2025-2026学年人教版数学九年级上册寒假提升卷（试题）

寒假提升卷（试题）2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、单选题 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2． 顶点是，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A． B． C． D． 3．将一元二次方程化为一般形式为（　　） A． B． C． D． 4．点关于原点对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（　　） A． B．2 C．2 D．3 6．在平面直角坐标系中，过点P(0，p)的直线AB交抛物线于A、B两点，已知A(a，b)，B(c，a)，且，则下列说法正确的是（　　） A．当且时，p有最大值 B．当且时，p有最小值 C．当且时，p有最大值 D．当且时，p有最小值 7．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（　　） 0 1 2 4 2 4.5 5 0 A． B． C． D． 8．定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 9．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（　　） A．5 B．2﹣2 C．6 D．2+2 10．当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)²+m²+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A． B． 或- C．2或- D．2或 或 二、填空题 11．将抛物线向左平移2个单位，得到一条新抛物线，其表达式是　 　． 12．把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点．若，则抛物线的解析式为　 　． 14．如图所示， 是的直径，，， 的切线与直线交于点，点是上一个动点． 过作， 垂足为， 则 的最大值为　 　． 15．如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有　 　（请写出所有正确结论的序号）． 16．如图，在 中， ， ， ，过点 作 的平行线 ， 为直线 上一动点， 为 的外接圆，直线 交 于 点，则 的最小值为　 　. 三、解答题 17． 解下列方程： （1）； （2）． 18． 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，0）和（4，-3）两点. （1）求二次函数的表达式. （2）求二次函数的顶点坐标和与x轴的交点坐标. 19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有二次函数关系.小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示： 飞行时间t/s 0 1 2 飞行高度 h/m 0 15 20 根据相关信息，解答下列问题： （1）求小球的飞行高度h(单位：m)关于飞行时间t(单位：s)的函数表达式.(不用体现自变量的取值范围) （2）小球从飞出到落地要用多少时间? （3）小球的飞行高度能否达到20.5m?如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由. 20．如图，用一段长为40 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为20 m，设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为x m，与墙平行的边BC的长为y m. （1） 求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2） 当为何值时围成的矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 21．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点为第二象限内拋物线上的一点，连接. （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点作轴于点，若，求的值； （3）如图2，设与的交点为，连接，是否存在点，使?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 22．在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点.已知函数，且是的相切函数，为切点. （1）试写出切点的坐标（　 　，　 　），及与的关系式　 　. （2）当m，n分别取以下两组值时，①m=2，n=-2；②m=-3，n=3，不等式是否成立？说明理由. 23．某旅游景区一宾馆重新装修后，有50间房可供游客居住.经市场调查发现，每间房每天的定价为160元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会有一间房空闲.如果游客居住房间，每间房每天需支出60元的各项费用.设每天每间房的定价增加x元，宾馆获利为y元. （1）求y关于x的函数关系式(不用写出自变量的取值范围)； （2）物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利8000元? 24．乡村振兴战略实施以来，农村产业经济快速发展.红旗村养鸡专业户李明2023年的纯收入是8万元，预计2025年的纯收入可达到11.52万元. （1）求李明这两年纯收入的年平均增长率； （2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长60米，要使围成的养鸡场面积最大，则养鸡场与墙平行的一边的长度应是多少米？最大面积是多少平方米？ 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 【解析】【解答】解：由已知可得. 故答案为：C . 【分析】先根据抛物线的顶点坐标确定顶点式中的h和k，再根据开口方向和形状确定a的值，最后结合选项选出正确答案. 3．【答案】B 4．【答案】A 【解析】【解答】解：关于原点对称的点的坐标为． 故选：A． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案. 5．【答案】C 6．【答案】D 【解析】【解答】解：依题意，过点P(0，p)的直线AB交抛物线 于A(a，b)，B(c，a)两点， 设直线y= kx+p， 联立， 即 ∴a，c是方程 的两根， 即 ac= -p， a+c=k， ∵a<c， ∴B(c，a)在y=x的下方， 联立， 解得： 或 ∴0<c≤1， ∵B(c，a)在抛物线上， 则( ∴0<a≤1， ∴ac> 0， 当 ac>0且a+c=1， ， 有最小值， 故选： D. 【分析】设直线y= kx+p，联立直线与抛物线解析式得出a，c是方程 的两根，进而根据a<c， 得出B(c，a)在y=x的下方， 得出0<c≤1， 则0﹤a≤1， 即可得出 ac>0， 进而结合选项，进行判断即可求解. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：设二次函数解析式为 根据题意得， 解得 ∴ ∴ ∴． 故答案为：C． 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，配方成顶点式求出对称轴即可解题． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：由不动点的定义可令， 即求在内函数与函数有两个不同交点， ， ①， 即可转化为与在内有两个不同交点， 又恒过点， 画出两个函数与的图象如图所示， 当过点时，，可得，此时符合题意， 对①方程整理可得，令△， 即，从而可得， 解得：，又此时， 故． 当时，无法满足题意，即与在内不能产生两个交点． 故的范围为． 故答案为：D． 【分析】 根据题干中不动点的定义可令，即求在内函数与函数有两个不同交点，即，整理后即可转化为与在内有两个不同交点的问题，又恒过点，画出两个函数与的图象，分类讨论即可解答． 9．【答案】B 10．【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数y=-(x-m)2+m2+1的顶点为(m，m2+1)，对称轴为直线x=m。 （1）当m＜-2时，对称轴x=m在-2≤x≤1范围的左侧，此时在-2≤x≤1范围内y随着x的增大而减小，所 当x=-2时，y值最大，所以有4=-(-2-m)2+m2+1，解得m=-，因为-＞-2，所以m=-舍去； (2)当-2≤m≤1时，对称轴x=m在-2≤x≤1范围内，所以当x=m时，y有最大值，所以4=m2+1，解得m=-(因为＞1，舍去)； (3)当m＞1时，对称轴x=m在-2≤x≤1范围的右侧，此时函数在-2≤x≤1的范围内y随看x的增大而增大，所 以当x=1时，y值最大，所以4=-(1-m)2+m2+1，解得m=2： 综上得：当m=2或m=-时，二次图数y=-(x-m)2+m2+1在-2≤x≤1范围内有最大值4. 故答案为：C. 【分析】先求出抛物线的顶点坐标和对称轴，然后根据二次函数的性质分别在（1）当m＜-2时、(2)当-2≤m≤1时、(3)当m＞1时利用最大值为4列出方程求解即可得解。 11．【答案】 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵二次函数顶点坐标为，a=1＞0，开口方向向上， ∴图象绕原点旋转后得到的二次函数图象的顶点坐标为，开口方向向下， ∴旋转后的新函数图象的解析式为． 故答案为：． 【分析】根据抛物线的顶点式求出原二次函数的顶点坐标并根据a的符号判断抛物线的开口方向，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可． 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】②③ 【解析】【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ，②正确； 时函数取最大值， ， ，即，③正确． 由图象可得函数最大值大于2， 有两个不相等的实数根，， 有两个不相等的实数根，， 图象对称轴为直线， ，． ， ∴关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4； ④错误． 故答案为：②③. 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可. 16．【答案】2 【解析】【解答】解：如图，连接CE. ∵AP∥BC， ∴∠PAC=∠ACB=60°， ∴∠CEP=∠CAP=60°， ∴∠BEC=120°， ，为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧 如图，点E在以M为圆心，MB为半径的 上运动，过点 作 ∴ 中优弧 度数为 =240°，则劣弧 度数为120° ∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°， ∵∠BCM=30°，BC= ， ∴MB=MC=8， ∴连接MA交 于E′，此时AE′的值最小. ∵∠ACB=60°，∠BCO=30°， ∴∠ACM=90°， ∴MA= = ， ∴AE的最小值为= . 故答案为：2 【分析】如图，连接CE.先求出∠BEC=120°，由此可得点E在以M为圆心，MB为半径的 上运动，连接MA交 于E′，此时AE′的值最小，求出此时AE′的值即可. 17．【答案】（1）解：， ， 或， 解得：； ​​​​​​ （2）解： 或 解得：，． 【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案. （2）直接开方解方程即可求出答案. （1）解：， ， 或， 解得：； （2）解： 或 解得：，． 18．【答案】（1）解：将 （1，0）和（4，-3） 代入 二次函数y=x2+bx+c 中， 得， 解得 ∴ 二次函数的表达式为y=x2-6x+5. （2）解：令y=0， 即x2-6x+5=0 ， 解得x1=1，x2=5， ∴与x轴交点坐标为（1，0），（5，0）， 又y=x2-6x+5=（x-3）2-4， ∴ 二次函数的顶点坐标为（3，-4）， 综上所述， 二次函数的顶点为（3，-4），与x轴交点为（1，0），（5，0）. 【解析】【分析】⑴根据待定系数法，将 （1，0）和（4，-3） 代入表达式求b、c即可. ⑵根据顶点式得顶点坐标，令y=0，得到与x轴的交点坐标. 19．【答案】（1）解：∵抛物线过原点(0，0)， ∴设该二次函数解析式为 将(1，15)、(2，20)代入， 得： 解得 ∴小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式为 （2）解：小球飞出和落地时的高度都为0，令h=0， 得方程： 解这个方程得： 所以小球从飞出到落地要用4s （3）解：令h=20.5，得方程 整理得： 因为 所以方程无实数根， 所以小球的飞行高度不能达到20.5m 【解析】【分析】(1)设该二次函数解析式为 将(1，15)、(2，20)代入求出a、b的值即可； (2)当h=0时， 解方程即可解答； (3)当h=20.5，得方程 解方程即可解答. 20．【答案】（1）解：由题意知y=40-2x，40-2x≤20得x≥10； （2）解：菜园面积 当x=时，S取最大值， 最大值Smax=. 【解析】【分析】(1)直接根据题意得y与x之间的函数关系式，由BC不大于20m可得x的取值范围； (2)由题意可得面积关于x的二次函数关系，当x=10时，面积取最大值，代入即可求出最大面积. 21．【答案】（1）解：把代入得， ∴点坐标为，， ∵， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 即点坐标为，点坐标为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：设交轴于点， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 得，解得， ∴， 令， 解得或， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 作轴交延长线于点， ∵， ∴为中点， ∴ ∴， 设，则， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴ ∵点在直线上， ∴， 该方程无解， ∴符合题意的点不存在. 【解析】【分析】(1)由解析式求出C的坐标，可得出OC长，再根据，求出AB长，再根据对称轴为得出A、B的坐标，代入抛物线解析式即可求出； （2）设PB与y轴交于点E，由∠BPD=2∠BCO得∠BEO=2∠BCE，加上∠BEO=∠BCE+∠EBC得∠BCE=∠EBC，进而得出CE=BE；通过勾股定理求出OE长，由B、E坐标得出PB解析式，PB解析式与抛物线解析式联立得出D横坐标，进而求出AD、BD的长； （3）作PM∥x轴交AC延长线于点M，由可得Q为PB中点，进而由ASA得出求出PM=AB=5；设，可用含t的代数式表示点M坐标，再求出直线AC的解析式，将M坐标代入求解，t无实数根，故不存在. 22．【答案】（1）1；0；m+n=0 （2）解：方法 1： ①当 时， ， 要使 成立， 即使 ， 即 ，而 ， 当 时， 不能使 成立； ②当 时， ， 要使 成立， 即使 ， ， 即 ， 当 时，能使 成立. 方法 2： 要使 成立， 即使 成立， 由 (1) 知 ， 即 ， $即 又即 当 时， 成立， ①当 时， 不成立； ②当 时， 成立. 【解析】【解答】解：（1）联立，得：mx2+（n-m）x-n=0 ∵有一个公共点 ∴（n-m）2+4mn=0， ∴（n+m）2=0， ∴m+n=0， ∴n=-m， 把n=-m代入方程mx2+（n-m）x-n=0得，x2-2x+1=0， 解得x=1， 把n=-m，x=1，代入y2=mx+n得，y2=0 ∴切点P的坐标为（1，0）. 故答案为：1，0，m+n=0. 【分析】（1）联立，得：mx2+（n-m）x-n=0，根据有一个公共点从而求出m、n的关系，然后代入方程及函数即可求得。 （2）分别把 ①m=2，n=-2；②m=-3，n=3， 代入比较函数值即可得出答案. 23．【答案】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【解析】【分析】（1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 24．【答案】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x， 由题意得：11.52=8(1+x)2. 解得：x=20%(不合题意的值已舍去)， 即两年纯收入的年平均增长率为20% （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米(0<x≤60)，则其垂直的边长为， 设面积为sm2， 则， 即养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米，最大面积是1250m2. 【解析】【分析】(1)由题意得：11.52=8(1+x)2，即可求解； (2)设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米(0<x≤60)，则其垂直的边长为，则，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $