精品解析：河北保定市曲阳县2025-2026学年第一学期期末质量检测八年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（12个小题，每小题3分，共36分，四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A. l1 B. l2 C. l3 D. l4 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组线段为边，不能作出直角三角形的是（ ） A. 1，2， B. 6，8，10 C. 3，7，8 D. 3，4，5 4. 如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A. 7的算术平方根 B. 6的立方根 C. 9的平方根 D. 8的立方根 5. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )． A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 9. 如图，在中，已知垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（ ）． A. 点与点重合时的周长最小； B. 点与点重合时的周长最小； C. 点落在之间（不包括端点）时周长最小； D. 点落在的延长线上时的周长最小． 10. 已知，，则与的关系是（ ） A. 互相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 互为负倒数 11. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 12. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（4个小题，每题3分，共12分） 13. 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为___________方程． 14. 若实数满足，则的取值范围是______． 15. 如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____。 16. 如图，在钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，且，对于下列结论，结论：若，则；结论：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，则x的取值范围是，判断正确的是___________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． （1）直接写出的面积为 ； （2）请在如图所示网格中作出对称轴m； （3）请在线段的右侧找一点D，画出，使． 20. 先阅读，再回到问题： 化简：．由于题目没有给出的取值范围，所以要分类讨论． ． 令令得；的零点值为3，的零点值为-2，在数轴上标出3和-2的点，数轴被分成三段，即；当<-2时，原式=-2+1；当时，原式=5；当3时，原式=2-1． （1）求和的零点值； （2）化简：． 21. 如图，在中，为内部一点，，于点，于点，且，求证：． 22. 如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 23. 《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案： 项目情景 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ； 小组成员乙设 ② ，由题意得方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求的值 （1）任务一中横线①处应填________，横线②处应填________． （2）完成任务二． 24. 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． （1）如图1，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则度数为______． ②求证：． （2）如图2，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． （3）如图3，是等边三角形，点P是三角形外一点，且，连接AP，判断线段、、之间有什么数量关系，请直接写出来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（12个小题，每小题3分，共36分，四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A. l1 B. l2 C. l3 D. l4 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得到对称轴. 【详解】解:观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴； 沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴； 沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴， 所以该图形的对称轴是直线l3， 故选C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意； B. 与不是同类二次根式，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. 与不是同类二次根式，不符合题意； 故选A． 3. 以下列各组线段为边，不能作出直角三角形的是（ ） A. 1，2， B. 6，8，10 C. 3，7，8 D. 3，4，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可． 【详解】解：A.， 以1，2，为三边的三角形可以作出直角三角形，故不符合题意； B.， 以6，8，10为三边的三角形可以作出直角三角形，故不符合题意； C.， 以3，7，8为三边的三角形不可以作出直角三角形，故符合题意； D.， 以3，4，5为三边的三角形可以作出直角三角形，故不符合题意； 故选C． 4. 如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A. 7的算术平方根 B. 6的立方根 C. 9的平方根 D. 8的立方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先根据数轴判断点A对应的数的范围，再根据各选项分别判断各数的范围或求得其具体值，从而可得答案． 【详解】解：根据数轴可知点A的位置在1和2之间，且靠近2， 而，，，， ∴只有6的立方根符合题意． 故选：B． 5. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 由全等三角形的对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 如图，在中，，，，过点A直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 由平行线的性质、角平分线的性质推知, 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案. 【详解】解：∵, ∴， ∵平分, ∴, ∴, ∴， 同理可得: , ∴. 故选:A. 7. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )． A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：首先求出甲、乙合作的工作效率，然后根据工作时间=工作总量÷工作效率求出答案，在没有给定工作总量的情况下，我们一般设工作总量为1.根据题意可得：甲、乙合作的工作效率为：，则工作时间=. 9. 如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（ ）． A. 点与点重合时的周长最小； B. 点与点重合时的周长最小； C. 点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D. 点落在的延长线上时的周长最小． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、最短路径问题等知识点，将求三角形周长的最小值转化为求得最小值成为解题的关键． 如图：连接，由垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得；由于为定值，则要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可；又，即当A、P、C三点共线时，有最小值，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，为定值， ∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小． 故选A． 10. 已知，，则与的关系是（ ） A. 互为相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 互为负倒数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴与互为相反数， 故选：． 11. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出是解本题的关键．先根据含角的直角三角形的性质求出，再由旋转的性质得出，进而判断出，得出，求和即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 由旋转知，， ∵点，B，A在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 12. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 二、填空题（4个小题，每题3分，共12分） 13. 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为___________方程． 【答案】整式 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：分式方程通过去分母（方程两边同时乘以最简公分母）消去分母，转化为整式方程，然后解整式方程并检验． 故答案为：整式． 14. 若实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____。 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：． 16. 如图，在钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，且，对于下列结论，结论：若，则；结论：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，则x的取值范围是，判断正确的是___________． 【答案】和 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到、与之间的关系，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴， 即， ∴， 故结论Ⅰ正确； ∵，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ∵要使得这样的钢条只能焊上6根， ∴， 由题意得 解得： 故结论Ⅱ正确． 故答案为：和． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2025 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 19. 如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． （1）直接写出的面积为 ； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴m； （3）请在线段的右侧找一点D，画出，使． 【答案】（1）5 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据割补法求三角形的面积即可求解； （2）连接，，根据网格的特点过，的中点作直线m，即可求解； （3）根据轴对称的性质作出，即可． 【小问1详解】 解：（1）的面积为， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图1，直线m即为所求． 【小问3详解】 解：如图2，即为所求． 20. 先阅读，再回到问题： 化简：．由于题目没有给出的取值范围，所以要分类讨论． ． 令令得；的零点值为3，的零点值为-2，在数轴上标出3和-2的点，数轴被分成三段，即；当<-2时，原式=-2+1；当时，原式=5；当3时，原式=2-1． （1）求和的零点值； （2）化简：． 【答案】（1）-1与2；（2）当时，原式；当时，原式=3；当时，原式 【解析】 【分析】（1）令，，求出的值即可． （2）根据题意给出方法即可求出答案． 详解】解：（1）令， ， 令， ， 与零点值为与2； （2）原式 当时， ，， 原式 当时， ， 原式 当时， ，， 原式 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 21. 如图，在中，为内部一点，，于点，于点，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由，，推出，由得到，证明，得到，进而解题． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 23. 《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案： 项目情景 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ； 小组成员乙设 ② ，由题意得方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求的值 （1）任务一中横线①处应填________，横线②处应填________． （2）完成任务二． 【答案】（1），种花卉的单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）①由题意，可知：用600元购买的种花卉数量为，根据每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，列出方程即可； ②根据方程可知，等量关系为：600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍，故乙设的是种花卉的单价； （2）根据完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：； ∵表示600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍， ∴乙设的是种花卉的单价为元； 故答案为：；种花卉的单价为元； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 24. 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． （1）如图1，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则的度数为______． ②求证：． （2）如图2，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． （3）如图3，是等边三角形，点P是三角形外一点，且，连接AP，判断线段、、之间有什么数量关系，请直接写出来． 【答案】（1）①；②见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理计算； ②借助三角形外角的性质和三角形内角和定理证明； （2）通过角度等量代换求得，证明，再利用等边进行等量代换即可； （3）作辅助线使得，证明，再等边进行等量代换即可． 【小问1详解】 解：①，， ． 故答案为：． ②是等边三角形， ， ， ， ． 【小问2详解】 ，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即． 【小问3详解】 ，理由如下： 延长到，使，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $