精品解析：山东泰安市肥城市2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试题

2025－2026学年度上学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1.答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2.本试卷共8页，考试时间120分钟． 3.考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题卡相应的位置） 1. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币正面朝上 B. 七边形内角和是 C. 守株待兔 D. 太阳从西边升起 4. 若一组数据4，5，，6，7的平均数是6，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若多项式可分解为，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（     ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 12 10. 如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5个小题，只要求填写结果） 11. 因式分解：__________________. 12. 如果，那么_____． 13. 小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为分，期中考试成绩为分，期末考试成绩为分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按、、计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是_____分． 14. 如图，在中，，是它的角平分线，是边上的中线，过点作于，若，，则_____． 15. 如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 先化简．再求值：，其中． 18. 为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”. 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，87，86. 信息3： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图 九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 95 九年级 88 88 （1）完成填空：__________，__________，并补全条形统计图； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 19. 如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标： （2）画出绕点逆时针旋转后的图形： （3）画出点，使四边形为平行四边形；过点画直线，垂足为．（要求：只用直尺并标记必要的点） 21. 根据背景素材，探索解决问题： 如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河（如图）．不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3442万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.6万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 22. 如图，在矩形中，点在上，，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，且，求． 23. 在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为． （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当点恰好落在边上时． ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1.答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2.本试卷共8页，考试时间120分钟． 3.考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题卡相应的位置） 1. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 要确定分式有意义的条件，需根据分式的定义，保证分母不为零，从而列出不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：D． 2. 下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币正面朝上 B. 七边形内角和是 C. 守株待兔 D. 太阳从西边升起 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念及多边形内角和公式，熟练掌握事件的分类定义和多边形内角和公式是解题的关键． 先明确必然事件、随机事件、不可能事件的定义，再分别判断每个选项，选项A：投掷硬币的结果不确定，是随机事件．选项B：用多边形内角和公式计算七边形内角和，结果固定，是必然事件．选项C：守株待兔的结果不确定，是随机事件． 选项D：太阳从西边升起是客观上不可能发生的，是不可能事件． 【详解】解：∵投掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上都有可能， ∴A是随机事件， ∵多边形内角和公式为，七边形， ∴七边形内角和， ∴B是必然事件； ∵守株待兔中兔子是否撞树是不确定的， ∴C是随机事件； ∵太阳东升西落是客观规律，从西边升起不可能发生， ∴D是不可能事件； 故选：B． 4. 若一组数据4，5，，6，7的平均数是6，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数的计算，正确进行计算是解题关键． 根据平均数的定义，可得5个数相加为，再减去其他数，即可求得． 【详解】解：若一组数据4，5，，6，7的平均数是6， 数据个数为5，平均数为6， 总和为， ． 故选：C． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 逐一分解后判断即可． 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：无法分解，C错误； D：，D正确； 故选：D． 6. 若多项式可分解为，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 8. 已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（     ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数，中位数，平均数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化；中位数因中间两数仍为和而保持不变． 【详解】解：∵ 原始数据排序后为， 中位数 ； 换人后数据排序为， 中位数 ； ∴ 中位数不变， 换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化 ∴不受影响的是中位数． 故选：D． 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键． 根据三角形中位线定理求得，然后根据矩形的性质得． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形为矩形， ． 故选：A． 10. 如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键．根据折叠的性质及矩形的性质可知四边形是菱形，再根据全等三角形的判定与性质可知，这个结论不一定成立，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当过点时，如图所示，最短，四边形的面积最小， ∴， 即的面积的最小值为1．故④正确； 正确的项为②③④，共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，只要求填写结果） 11. 因式分解：__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案． 【详解】解：x2－xy= x(x－y). 故答案： 【点睛】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键. 12. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值． 由已知条件可得，将其代入所求分式进行化简计算 【详解】解：∵， ∴， 则． 故答案为：． 13. 小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为分，期中考试成绩为分，期末考试成绩为分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按、、计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是_____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 将平时测验、期中、期末的成绩分别乘以各自的权重（、、），然后将乘积相加得到总评成绩． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，是它的角平分线，是边上的中线，过点作于，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，证明，求得，，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是它的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的性质和判定，找出周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）先利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ． 17. 先化简．再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，以及零指数幂、负整数指数幂的运算，关键是通过因式分解、通分和约分对分式进行化简，再代入计算． 【详解】解： ． ， 原式． 18. 为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”. 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，87，86. 信息3： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图 九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 95 九年级 88 88 （1）完成填空：__________，__________，并补全条形统计图； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】（1）88.5；88； 补全条形统计图如图： （2） 八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好， 理由如下：两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好； （3）192人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的计算方法求解即可，根据频数之和求出A等级的人数，补全条形图即可； （2）利用中位数和众数分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：八年级A等级的人数为， 八年级数据中从小到大排列后第10个和第11个数据分别为：88，89， ∴中位数， 九年级中A、B、C、D等级的人数为，，，， 所以数据中出现次数最多的是88， ∴众数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有192人． 19. 如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标： （2）画出绕点逆时针旋转后的图形： （3）画出点，使四边形为平行四边形；过点画直线，垂足为．（要求：只用直尺并标记必要的点） 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求； （3）如图， 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，旋转，平行四边形的判定和性质，作垂线，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）取格点，连接，可得，故四边形为平行四边形；取格点，连接交于点，则． 【小问1详解】 解：由图可得，点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取格点，连接，可得，故四边形为平行四边形；取格点，连接交于点，则． 21. 根据背景素材，探索解决问题： 如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河（如图）．不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3442万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.6万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【答案】任务1：甲工程队每天改造河道的长度为100米，乙工程队每天改造河道的长度为125米； 任务2：最多可安排乙工程队工作70天． 【解析】 【分析】本题考查分式方程与实际问题．包含两个任务，任务1通过设定甲工程队每天改造长度为未知数，利用乙与甲的效率关系及单独完成天数的差值建立方程，求解两队每天改造长度；任务2依据总费用限制，结合两队工作效率表示出各自工作天数，建立不等式求解乙工程队最多工作天数． 【详解】解：（1）设甲工程队每天改造河道的长度为米，则乙工程队每天改造的长度为米．甲工程队单独完成改造所需天数为天，乙工程队单独完成改造所需天数为天． 根据“甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多天”，可列方程： 解得． 检验：是分式方程的解，且符合实际问题． 则乙工程队每天改造长度为米． 甲单独完成天数：天；乙单独完成天数：天；天数差天，符合题意． （2）设乙工程队工作天，则乙工程队改造的河道长度为米，剩余由甲工程队改造的长度为米． 甲工程队每天改造米，所以甲工程队工作天数为天． 甲工程队每天费用万元，乙工程队每天费用万元，总费用不超过万元，因此： 化简不等式： 合并同类项： 移项得： 解得：． 故最大为天． 答：任务1：甲工程队每天改造河道的长度为100米，乙工程队每天改造河道的长度为125米； 任务2：最多可安排乙工程队工作70天． 22. 如图，在矩形中，点在上，，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，且，求． 【答案】（1） 证明: ∵四边形是矩形, ∵, ∴, 又∵, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴． （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先利用“”证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由得 ，即可得到 结合即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：, ∴, , , ． 23. 在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为． （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当点恰好落在边上时． ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） 解：四边形为菱形，理由如下： ， ， 根据旋转的性质可得，， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， 为的中点， ， ∴平行四边形为菱形； （2）①，理由如下： 如图，连接， 根据旋转可得，， ，为的中点， ， ，即 根据（1）中可得， ， ，， ，为的中点， ， ，即， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据，得到，根据旋转性质得，，继而得到，即可证明，再根据，可得四边形为菱形； （2）①连接，先证明，再证明即可；②过点作于点，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图，过点作于点， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， 根据勾股定理可得， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $