福建省福州第一中学2025-2026学年第一学期第二学段考试高三数学试卷

福州一中2025-2026学年第一学期第二学段模块考试 高三数学学科试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为非零向量，则“存在实数 ，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线 （为实数）为曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为上的奇函数，当 时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 7. 现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（ ） A. 7千克 B. 6千克 C. 5千克 D. 4千克 8. 已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某研究小组在一次实验中记录如下一组10个样本数据：，则（ ） A. 这组数据的众数是5 B. 这组数据的中位数是6 C. 这组数据的第80百分位数是12 D. 原数据中最左侧4个数据的方差比最右侧4个数据的方差大 10. 已知双曲线与，则（ ） A. 的离心率大于的离心率 B. 动直线与的交点的个数之和为0或2 C. 绕坐标原点顺时针旋转可得到 D. 的两条渐近线夹角的正切值为 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如已知函数，函数则下列说法中正确的有（ ） A. 函数在区间 上单调递增 B. 函数图象关于直线对称 C. 函数的值域是 D. 方程只有一个实数根 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若复数，则___________ 13. 有编号为1，2，3的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有__________种. 14. 实数，满足，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，. （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值. 16. 如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，四边形是梯形，，， . （1）证明：平面 平面； （2）若，求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 已知数列的前项和为，，数列满足：，且，分别为数列第二项和第三项. （1）求数列与数列的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和； （3）当 时，设集合，集合中元素的个数记为，直接写出数列的通项公式（不用说明理由）. 18. 已知函数，设在处的切线为直线. （1）求直线的方程； （2）若的图象在直线的上方（除点外）， ①求的取值范围； ②证明：对于任意的正整数，成立. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为2，过点作直线交椭圆于、两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与垂直且与轴交于点，若， ①证明：直线过定点； ②记①中的定点为，若 与的面积之比为3，求的值. 福州一中2025-2026学年第一学期第二学段模块考试 高三数学学科试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】38 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）取中点，连接，， 因为 是等边三角形，又，所以， ， 又， ，所以 ，所以四边形是平行四边形， 所以 ，所以，所以 ， 又 ，， 平面，所以 平面， 又平面 ，所以平面 平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1），； （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）①证明见解析；②或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $