精品解析：河北沧州市东光县2025-2026学年上学期期末九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末教学质量评估 九年级数学试题（人教版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为（ ） A. 赵爽弦图 B. 科克曲线 C. 河图幻方 D. 谢尔宾斯基三角形 2. 二次函数的图象的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 6. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，其中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 15 B. 10 C. 5 D. 3 7. 下列关于反比例函数的说法中，错误的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 函数图象位于第二、四象限 C. 当时， D. 函数值随的增大而增大 8. 如图，将绕点A逆时针旋转后得到（点B、C的对应点分别是点D、点E），连接．若，则的大小是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一个隧道的横截面形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径为（ ） A. 8米 B. 米 C. 7米 D. 6米 10. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知点与点关于原点对称，则______． 14. 已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为8cm ，则它的侧面积为_______cm2. 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为___________． 16. 如图所示，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段的最小值为______； 三、解答题（本大题共8道小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 18. 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （2）比较代数式与的大小，并说明理由． 19. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）； ②将绕点顺时针旋转后得到，画出； （2）若点为轴上一动点，则的最小值等于 ． 21. 如图，函数和的图象相交于A、B两点． （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； （2）若轴上存在点，使，求点的坐标． 22. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． （1）求a的值和抛物线的对称轴； （2）已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 23. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量评估 九年级数学试题（人教版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为（ ） A. 赵爽弦图 B. 科克曲线 C. 河图幻方 D. 谢尔宾斯基三角形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，用配方法求出二次函数顶点式，再得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线 =(x+1)2+3 ∴抛物线的顶点坐标是：(−1,3)． 故选B． 【点睛】此题主要考查了利用配方法求二次函数顶点式以及求顶点坐标，此题型是考查重点，应熟练掌握． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 5. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 6. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，其中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 15 B. 10 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是得到红球的频率的等量关系．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比. 根据红球的个数除以它占总数的比例即为球的总数a，求出即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 7. 下列关于反比例函数的说法中，错误的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 函数图象位于第二、四象限 C. 当时， D. 函数值随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，将绕点A逆时针旋转后得到（点B、C的对应点分别是点D、点E），连接．若，则的大小是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转性质得到，且，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，结合题意求出的度数，利用求出最后结果． 【详解】解：由题意可知，且， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，一个隧道的横截面形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径为（ ） A. 8米 B. 米 C. 7米 D. 6米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，学会利用垂径定理和勾股定理求线段的长度是解题的关键． 先利用垂径定理得到的长，再设圆的半径为x米，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程，解方程求出x的值即可解答． 【详解】解：由题意得，且过圆心O， ∴米， 设圆的半径为x米，则米， 在中，， ∴ 解得， ∴圆的半径为米． 故选：B． 10. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11. 边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转坐标变换，解含有的直角三角形，及二次函数解析式的求解，正确求解出点B的坐标是解决本题的关键． 作辅助线构造直角三角形，有旋转角度求解该直角三角形含有，再根据正方形边长可求解，即可求解点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线即可求解． 【详解】解：连接，过点B作轴于点D，如图， ∵正方形绕顶点顺时针旋转， ∴x轴正半轴与的夹角为， ∵在正方形中，， ∴x轴正半轴与的夹角为， ∵轴， 又∵正方形的边长为2，即， ∴， ∵在中，， ∴， ∴由勾股定理，可得， ∴点， 将点代入抛物线中， 即，解得， ∴的值是 ． 故选：D ． 12. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横坐标与纵坐标分别互为相反数，解二元一次方程组；根据关于原点对称的点的坐标特征求出a与b的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 解得：； 则； 故答案为：8． 14. 已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为8cm ，则它的侧面积为_______cm2. 【答案】40π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】圆锥侧面积S=2π×5×8÷2=40π（cm2） 故答案为40π. 【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意设点，则，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，设点，则 ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、三角形面积公式是解题的关键． 16. 如图所示，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段的最小值为______； 【答案】## 【解析】 【分析】根据运动过程始终保持，可知点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，连接，交圆O于点F，此时满足最短．据此利用勾股定理即可作答． 【详解】∵运动过程始终保持， ∴点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O， 连接，交圆O于点F，此时满足最短． 如图， ∵等边的边长为4， ∴，， ∵点O为中点， ∴， ∴， ∴最短为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，判断出点F在以为直径的圆上，是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8道小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，常用的一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 用公式法解一元二次方程即可； 用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 其中，，， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 整理得：， 可得：，， 解得：，． 18. 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （2）比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）1；大；8 （2） ，理由如下： ， ． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【小问1详解】 解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． 【小问2详解】 略 19. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，然后利用概率公式可得答案； （2）画树状图展示所有等可能的结果数以及取出的卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种， ∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为， 答：取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）； ②将绕点顺时针旋转后得到，画出； （2）若点为轴上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】（1）①； ②如图，即为所求． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，图形旋转，利用对称求最短路径等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； ②根据图形绕原点顺时针旋转的坐标变化规律求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小，根据勾股定理求值即可． 【小问1详解】 解：①点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． ②略 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小， 最小值即为的长，由勾股定理得，， 故答案为：． 21. 如图，函数和的图象相交于A、B两点． （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； （2）若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】（1），，或； （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； 【小问2详解】 解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 22. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． （1）求a的值和抛物线的对称轴； （2）已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法求出函数解析式即可求出a的值，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可； （2）求出当时的函数值，即可得到A和B的坐标，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 把代入到中得，解得． ∴抛物线的函数关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：令，得，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵， ∴， 即自动检票通道的总宽度为． 23. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $