠FEM=45°,∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴FB平分∠EFG,∴∠EFB=∠BFG=∠EFG=67.5°, ∵∠BFE=∠FEM+∠M,∴∠M=∠BFE-∠FEM=67.5°-45°=22.5°,故答案为22.5. 三．解答题 21．如图，已知F是四边形BCDE的边BE上一点，CB与DF的延长线相交于点A，其中∠A＝∠ADE． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）若∠C＝∠E，求证：BE∥CD． 解：（1）∵∠A＝∠ADE，∴AC∥ED，∴∠EDC+∠C＝180°，∵∠EDC＝3∠C，∴3∠C+∠C＝180°，∴∠C＝45°； （2）证明：∵∠A＝∠ADE，∴AC∥ED，∴∠ABE＝∠E，∵∠C＝∠E，∴∠C＝∠ABE， ∴BE∥CD． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝110°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F． （1）求∠ABC的大小； （2）求∠CDF的大小． 解：（1）∵AB∥CD，∠BCD＝110°，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°； （2）∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠ABC＝35°，∵DF∥BE，∴∠DFC＝∠EBF＝35°，∵∠DFC+∠BCD+∠CDF＝180°，∴∠CDF＝180°﹣35°﹣110°＝35°． 23．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题． （1）将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… 18 ∠α的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 …… 　 　 （2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． （3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）填表如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… 18 ∠α的度数 60° 45° 36° 30° …… 10° 故答案为：60°，45°，36°，30°，10°； （2）存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°，理由是：根据题意得：°＝20°， 解得：n＝9，即当多边形是正九边形，能使其中的∠α＝20°； （3）不存在，理由如下：假设存在正 n 边形使得∠α＝21°，得 ， 解得：，又 n 是正整数，所以不存在正 n 边形使得∠α＝21°． 24．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D． （1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数； （2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由． 解：（1）∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∴∠A＝2∠D，∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，∴∠A＝60°，∴∠D＝30°； （2）∠D＝（∠M+∠N﹣180°）；理由：延长BM、CN交于点A，则∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，由（1）知，∠D＝A，∴∠D＝（∠M+∠N﹣180°） 25．阅读材料： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论．这一方法也可以用来解决其他求角度的问题，如图，四边形ABCD是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线AC，则四边形内角和就转化为△ACB和△ACD内角和的和，为360°． 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC（∠BDC＜180°）与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整； 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的 （即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸， 连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的）． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　 　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　°． 解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E．则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角，∴∠BDE＝∠B+∠BAD，∠CDE＝∠C+∠CAD．∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，∴∠BDC＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC． （2）①如图2，由（1）得，∠CFD＝∠A+∠C+∠D，∴∠BFE＝∠CFD＝∠A+∠C+∠D， ∵∠BFE+∠B+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案为：180． ②如图3，由（1）得，∠DHE＝∠A+∠D+∠E，∴∠CHF＝∠DHE＝∠A+∠D+∠E， ∵∠F+∠B+∠C+∠CHF＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故答案为：360． 26．如图：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D＝∠C+∠B． （1）用“8字型” 如图（1）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． （2）造“8字型” 如图（2）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　． （3）发现“8字型” 如图（3）：BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线． ①图中共有　 　个“8字型”； ②若∠B：∠D：∠F＝4：6：x，求x的值． 解：（1）∵∠A+∠B＝∠GKH+∠GHK，∠C+∠D＝∠GHK+∠HGK，∠E+∠F＝∠HGK+∠GKH， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）＝2×180°＝360°，故答案为：360°； （2）如图，连接BC，∵∠E+∠G＝∠GCB+∠EBC，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝五边形FABCD的内角和，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（5﹣2）•180°＝540°，故答案为：540°； （3）①图中共有6个“8字型”；故答案为：6． ②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED∴∠DEG＝∠AEG，∠ACH＝∠BCH，∵在△DGE和△FGC中，∠DGE＝∠FGC∴∠D+∠DEG＝∠F+∠ACH∵在△BHC和△FHE中，∠BHC＝∠FHE∴∠B+∠BCH＝∠F+∠AEG∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH＝∠F+∠ACH+∠F+∠AEG∴∠D+∠B＝2∠F；∵∠B：∠D：∠F＝4：6：x，∠D+∠B＝2∠F，∴x＝5． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $