2026届海南省海口市高考数学自编模拟卷1

2026届海南省海口市高考数学自编模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：高考全部内容. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合 ， ,则 A. B. C. D. 2. 复数 满足 ,则 A. 1 B. 2 C. D. 5 3. 向量 满足 ,则 A. B. C. D. 4. 已知一个圆锥的母线长为 ,高为 3,则该圆锥的表面积为 A. B. C.3 D. 5. 若 是第二象限角, ,则 A. B. C. D. 6. 已知数列 为等差数列,其前 项和为 。若 ,则 A. -18 B. -9 C. 9 D. 18 7. 已知 且 ,若函数 的值域为 ,则 的取值范围 A. B. C. D. 8. 过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于 两点,过点 作 的切线 ,交 轴于点 ,过点 作直线 的平行线交 轴于点 ,则 的最小值是 A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知 ,则 A. B. C. D. 10. 已知函数 的定义域为 ,且 ,当 时, 0 , 则下列说法正确的是 A. B. 在 上单调递增 C. 数列 是等比数列 D. 当 时, 11. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为坐标原点, 为 上异于左、右顶点的一点, 是线段 的中点,则 A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为 1 三、填空题 ：本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 _____。 13. 已知等差数列 的前 项和为 20，则 _____。 14. 已知斜率大于零的直线 交椭圆 于 两点,交 轴分别于点 ,且 是线段 的三等分点,则直线 的斜率为_____。 四、解答题 ：本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一动点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求点到平面的距离. 16. 某校举办定点投篮挑战赛, 规则如下: 每位参赛同学可在 两点进行投篮，共投两次。 第一次投篮点可在 两点处随机选择一处,若投中,则第二次投篮点不变; 若未投中,则第二次切换投篮点。在 点投中得 2 分,在 点投中得 3 分, 未投中均得 0 分, 各次投中与否相互独立。 (1)在参赛的同学中，随机调查 50 名的得分情况,得到如下 列联表: 得分 分 得分 <3 分 合计 先在 点投篮 20 5 25 先在 点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 依据小概率值 的独立性检验,判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关? (2)小明在 点投中的概率为 0.7,在 点投中的概率为 0.3 。 (i) 求小明第一次投中的概率; (ii) 记小明投篮总得分为 ,求 的分布列及数学期望。 参考公式: 。 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,且 , 圆 与 的渐近线相切。 (1)求双曲线 的标准方程； (2)若 上两点 满足 ，且四边形 的面积为 ,求 的值。 18. 已知函数 为坐标原点。 (1)当 时, (i) 求曲线 在点 处的切线方程; (ii) 若点 是函数 图象上一点,求 的最小值。 (2)若函数 图象上存在不同两点 满足 ,求 的取值范围。 19. 若数列 共有 项, 都有 为常数),则称数列 是一个项数为 的 “对数等和数列”,其中 称为 “对数等和常数”。已知数列 是一个项数为 的对数等和数列。 (1)若 ,求 的值。 (2)已知数列 共有 项,且满足: , (i) 证明: 是一个对数等和数列。 (ii) 若 是首项为 ,公比为 的等比数列,且 的对数等和常数为 0,是否存在 ,使得 中某一项等于另外三项之和? 若存在,求出 的值; 若不存在,说明理由。 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届海南省海口市高考数学自编模拟卷1 参考答案 1． 【答案】B 【解析】集合的交运算 + 一元二次不等式的解法 由已知得,集合 , 所以 。故选 B。 【答案】C 【解析】复数的运算 + 复数的模长公式 解法一 因为 ,(题眼) 所以 ,故选 C。 3．【答案】C 【解析】 由 ，得 ,所以 ,所以 ,故选 C。 4． 【答案】C 【解析】记 的公差为 ,则 ,(题眼) 解得 ,故选 C。 5． 【答案】A 【解析】 是第二象限角, ,(题眼) , 。故选 A。 6． 【答案】B 【解析】设 的公差为 , 依题意得 ,(题眼) 解得 -9 。故选 B。 7． 【答案】A 【解析】① 时， 在 上单调递增，所以当 , 时, 在 上单调递增, 所以当 时, 。又 ,所以 的值域为 , ,不满足题意。 ② 时， 在 上单调递减，所以当 时， 在 上单调递减，所以当 时， 。若 的值域为 ,则 ,所以 。综上, 的取值范围为 ,故选 A。 8．【答案】C 【解析】如图，由题意知 ，设 ， ,直线 的方程为 1,联立,得 ,化简得 , 所以 , , 所以 。设 在点 处的切线方程为 , 联立, 得 ,化简得 ,由 ,得 ,则 在点 处的切线方程为 ,即 , 令 ,则 ,故 ,则 。 易知 ,所以直线 的方程为 ,令 ,则 , 故 ,则 , 所以 ,当且仅当 时等号成立, 故 的最小值为 9,故选 C。 9.【答案】BC 【解析】 ,又 。 负号丢失。 。 。D选项 ,负号丢失。 综上,选 BC。 10. 【解析】令 ,则 ,因为 ,所以 ,所以 。 选项，令 ,则 ,因为 ,所以 , ,所以 ,即当 时, 恒成立,故 在 上单调递增。 令 ,则 ,即 ,即 ,又 ,故数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列。 D选项 因为数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 ,即 ,所以当 时 ,又 在 上单调递增,所以 时, 。令 可得 0,所以 ,当 时, 0,所以 ,所以 时, 0,所以当 时, 。综上,选 BCD。 11．【答案】AD 【解析】因为椭圆 ,所以 。连接 ,因为点 是椭圆上异于左、右顶点的一点,所以 。 选项如图，因为点 为线段 的中点, 为线段 的中点,所以 所以 。 ,因为 ,所以 ,故 。 的周长为 ,设 的内切圆半径为 ,则 , 即 ,所以 ,所以当 的面积最大时, 的内切圆半径最大。又 ,当点 在短轴端点时, 面积最大,且最大值为 ,所以 的面积的最大值为 ，所以 的内切圆半径的最大值为 选项，在 中, ,设 外接圆的半径为 ,由正弦定理得 ,所以当 最大时,外接圆半径最小。当 ,即 时,外接圆半径最小。因为点 为线段 的中点, 所以此时 ,即点 在短轴端点时, 外接圆半径最小,且最小值为 1 。综上,选 AD。 12.【答案】 【解析】因为 ,所以由正弦定理得 。因为 ,所以 ,所以 ,所以 。因为 ,所以 ,所以 , (题眼) 即 ,所以 。又 ,所以 。 13. 【答案】110 【解析】等差数列的求和公式 。 14．【答案】 【解析】直线与椭圆的位置关系 + 直线的斜率 设直线 的方程为 ,若 ,此时 均与原点重合,不符合题意,所以 与 联立并化简,得 0,得 。设 ,则 ,故 中,令 得 , 故 ,令 得 ,故 ,则 的中点坐标为 ,由于 是线段 的三等分点,故线段 的中点为线段 的中点,故 ,得 。 15.【解析】（1）证明：因为是正方形， 所以， 又因为平面，平面， 所以， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）解：以为原点，建立如图所示的空间坐标系： 因为，为中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，取， 则， 设点到平面的距离为， 则. 16．【解析】解: (1) 第一步: 确定随机变量的所有可能取值 依题意随机变量 所有可能的取值为0,1,2,3, (2 分) 第二步: 计算对应概率 。 第三步:得分布列及期望 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 所以 。 (8 分) (2)第一步:作出假设 假设 班不是优秀班级,则一定存在一位同学的失分 (记为 ) 超过 5,即 。 第二步:得出矛盾 记其余 4 名同学失分分别为 , 则 班 5 名同学失分的方差 , (12 分) 这与 班中 5 名同学失分的方差为 2 矛盾, 第三步:得出结论 所以不存在失分超过 5 的同学,所以 班是优秀班级。 (15 分) 16．【解析】解:(1)第一步:写出零假设 零假设为 : 投篮得分与第一次投篮点的选择独立，即得分无差异。 第二步:计算 的值，并与临界值比较大小 , (4 分) 第三步:得出结论 根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,因此认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关, 此推断犯错误的概率不超过 0.01 。 (5 分) (2)设第一次选择在 点投篮记为事件 ，在 点投篮记为事件 ,投中记为事件 , 则 。 (i) , 所以小明第一次投中的概率为0.5 。 (9 分) (ii) 小明投篮总得分 可取0,2,3,4,6, 则 。 所以 的分布列为所以 。(15 分) 0 2 3 4 6 21 00 7 20 9 200 17.解: (1) 易知 ,因为双曲线的渐近线方程为 , 所以 , 解得 ,(结论: 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长) 所以 ,得双曲线 的标准方程为 。 (6 分) (2)第一步:将四边形 的面积转化为三角形 的面积 由 同向可知,直线 与 均有两个交点。 设直线 ,它与 的另一个交点记为 。 由双曲线的对称性可知, , 连接 ,故三角形 的面积等于三角形 的面积,所以四边形 的面积等于三角形 的面积。(题 眼) (点拨: 由题意知 ,连接 ,则三角形 的面积等于三角形 的面积,而三角形 的面积等于三角形 的面积,所以四边形 的面积等于三角形 的面积) 第二步: 联立直线 与双曲线的方程,得到根与系数的关系设 ,联立方程,得 , 得 。... (8 分) 第三步: 利用面积作为等量关系建立关于 的方程并解方程 所以三角形 的面积 整理得 ,解得 或 。 (12 分) 第四步: 检验 的值是否符合题意,得到结果经检验 时, 反向,故舍去; 当 时, , 同向,符合题意,此时方程 的解为 或 ,故 。 (15 分) 18.解: (1) 当 时, 。 (i) 因为 ,则 ,又 ,故切线方程为 。 (3 分) (ii) 第一步: 利用两点间的距离公式建立目标函数 设 ,则 ,记 , (5 分) 第二步: 利用导数研究函数的单调性、最值, 得到结果 则 ,易知 是关于 的增函数且 , (8 分) 所以当 时, 单调递减; 当 , 时, 单调递增,故 的最小值为 ,得 的最小值为 。 (9 分) (2)第一步:利用两点间的距离公式建立目标函数，并利用导数研究函数的最小值 记 ,(题眼) 则 , 易知 是关于 的增函数且存在负实数 使得 , 即 。 (11 分) 所以当 时, 单调递减,当 , 时, 单调递增, 故 的最小值为 。 第二步: 将题干条件进行转化 注意到, ,且 ,为使 有两个不等的实数解,则有 (12 分) 即 。 考虑到函数 是关于 的减函数,且 ,故该函数存在唯一零点 满足 ,(此处只需给出 的零点 的一个合理估计即可) 第三步: 对 分类讨论 ① 解法一 若 ，即 ，则 。(引起分类讨论的原因是在不等式 中去掉绝对值时需要讨论 与 0 的大小关系,即 与 0 的大小关系) 由 化简得 ,记 ,注意到 在区间 上是减函数,所以 , 故当 时, 恒成立,即 满足题意。 (14 分) 过解法二 几何法 若 的图象经过点 , 且 ,而 两点在以原点为圆心, 为半径的圆上,且 ,因此点 在圆 内, 结合 的图象,知函数 的图象与圆 必有两个不同的交点,故 满足题意。 (14 分) ② 若 ，即 ，则 。 由 化简得 ,记 ,则 , 所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增且 ,故由 得 ,又 ,故 满足题意。 第四步:总结结论 综上所述， 的取值范围为 。 (17 分) 19.解: (1) 依题意得, ,又 , (1 分) ,即 。 (3 分) (2)(i)第一步:利用条件，变形 ,则 ,因此 。(题眼) (5 分) 第二步:利用新定义，证明结果 又 , 数列 是一个项数为 的对数等和数列,且对数等和常数为 0 。 (7 分) (ii) 第一步: 利用等比数列的定义,写出 的通项公式 依题意得, , (8 分) 第二步: 利用新定义,求 的通项公式 的对数等和常数为 0, , 则 , (9 分) 即 , (10 分) ,即 。 (11 分) 第三步:利用反证法，说明不存在满足条件的 假设存在 ,使得数列 中存在一项等于另外三项之和, 不妨设 ,且 则 , (12 分) 又 , (15 分) 即 不成立, 故不存在 ,使得 中某一项等于另外三项之和。 (17 分) 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $