2026年中考数学一轮复习讲义 专题26图形的变化(核心考点+模拟真题突破)全国通用版

专题26图形的变化中考一轮复习讲义 【15大典题模拟真题共计99题】 ●分值占比:占比：15-20 分，占中考数学总分 10%-15%题型：覆盖选择、填空、解答题，解答题含中档题与压轴题，是拉分关键模块 ●常考考点: 图形变换基础（30%）：平移（坐标计算）、旋转（判定 + 坐标 / 角度）、轴对称 / 中心对称（图形识别、对称轴数量）、位似（相似比 + 坐标） 性质应用与计算（40%）：折叠（线段 / 角度，结合勾股 / 相似）、相似三角形（判定 + 比例计算）、三角函数（定义 / 特殊角、解直角三角形） 综合与实际（30%）：轴对称最短路径（将军饮马）、实际场景（方向角、坡度、光的反射）、跨模块压轴（变换 + 函数 / 圆） ●命题趋势:基础题（40%）：简单识别、计算（如对称图形判断）中档题（40%）：性质综合（如折叠 + 勾股）难题（20%）：多变换融合、动态几何、实际建模 01:平移变换判定与坐标计算 02:平移性质的几何综合应用 03:旋转变换基础判定与计算 04:旋转性质的综合几何应用 05:轴对称/中心对称图形识别与判定 06:折叠(轴对称)性质的几何应用 07:轴对称最短路径问题 08:中心对称与坐标变换 09:比例线段与黄金分割 10:相似三角形判定与性质 11:位似变换判定与计算 12:锐角三角函数与解直角三角形 13:解直角三角形的实际应用 14:三角函数与图形综合计算 15:综合压轴(相似/投影/三视图/图形变换) . 知识点01:三大基本变换：平移、轴对称、旋转 1. 平移 (1)定义：沿某一方向移动一定距离，形状、大小、方向都不变。 (2)性质： 对应线段平行（或共线）且相等 对应点所连线段平行（或共线）且相等 对应角相等 (3)坐标变化（平面直角坐标系）： 向右 / 左：横坐标 ±a，纵坐标不变 向上 / 下：纵坐标 ±b，横坐标不变 2. 轴对称（翻折） 定义：沿一条直线折叠，直线两旁部分完全重合。 性质： (1)对应点连线被对称轴垂直平分 (2)对应线段相等，对应角相等 (3)对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 常见轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形 3. 旋转 定义：绕一个定点（旋转中心）按一定角度(旋转角)转动。 性质： (1)对应点到旋转中心距离相等 (2)对应线段相等，对应角相等 (3)旋转角相等（任意一组对应点与旋转中心连线的夹角） 中心对称：旋转 180° 后与自身重合. 中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶边形 知识点02:位似（特殊的相似变换） 定义：两个图形相似，且对应顶点连线交于一点（位似中心），对应边互相平行。 性质： (1)位似图形一定是相似图形，相似比 = 位似比 (2)对应点到位似中心距离之比 = 位似比 (3)对应边平行（或共线） 坐标位似：以原点为位似中心，位似比 k，则坐标变为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) 知识点03:图形变换的共同性质（必背） 平移、轴对称、旋转：全等变换 形状、大小不变，只改变位置 位似、相似：相似变换 形状相同，大小成比例 知识点04:易错点提醒 1.旋转要注意：旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素缺一不可 2.轴对称 ≠ 中心对称，正方形、圆既是轴对称也是中心对称 3.折叠问题：折痕 = 对称轴，常结合勾股定理、方程思想 4.位似中心可以在图形内、外、边上，不要默认在原点 5.变换只改变位置，全等变换面积不变 【模拟01.平移变换判定与坐标计算】 1．（2025·天津河东·二模）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为 ． 2．（2025·云南丽江·一模）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，到达点处，则点的坐标是 ． 3．（2025·内蒙古兴安·模拟预测）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 4．（2025·全国·一模）在平面直角坐标系中，已知，两点，若将线段沿一定方向平移，平移后M点的对应点为，N点的对应点为，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东菏泽·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为 ． 6．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ． 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【模拟02.平移性质的几何综合应用】 8．（2025·江苏南京·二模）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 9．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是 ． 10．（2025·浙江杭州·三模）如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 11．（2025·安徽安庆·二模）如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A． B． B． C． D． 12．（2025·山东淄博·一模）如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是 ． 13．（2025·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向上平移4个单位长度得到，再将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线：经过点N，且与x轴交于的中点P，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移n个单位，若的各边始终与直线或直线有交点，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【模拟03.旋转变换基础判定与计算】 15．（2025·广东东莞·三模）2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 16．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 17．（2025·北京西城·二模）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 18．（2025·吉林长春·一模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·湖南邵阳·三模）如图，点A的坐标是，B的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·山东青岛·二模）如图，将先向右平移个单位，再绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ． 21．（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【模拟04.旋转性质的综合几何应用】 22．（2025·四川成都·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，抛物线上点C的横坐标为点坐标为，连接，点M为平面内任意一点，将绕点M旋转得到对应的(点，D的对应点分别为点，若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为 (点不与点A重合)． 23．（2025·浙江台州·三模）在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 24．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，连接，作等腰直角三角形，，连接交于点G，交于点H．若，则的长为 ． 25．（2025·江苏南京·二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（    ） . A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 26．（2025·江苏南京·二模）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 27．（2025·山东济南·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，，，若将绕原点O顺时针旋转，则点B的坐标变为 ． 28．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在菱形中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且，，以为边构造等边三角形，将和菱形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点E的对应点记为，第二次旋转结束时记为，依次类推，第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【模拟05.轴对称/中心对称图形识别与判定】 29．（2025·陕西西安·二模）中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·全国·一模）下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 31．（2025·山东聊城·三模）下列图形中，对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 32．（2025·广东珠海·二模）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 33．（2025·江西景德镇·一模）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（    ）    A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 34．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 35．（2025·广东广州·二模）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     36．（2025·河北邯郸·二模）如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【模拟06.折叠(轴对称)性质的几何应用】 37．（2025·山西晋城·二模）小花将三角形纸片按照下面四种方式折叠，得到，则是的高的是（   ） A．B． C．D． 38．（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 39．（2025·湖北武汉·一模）如图，在矩形中，，是边上一点，点关于的对称点为，连接并延长交于点．设．若是的中点，则的值为 ． 40．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上．将该正方形沿折叠，使点A落在边上的点M处，连接，与折痕交于点P． （1）若M是的中点，则的长为 ； （2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ． 41．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，现有三角形纸片，，折叠纸片，使得点与点重合，得到折痕，然后还原；再次折叠纸片，使得上的点与上的点重合，得到折痕，然后还原，且，，三条线段相交于同一点． （1）若，，则 ．（用含的式子表示） （2）若，，，则的长为 ． 【模拟07.轴对称最短路径问题】 43．（2025·北京丰台·二模）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案： 方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 44．（2025·河北·三模）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 45．（2025·湖北鄂州·二模）如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为 46．（2025·天津红桥·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点A，B均在格点上，且． （1）线段的长等于 ； （2）若D为圆与网格线的交点，P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 47．（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 48．（2025·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为 ． 49．（2025·江苏扬州·一模）如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． .【模拟08.中心对称与坐标变换】 50．（2025·山东威海·一模）在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是 ． 51．（2025·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的顶点C、A分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连结．若的面积为3，则k的值为 ． 52．（2025·贵州黔东南·二模）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 53．（2025·全国·一模）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为 ． 54．（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 55．（2025·上海·模拟预测）有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（    ） A．顶角是的等腰三角形 B．顶角是的等腰三角形 C．有一个锐角是的直角三角形 D．有一个锐角是的直角三角形 【模拟09.比例线段与黄金分割】 56．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 57．（2025·江苏盐城·二模）如图，已知，，，，则 ． 58．（2025·浙江丽水·二模）如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 59．（2025·四川成都·三模）如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 60．（2025·广东云浮·一模）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．方程 有实数根 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 61．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，若，则的长为 ． 62．（2025·陕西榆林·一模）如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【模拟10.相似三角形判定与性质】 63．（2025·北京门头沟·二模）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 64．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当 或 或 时，与相似． 65．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 66．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度 cm． 67．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 68．（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 69．（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为 ． 【模拟11.位似变换判定与计算】 70．（2025·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 71．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） 如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点， A．3 B．4 C．5 D．6 72．（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为 ． 73．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 74．（2025·广西梧州·一模）以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 75．（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 是以点为位似中心经过位似变换得到的， 且位似比为， 若， 则的长度为（    ） A． B． C． D． 【模拟12.锐角三角函数与解直角三角形】 76．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 77．（2025·浙江丽水·二模）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 78．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 79．（2025.·广东东莞·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 80．（2025·江苏常州·二模）的值为（    ） A． B． C． D．1 81．（2025·天津·一模）下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【模拟13.解直角三角形的实际应用】 82．（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元． 83．（2025·广东江门·三模）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 84．（2025·福建·二模）在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀．如图，学校要为某会议室的天花板上嵌入灯带，工人师傅将平面镜放置在点A处，使得沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射后恰好落在灯带的左侧端点C处，此时利用测角仪测得天花板边缘O的仰角为，移动平面镜到达点B处，此时沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的右侧端点D处，此时测得天花板边缘O的仰角为，该会议室天花板的高度为，则灯带的长约为 ．（结果精确到，参考数据：） 85．（2025·河南商丘·二模）光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 86．（2025·湖北武汉·三模）如图，某活动小组为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳处测得古亭位于北偏东方向，他们向南走50m到达点，测得古亭位于北偏东方向．古亭与古柳之间的距离约为 m（结果精确到1m，参考数据：）． 87．（2025·云南昆明·二模）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【模拟14.三角函数与图形综合计算】 88．（2025·湖北武汉·二模）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 89．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 90．（2025·宁夏银川·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为 ． 91．（2025·广东惠州·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 92．（2025·浙江金华·二模）当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是(     ) A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90° C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30° 93．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则 ． 【模拟15.综合压轴(相似/投影/三视图/图形变换】 94．（2025·北京石景山·二模）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 95．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点，连接，则的长为 ． 96．（2025·山东泰安·二模）如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 97．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 98．（2025·广东深圳·二模）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 99．（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26图形的变化中考一轮复习讲义 【15大典题模拟真题共计99题】 ●分值占比:占比：15-20 分，占中考数学总分 10%-15%题型：覆盖选择、填空、解答题，解答题含中档题与压轴题，是拉分关键模块 ●常考考点: 图形变换基础（30%）：平移（坐标计算）、旋转（判定 + 坐标 / 角度）、轴对称 / 中心对称（图形识别、对称轴数量）、位似（相似比 + 坐标） 性质应用与计算（40%）：折叠（线段 / 角度，结合勾股 / 相似）、相似三角形（判定 + 比例计算）、三角函数（定义 / 特殊角、解直角三角形） 综合与实际（30%）：轴对称最短路径（将军饮马）、实际场景（方向角、坡度、光的反射）、跨模块压轴（变换 + 函数 / 圆） ●命题趋势:基础题（40%）：简单识别、计算（如对称图形判断）中档题（40%）：性质综合（如折叠 + 勾股）难题（20%）：多变换融合、动态几何、实际建模 01:平移变换判定与坐标计算 02:平移性质的几何综合应用 03:旋转变换基础判定与计算 04:旋转性质的综合几何应用 05:轴对称/中心对称图形识别与判定 06:折叠(轴对称)性质的几何应用 07:轴对称最短路径问题 08:中心对称与坐标变换 09:比例线段与黄金分割 10:相似三角形判定与性质 11:位似变换判定与计算 12:锐角三角函数与解直角三角形 13:解直角三角形的实际应用 14:三角函数与图形综合计算 15:综合压轴(相似/投影/三视图/图形变换) . 知识点01:三大基本变换：平移、轴对称、旋转 1. 平移 (1)定义：沿某一方向移动一定距离，形状、大小、方向都不变。 (2)性质： 对应线段平行（或共线）且相等 对应点所连线段平行（或共线）且相等 对应角相等 (3)坐标变化（平面直角坐标系）： 向右 / 左：横坐标 ±a，纵坐标不变 向上 / 下：纵坐标 ±b，横坐标不变 2. 轴对称（翻折） 定义：沿一条直线折叠，直线两旁部分完全重合。 性质： (1)对应点连线被对称轴垂直平分 (2)对应线段相等，对应角相等 (3)对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 常见轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形 3. 旋转 定义：绕一个定点（旋转中心）按一定角度(旋转角)转动。 性质： (1)对应点到旋转中心距离相等 (2)对应线段相等，对应角相等 (3)旋转角相等（任意一组对应点与旋转中心连线的夹角） 中心对称：旋转 180° 后与自身重合. 中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶边形 知识点02:位似（特殊的相似变换） 定义：两个图形相似，且对应顶点连线交于一点（位似中心），对应边互相平行。 性质： (1)位似图形一定是相似图形，相似比 = 位似比 (2)对应点到位似中心距离之比 = 位似比 (3)对应边平行（或共线） 坐标位似：以原点为位似中心，位似比 k，则坐标变为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) 知识点03:图形变换的共同性质（必背） 平移、轴对称、旋转：全等变换 形状、大小不变，只改变位置 位似、相似：相似变换 形状相同，大小成比例 知识点04:易错点提醒 1.旋转要注意：旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素缺一不可 2.轴对称 ≠ 中心对称，正方形、圆既是轴对称也是中心对称 3.折叠问题：折痕 = 对称轴，常结合勾股定理、方程思想 4.位似中心可以在图形内、外、边上，不要默认在原点 5.变换只改变位置，全等变换面积不变 【模拟01.平移变换判定与坐标计算】 1．（2025·天津河东·二模）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移；根据点坐标“右加左减、上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】解：点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的横坐标为，纵坐标为，即， 故答案为：． 2．（2025·云南丽江·一模）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，到达点处，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查坐标与图形变化平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【详解】解：将点向右平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是，即． 故答案为：． 3．（2025·内蒙古兴安·模拟预测）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 4．（2025·全国·一模）在平面直角坐标系中，已知，两点，若将线段沿一定方向平移，平移后M点的对应点为，N点的对应点为，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，先根据点M及其对应点坐标得出平移方向和距离，据此得出点N的对应点坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由点的对应点，知线段向右平移2个单位，向上平移4个单位， ∴点的对应点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 所以直线的表达式为， 故选：A． 5．（2025·山东菏泽·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 6．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A的坐标为，再根据平移后点O的对应点的坐标为，得点A的对应点的横坐标为，纵坐标为，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵矩形的顶点， ∴点A的坐标为， ∵平移后点O的对应点的坐标为， ∴点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵线段平移到线段， ∴线段向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到线段， ∴． 故选：C 【模拟02.平移性质的几何综合应用】 8．（2025·江苏南京·二模）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 9．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 10．（2025·浙江杭州·三模）如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质：“对应点所连线段平行（或共线）且相等；对应线段平行（或共线）且相等．”是解题的关键．利用平移的性质，找出对应线段相等的关系，进而求出阴影部分的周长． 【详解】解：由题知，由沿方向平移得到， ， 阴影部分的周长为：（cm）． 故选：B． 11．（2025·安徽安庆·二模）如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质与二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．（2025·山东淄博·一模）如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的旋转，图形与坐标，根据题意画出图形即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点的坐标是， 故答案为：． . 13．（2025·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向上平移4个单位长度得到，再将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，先根据题意画出，进而画出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，，即为所求， ∴点的坐标是， 故选：C． 14．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线：经过点N，且与x轴交于的中点P，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移n个单位，若的各边始终与直线或直线有交点，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及坐标与图形变化﹣平移，根据题意得出，当点A在直线上时，n取得最小值，当点B在直线上时，n取得最大值，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，将代入得，， 所以点N的坐标为， 将代入得，， 所以点M的坐标为， 因为点P为的中点， 所以点P的坐标为， 将点N和点P的坐标代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为， 根据所给平移方式可知，平移后各点坐标为，，， 因为的各边始终与直线或直线有交点， 所以当点A在直线上时，n取得最小值，此时将代入得， ， 解得； 当点B在直线上时，n取得最大值，将代入得， ， 解得， 所以n的取值范围是：． 故选：D． 【模拟03.旋转变换基础判定与计算】 15．（2025·广东东莞·三模）2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及位似是解题的关键；因此此题可根据平移、旋转、轴对称及位似可进行求解． 【详解】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转； 故选：B． 16．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图—旋转变换和轴对称，解题的关键：利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到，然后根据对称的性质画出点、关于轴对称的点、，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，和即为所作， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 17．（2025·北京西城·二模）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在等腰中，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 18．（2025·吉林长春·一模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解． 【详解】解：由题意得，正八边形的中心角为， ∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为， 故选：． 19．（2025·湖南邵阳·三模）如图，点A的坐标是，B的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换——旋转，画出旋转后图形，根据旋转的性质可得，，由此可解． 【详解】解：点A的坐标是，B的坐标是， 轴，，， 将绕点O顺时针旋转得到，如图： 轴，，， 点的坐标是， 故选：B． 20．（2025·山东青岛·二模）如图，将先向右平移个单位，再绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变换旋转、平移，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 根据平移和旋转的性质，将先向右平移个单位，再绕点按顺时针方向旋转，得到，根据图写出点的坐标即可． 【详解】解：如图， 即为所求， 由图可知． 故答案为： 21．（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 【模拟04.旋转性质的综合几何应用】 22．（2025·四川成都·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，抛物线上点C的横坐标为点坐标为，连接，点M为平面内任意一点，将绕点M旋转得到对应的(点，D的对应点分别为点，若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为 (点不与点A重合)． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线的性质、中心旋转的坐标变换及中点坐标公式，解题的关键是分情况讨论中落在抛物线上的两个点，结合抛物线解析式与坐标变换列方程求解． 先求出抛物线与x轴交点A、B及点C的坐标；再分三种情况与在抛物线上、与在抛物线上、与在抛物线上），利用抛物线对称轴、中点坐标公式或平移规律表示对应点坐标，代入抛物线解析式求解，舍去重合的情况后得到点的坐标． 【详解】解：令，解得：或，则函数的对称轴为， 当时，则， 即点； 以下分三种情况讨论： ①当点、在抛物线上时，如图， 由，抛物线的对称轴为， 则点的横坐标为， 当时，， 则点， 设点为， 由中点坐标公式得：且， 解得：，， 即点的坐标为：； ②当在抛物线上时， 设点的坐标为：， 由点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点， 将点的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：； ③当、在抛物线上时， 设点的坐标为：， 由点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点， 将点的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：， 该点和点重合，故舍去； 综上，点的坐标为：或， 故答案为：或． 23．（2025·浙江台州·三模）在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线（旋转三角形）将分散的角和线段关系集中，利用等边三角形和直角三角形的性质建立等量关系求解． 将绕点A顺时针旋转得到利用旋转性质得到结合等边三角形性质证为等边三角形，得通过角度计算推出；在中用勾股定理求出的长，进而得到的长． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转，得到连接． ∵是等边三角形， ∴． 由旋转性质得：． ∴ ，即． 又∵ ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵ 是等边三角形，故． ∴． 在中，，， ∴斜边． 由勾股定理得：即 解得，． 故选：A． 24．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，连接，作等腰直角三角形，，连接交于点G，交于点H．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】将绕点D顺时针旋转，得到，连接，证明，得出相等的边和角，利用勾股定理求出，，作于点K，最后利用勾股定理和线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 将绕点D顺时针旋转，得到，连接，则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵由勾股定理得，， ∴， 作于点K，则， ∴， ∴， ∵由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 25．（2025·江苏南京·二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（    ） . A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：将菱形ABCD向右平移至点B与点G重合，然后以点G为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；故①符合题意； 将菱形ABCD向右平移至点C与点F重合，然后以过点F的垂线为对称轴翻折即可得到菱形AEFG；故②符合题意； 将菱形ABCD以点A为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG； 设直线BD、GE相交于点O，将菱形ABCD以点O为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG； 但旋转中心只有点A和点O两个个，故③不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 26．（2025·江苏南京·二模）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 【详解】解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 27．（2025·山东济南·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，，，若将绕原点O顺时针旋转，则点B的坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，坐标与旋转，过点作，设，分别解和，表示出的长，再根据，列出方程求出的值，进而求出的长，根据旋转的性质，求出旋转后点的坐标即可． 【详解】解：过点作，设， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 旋转后点的位置为的位置，作轴，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为： 28．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在菱形中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且，，以为边构造等边三角形，将和菱形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点E的对应点记为，第二次旋转结束时记为，依次类推，第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转可知，每4次旋转一个循环，而，即点的坐标与点的坐标相同；利用菱形的性质及等边三角形的性质可求得点E的坐标，利用全等三角形的判定与性质可求得的坐标，从而求得结果． 【详解】解：如图，连接，过作轴于点F， 由题意，当旋转到时，则E与关于原点对称， 旋转到时，与关于原点对称，旋转到， 即点E的位置，每4次旋转一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E在第一象限，且是顺时针旋转， ∴点在第四象限， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，规律型：点的坐标，坐标与图形变化—旋转，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【模拟05.轴对称/中心对称图形识别与判定】 29．（2025·陕西西安·二模）中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 30．（2025·全国·一模）下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意． D、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． 故选：C． 31．（2025·山东聊城·三模）下列图形中，对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，以及对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线是对称轴． 分别求出每一个图形的对称轴数量，即可求解． 【详解】解：A、有2条对称轴； B、有5条对称轴； C、有0条对称轴； D、有4条对称轴； ∴对称轴数量最多的B， 故选：B． 32．（2025·广东珠海·二模）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了镜面对称的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称，然后分别求出每个选项中的时间，进而求解即可． 【详解】解：A、实际时间大约为； B、实际时间大约为； C、实际时间大约为； D、实际时间大约为； ∴实际时间最接近的是． 故选：D． 33．（2025·江西景德镇·一模）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（    ）    A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示，    一共有3种涂法， 故选：B． 34．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法，熟练掌握点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，根据整点可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵点是第三象限内的整点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点M与点N关于x轴对称， ∴； 故选B． 35．（2025·广东广州·二模）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 36．（2025·河北邯郸·二模）如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 【模拟06.折叠(轴对称)性质的几何应用】 37．（2025·山西晋城·二模）小花将三角形纸片按照下面四种方式折叠，得到，则是的高的是（   ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，正确理解三角形的高的定义是解题关键．根据三角形高的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，垂直于， 则当点、共线时，是的高， 故选：C． 38．（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键．根据轴对称的性质，观察选项中右下角的图是否符合图3最右边的图即可得出答案． 【详解】 解：A、中右下角的图符合图3最右边的图，符合题意； B、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； C、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； D、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； 故选：A． 39．（2025·湖北武汉·一模）如图，在矩形中，，是边上一点，点关于的对称点为，连接并延长交于点．设．若是的中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，设与相交于点，由矩形的性质可得，，，即得四边形是矩形，由轴对称的性质得，，进而利用余角性质可得，即得，得到，即得，由可证，即得，得到，，即得到，，可得，再根据代入计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，设与相交于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，四边形是矩形， 由轴对称的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去） ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 40．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上．将该正方形沿折叠，使点A落在边上的点M处，连接，与折痕交于点P． （1）若M是的中点，则的长为 ； （2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ． 【答案】 /3.75 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理解三角形，轴对称的最短路径问题，解决本题的关键是做辅助线，确定． （1）由折叠的性质可得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据勾股定理求解的长即可； （2）取的中点Q，根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质可得是的垂直平分线， ， 设，则. 是的中点， ， 在中，， 即， 解得， 即的长为， 故答案为：； （2）如图，取的中点Q，连接，，，由折叠的对称性可知. 为的中点，为直角三角形， ， ， 当且仅当D，P，Q三点共线时最小， 最小值． 故答案为： ． 41．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 42．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，现有三角形纸片，，折叠纸片，使得点与点重合，得到折痕，然后还原；再次折叠纸片，使得上的点与上的点重合，得到折痕，然后还原，且，，三条线段相交于同一点． （1）若，，则 ．（用含的式子表示） （2）若，，，则的长为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到垂直平分，得到，得出，根据直角三角形的性质得到，根据等边对等角得到，三角形内角和定理，三角形外角的性质，计算即可得到答案； （2）作于点，求出，根据平行线分线段成比例得到，得到． 【详解】解：（1）根据题意得垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为； （2）如图，作于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【模拟07.轴对称最短路径问题】 43．（2025·北京丰台·二模）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案： 方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置． 故选：C； 44．（2025·河北·三模）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 45．（2025·湖北鄂州·二模）如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路径为以为直径且位于矩形内部的半圆，作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径且位于矩形内部的半圆， 作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：7． 46．（2025·天津红桥·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点A，B均在格点上，且． （1）线段的长等于 ； （2）若D为圆与网格线的交点，P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）取点所在竖向格线与圆的交点，连接交于点，则，点为圆心，取与中间竖向格线的交点，取与竖向格线的交点，作直线交竖向格线的交点，连接交圆于点，过点作直径，连接交直径于点，点P即为所作． 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：如图，点P即为所作， ． 由作图知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 由垂径定理知和关于直径对称， ∴， ∴， ∴点P即为所作． 47．（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 48．（2025·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题涉及到矩形的性质及判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及利用轴对称求最短路径的知识点． 连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，，先根据矩形性质和已知条件得出四边形是平行四边形，进而得到四边形是矩形，将转化为；再利用点P是中点及长度固定，确定点P的运动轨迹；最后根据两点之间线段最短，用勾股定理求出的最小值． 【详解】解：连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，， ， 矩形中，，， ， ， 四边形 是平行四边形， 是矩形， ， ， ， ， ， ， 中，， ，点P为的中点，， ， 点在以点为圆心，为半径的弧上， ， 四点共线时，最小， 此时，最小， 即最小， ， 故答案为：12． 49．（2025·江苏扬州·一模）如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据△AMC≌△QPE≌△BPD，可知PM=AB，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，经过点P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△QPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确画出分割线是解题的关键． .【模拟08.中心对称与坐标变换】 50．（2025·山东威海·一模）在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是根据题意列出算式． 先根据题意，列出算式，再计算． 【详解】解：∵在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为， ∴点表示的数是． 故答案为：． 51．（2025·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的顶点C、A分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连结．若的面积为3，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】根据反比例函数值的几何意义解答即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值的几何意义是关键． 【详解】解：矩形的对称中心是， 连接，则点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 52．（2025·贵州黔东南·二模）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 【答案】（2，﹣1） 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 53．（2025·全国·一模）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 54．（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P关于原点O的对称点是，进而求出即可． 【详解】解：∵点M与点N关于原点对称， ∴，， 故． 故选：C． 55．（2025·上海·模拟预测）有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（    ） A．顶角是的等腰三角形 B．顶角是的等腰三角形 C．有一个锐角是的直角三角形 D．有一个锐角是的直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心对称图形的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得：拼成的正多边形的边数为奇数，分别求出每个选项中各个三角形的内角，进而得到组成的正多边形的内角，再根据正多边形的内角和公式判断出正多边形的边数，即可求解． 【详解】解：这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形， 拼成的正多边形的边数必为奇数， A、对于顶角是的等腰三角形，要拼成正多边形，意味着正多边形的内角必须是该等腰三角形内角的正整数倍，由于正多边形的内角和公式为，那么每个内角为，若用该等腰三角形拼成正多边形，需满足是的正整数倍或其底角的正整数倍，该等腰三角形底角为，因为和都不能满足要求，所以无法构成正多边形，A选项错误，不符合题意； B、顶角是的等腰三角形是等边三角形，其每个内角都是，正六边形的每个内角为， ， 等边三角形可以拼成正六边形。但正六边形是中心对称图形，不满足题目中“正多边形不是中心对称图形”，B选项错误，不符合题意； C、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，可能拼成的正多边形的内角需为、或的组合，但无法匹配奇数边的正多边形内角，故该选项不符合题意； D、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，正五边形的内角为，可由两个角组成，正五边形边数为奇数，且不是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 【模拟09.比例线段与黄金分割】 56．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 57．（2025·江苏盐城·二模）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段定义即可求解，解题的关键是掌握比例线段定义对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 58．（2025·浙江丽水·二模）如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 59．（2025·四川成都·三模）如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的即是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴； 故选：A． 60．（2025·广东云浮·一模）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．方程 有实数根 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】分别根据相似多边形的性质，根的判别式，反比例函数图象的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，平行投影对各项逐一判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形不一定相似，故选项A错误，不符合题意； B．反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B错误，不符合题意； C．方程可化为方程， ∴， 即此方程无实数根，故选项C错误，不符合题意； D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称图形以及中心对称图形的定义，平行投影等知识点，解决此题的关键是要能熟练运用以上知识点． 61．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，若，则的长为 ． 【答案】. 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握线段比例的计算是关键． 根据题意得到，则有，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 62．（2025·陕西榆林·一模）如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】， ， ，， ， 解得． 故选：D． 【模拟10.相似三角形判定与性质】 63．（2025·北京门头沟·二模）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 64．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当 或 或 时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案. 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴. 故答案为：，，. 65．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 66．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度 cm． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 67．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作延长线于点，延长，交于点，通过证明，得出，，设，再证明，再证明，得出，设，则，，，利用，求出，（负值舍），则可求出，，再利用，得，即可求解． 【详解】解：过点作延长线于点，延长，交于点， ，，， ∴， ∴，， 设， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ，（负值舍）， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 68．（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据题意可知，求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可； 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 69．（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为 ． 【答案】，，，， 【分析】本题考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质及勾股定理，先求出三角形内切圆半径及长，再分情况讨论，根据相似三角形性质求出即可． 【详解】如图，连接、、， 中，， ， 设，则，，， ， 解得， 当次前进后，点前进的距离是，点前进的距离是， ①当时， ， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，；时，； ②当时， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，； 综上，可得所有满足条件的为、、、16、32． 故答案为：、、、16、32． 【模拟11.位似变换判定与计算】 70．（2025·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似比得到面积之比是解题的关键． 【详解】解：以顶点为位似中心进行位似变换， 正方形与正方形相似， ， 正方形与正方形的面积比为， 纪念徽章的面积是， 故选：D． 71．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） 如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点， A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，圆的性质．利用位似图形得出，再结合，，得出，即可求解． 【详解】解：∵和是位似图形，位似中心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 72．（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的周长比为，则正方形的周长为8，得到正方形的边长为2，用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的周长比为， ∵正方形周长为4， ∴正方形的周长为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为， 故答案为：． 73．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 74．（2025·广西梧州·一模）以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查是位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ，熟练掌握位似变换是解决本题的关键． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴点C的坐标为或， ∴点的坐标为或， 故选:D． 75．（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 是以点为位似中心经过位似变换得到的， 且位似比为， 若， 则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由位似变换的性质可知，故有，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由位似变换的性质可知，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【模拟12.锐角三角函数与解直角三角形】 76．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及推论、正弦的定义． 连接，根据圆周角定理及推论得到，根据正弦的定义解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 的半径为3，， ∴, ， ∴ 故答案为：． 77．（2025·浙江丽水·二模）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余弦函数的定义，在直角三角形中，余弦等于邻边比斜边．先利用勾股定理求出斜边，再计算． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 78．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及余弦的定义，掌握相关性质定理和概念是解题的关键．首先根据斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，然后利用余弦的定义（邻边比斜边）求解即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 79．（2025.·广东东莞·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，连接构造直角三角形是解决本题的关键． 连接格点、，在中求出的正切值． 【详解】解：如图，连接格点、， 在中，． 故选：C． 80．（2025·江苏常州·二模）的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，30度角的余弦值为，据此可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 81．（2025·天津·一模）下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、同角三角函数的关系．对于A、B选项代入相应的特殊三角函数值即可判定，对于C、D选项根据同角三角函数之间的关系即可判定． 【详解】解：A、，，则，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【模拟13.解直角三角形的实际应用】 82．（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 利用勾股定理求得所有台阶横面长度，横面长度加上竖面长度即为总长度，总长度乘单价即为总造价． 【详解】解：根据题意得，整个楼梯图形为直角三角形，根据勾股定理得： 所有台阶横面长为：（m） ∴所有楼梯表面的长度为：（m） ∴总造价为：元． 故答案为：． 83．（2025·广东江门·三模）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论． 【详解】解：如图： 由光的反射定律可知， ， ， 两平面镜平行， 两直线平行，内错角相等， 由光的反射定律可知， 故选：C． 84．（2025·福建·二模）在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀．如图，学校要为某会议室的天花板上嵌入灯带，工人师傅将平面镜放置在点A处，使得沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射后恰好落在灯带的左侧端点C处，此时利用测角仪测得天花板边缘O的仰角为，移动平面镜到达点B处，此时沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的右侧端点D处，此时测得天花板边缘O的仰角为，该会议室天花板的高度为，则灯带的长约为 ．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作于点，作于点，由题意得，，，根据光的反射得到，，推出，，再解和求出的长，得出的长，再利用即可求解． 【详解】解：如图，作于点，作于点， 由题意得，，，， 根据光的反射可得，， 又，， ， ， 同理可得：， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 灯带的长约为． 故答案为：． 85．（2025·河南商丘·二模）光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数相关计算，根据，求得，进而将代入，进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∵ ∴ 故选：D． 86．（2025·湖北武汉·三模）如图，某活动小组为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳处测得古亭位于北偏东方向，他们向南走50m到达点，测得古亭位于北偏东方向．古亭与古柳之间的距离约为 m（结果精确到1m，参考数据：）． 【答案】137 【分析】过点作的垂线，交延长线于点．设，则，在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义也表示出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交延长线于点． 由题意得，． 设，则． 在中，． 在中，，， 则， 解得，则（m）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 87．（2025·云南昆明·二模）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 【模拟14.三角函数与图形综合计算】 88．（2025·湖北武汉·二模）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角函数等. 连接，过作.交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得，结合三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作交于点， 正八边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 解得：， 的半径为； 故选：B． 89．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数． 在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图1，连接， 由七巧板可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则， ∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． 故答案为：． 90．（2025·宁夏银川·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：设半径为r，由题意得，， 解得， 六边形是的内接正六边形， ， ， 是正三角形， ， 弦所对应的弦心距为， 故答案为： 91．（2025·广东惠州·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 92．（2025·浙江金华·二模）当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是(     ) A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90° C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30° 【答案】C 【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答． 【详解】∵cos60°=，cos30°=， ∴30°＜∠A＜60°． 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角的余弦值随着角度的增大而减小是解题的关键，是基础题，比较简单． 93．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形相关的图形变换，锐角三角函数， 根据正方形的拼法求出每段的长度，过点作于，设长为,根据三角函数表示出，，求解． 【详解】解：如图，过点作于，令、交于点， 由图①为边长为4的正方形七巧板可知, ，， 为等腰直角三角形， ，， 设，则，， ， ， ， ． 故答案为：． 【模拟15.综合压轴(相似/投影/三视图/图形变换】 94．（2025·北京石景山·二模）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．古代的数学著作《周髀算经》中阐述了“矩”的功能，其中“偃矩以望高”指把“矩”仰立放则可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由已知证明，得到，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 95．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点，连接，则的长为 ． 【答案】3或 【分析】连接，证明是等边三角形，利用三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，勾股定理，解答即可． 【详解】解：设是边的三等分点，连接， ∵等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 取的中点P，则， 连接， 则是的中位线，， ∴，， 延长交于点， ∴， ∴ ∴， ∴点N是的一个三等分点， ∴点M与点N重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握性质，三角函数的应用，勾股定理是解题的关键． 96．（2025·山东泰安·二模）如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，求弧长，直角三角形的性质，余弦函数．先连接，设半径为R，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，可得，再根据弧长公式求出即，接下来根据特殊角的三角函数值求出，再解直角三角形求出，，即可求出，最后根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，设半径为R， ∵点B,E是半的三等分点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得即． ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴, 根据勾股定理，得， ∴． ∵和的面积相等， ∴． 故选：A． 97．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数，角平分线的性质和相似三角形的判定和性质，正确掌握相关知识是解题的关键． 作交于点M，根据勾股定理和锐角三角函数，求出，，和，从而求出，，再利用角平分线的性质得，利用“”证明，求出，，，最后根据，，得，利用对应边成比例性质计算即可求解． 【详解】解：如图，过点F作交于点M， 在中，，，， ， ，，， ， 则在中，， ，， 即，， ，， 平分， ， 在和中， ， （）， ， ， 在中，， 则，即， ， ，， ， ， ，即 ， ． 故答案为：3． 98．（2025·广东深圳·二模）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比． 【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即． 已知，，则相似比为； 又，故． 故选：C． 99．（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键． 首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则表面积可求． 【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥， 其底面直径为，母线长为， 所以其侧面积为：，底面积为：， 所以全面积为：． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $