精品解析：山东临沂市蒙阴县2025-2026学年上学期期末九年级数学试题

2024-2025学年度上学期期末教学质量调研 九年级数学试题 说明： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须将答案全部填涂或书写在答题卡的相应位置上，写在试题上一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页，总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请正确填涂答题卡前端的考生信息并仔细阅读注意事项． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将唯一正确答案的代号涂在答题上） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列描述的事件为必然事件的是（ ） A. 打开电视，播放的节目是法治天地 B. 抛掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和小于12 C. 任意画一个三角形，内角和是 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 3. 如图，交通锥是由一个圆台和长方体底座组成的一种临时道路标示，则其俯视图正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点和点分别位于的两侧，若．则是（ ） A B. 2 C. D. 7. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某学校1月成立校园体育社团，首批报名人数为40人，由于学校加大体育设施投入，开展趣味足球赛事等活动，月底，社团总人数达到140人，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为，则列出下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的个数是（ ） ①图象的开口向下 ②当时，的值随值的增大而减小 ③当时， ④点、、是抛物线上的点，则、、的大小关系为 ⑤函数的最小值大于 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡上） 11. 设，是一元二次方程的两根，则_______． 12. 如图，点D在的边上，要判定与相似，则需要添加一个条件是_______． 13. 如图是的高，，，，则的长为______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的长为．则的半径为______． 15. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是，，． （1）若和关于原点成中心对称，画出； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）求出（2）中，点旋转到点所经过的路径长． 18. 探索机器狗的速度问题． 素材1：机器狗是一种仿生腿足式机器人，通过模仿犬类或其他四足动物的运动方式，实现灵活移动与复杂任务执行，已从实验室走向家庭、工业等多领域应用．图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括自身质量及所载物体的质量）的部分数据如图2． 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 图2 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点600米，机器狗需从试验点出发，送30千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计） 任务一：（1）根据学习经验，判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务二：（2）请在图中画出与的函数图象． 任务三：（3）求机器狗所用的最短时间． 19. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的垂线．垂足为E，延长交的延长线于点F． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 20 综合与实践：某校数学社团发现河对岸东西方向上两棵树和． 他们准备利用所学的数学知识测量和的距离，并设计了如下实践报告单： 【实践课题】测量两棵树和之间的距离 【实践工具】皮尺，测角仪，计算器等测量工具 【实践活动】测量小组根据河岸地形状况，在岸边选取合适点位于树正南方向的点，然后向正西走120米到点，测量和，测量三次取平均值，得到数据：，，并利用计算器计算了如下参考数据：，，，，，，，，，画出如下示意图： 请你根据以上报告单，求间的距离（结果保留到米）． 21. 任务一：已知二次函数 （1）请在方格图中画出图象． （2）观察图象，你能得到哪些信息（写出三条）． （3）当时，求函数最大值和最小值． 任务二： （4）已知函数，若，该函数的最大值和最小值是多少？ 22. 综合与探究 问题情境： 如图1，正方形和正方形的点重合，点在边上，点在边上．如图2，将正方形绕点顺时针旋转（），射线与射线交于点，连接． 问题解决： （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）写出线段，和之间的数量关系，并说明理由． 延伸探究： 如图3，在矩形中和矩形的点重合，点为边的中点，点为边的中点，以，为边作矩形．如图4，将矩形绕点顺时针旋转（），射线与射线交于点，连接． （3）直接写出与的位置关系______． （4）若，写出线段和之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期末教学质量调研 九年级数学试题 说明： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须将答案全部填涂或书写在答题卡的相应位置上，写在试题上一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页，总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请正确填涂答题卡前端的考生信息并仔细阅读注意事项． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将唯一正确答案的代号涂在答题上） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，是解答本题的关键．根据题意逐一对选项进行识别即可得到本题答案． 【详解】解：A选项是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项不是轴对称图形是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列描述的事件为必然事件的是（ ） A. 打开电视，播放的节目是法治天地 B. 抛掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和小于12 C. 任意画一个三角形，内角和是 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件和三角形内角和，熟悉必然事件的定义以及三角形内角为是解题的关键．必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断． 【详解】解：A、打开电视，播放的节目是法治天地，是随机事件； B、抛掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和小于12，是随机事件； C、任意画一个三角形，内角和是，是必然事件； D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件； 故选：C 3. 如图，交通锥是由一个圆台和长方体底座组成的一种临时道路标示，则其俯视图正确的是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据三视图的看法即可求解，熟练掌握三视图的看法是解题的关键． 【详解】解：从上边看，是一个正方形，正方形内部有两个同心圆． 故选C． 4. 如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 6. 如图，是的直径，点和点分别位于的两侧，若．则是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理以及锐角三角函数，根据圆周角定理可得，根据勾股定理求出后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， 故选：C． 7. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 8. 某学校1月成立校园体育社团，首批报名人数为40人，由于学校加大体育设施投入，开展趣味足球赛事等活动，月底，社团总人数达到140人，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为，则列出下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，增长率问题．设平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均增长率为，依题意， 故选：B． 9. 如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的个数是（ ） ①图象的开口向下 ②当时，的值随值的增大而减小 ③当时， ④点、、是抛物线上的点，则、、的大小关系为 ⑤函数的最小值大于 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据函数图象与轴交点在轴两侧求出的取值范围，再结合开口方向、对称轴、函数增减性、最值及特定点函数值逐一判断结论正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点且在轴两侧 方程的两根异号 解得 ①，图象开口向上，①错误． ②函数对称轴为，且开口向上 当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，②错误． ③当时，，，即， ③正确．④对称轴为，开口向上，点、、到对称轴的距离分别为，，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大 ， ④正确．⑤当时，，即函数最小值为，并非大于，⑤错误． 综上，正确的结论有个， 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡上） 11. 设，是一元二次方程的两根，则_______． 【答案】0 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：、是方程的两根， ，， ． 故答案为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，． 12. 如图，点D在的边上，要判定与相似，则需要添加一个条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，已知，进而再找一对相等的角即可 【详解】， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理解题的关键． 13. 如图是的高，，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意分别求得，即可求解． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的长为．则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内接四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则为的直径，， ∴， ∵的长为． 在中，； ∴的半径为， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算，解一元二次方程； （1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，进行化简，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ∴， ∴或， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是，，． （1）若和关于原点成中心对称，画出； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）求出（2）中，点旋转到点所经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，旋转变换作图，弧长公式． （1）根据关于原点对称的点的坐标标出、、，然后顺次连接即可； （2）利用网格和旋转的性质确定对应点的位置，再将对应点顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 【小问3详解】 解：由题意知：绕点O顺时针旋转得到， ， ， 点旋转到点所经过的路径长为． 答：点旋转到点所经过的路径长． 18. 探索机器狗的速度问题． 素材1：机器狗是一种仿生腿足式机器人，通过模仿犬类或其他四足动物的运动方式，实现灵活移动与复杂任务执行，已从实验室走向家庭、工业等多领域应用．图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括自身质量及所载物体的质量）的部分数据如图2． 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 图2 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点600米，机器狗需从试验点出发，送30千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计） 任务一：（1）根据学习经验，判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务二：（2）请在图中画出与的函数图象． 任务三：（3）求机器狗所用的最短时间． 【答案】（1）反比例函数，；（2）见解析；（3）机器狗完成任务所用的最短时间为250秒 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）根据题意待定系数法求解析式即可求解； （2）根据给定坐标系画出函数图象，即可求解； （3）分别计算出往返的速度，进而根据路程除以速度，即可求解． 【详解】解：任务一：（1）由图象知是的反比例函数， ，，代入，得 该函数表达式为； 任务二：（2）函数图象如图： 任务三：（3）当时，，而当时，， 秒． 答：机器狗完成任务所用的最短时间为250秒． 19. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的垂线．垂足为E，延长交的延长线于点F． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角和等量代换可得，再根据平行线的判定与定理可得，再由切线的判定定理即可得证； （2）连接，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理求得，再由求解即可． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及平行线的判定与定理，熟练掌握圆周角定理和切线的判定定理是解题的关键． 20. 综合与实践：某校数学社团发现河对岸东西方向上两棵树和． 他们准备利用所学的数学知识测量和的距离，并设计了如下实践报告单： 【实践课题】测量两棵树和之间的距离 【实践工具】皮尺，测角仪，计算器等测量工具 【实践活动】测量小组根据河岸地形状况，在岸边选取合适的点位于树正南方向的点，然后向正西走120米到点，测量和，测量三次取平均值，得到数据：，，并利用计算器计算了如下参考数据：，，，，，，，，，画出如下示意图： 请你根据以上报告单，求间的距离（结果保留到米）． 【答案】间的距离约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角函数的应用，根据题意作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点作于点，在中，结合，利用三角函数求出，在和中，利用已知的角度和三角函数关系，这一条件进行计算，得出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点． 由题意知，，， 在中， ． 在中， ， ，即， ， ． 在中， ， （米） 答：间的距离约为米． 21. 任务一：已知二次函数 （1）请在方格图中画出图象． （2）观察图象，你能得到哪些信息（写出三条）． （3）当时，求函数的最大值和最小值． 任务二： （4）已知函数，若，该函数的最大值和最小值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大值为5，最小值为；（4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值以及画二次函数图象； （1）根据描点法画图，即可求解； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值； （3）先求得对称轴为直线，根据，分四种情况讨论，结合二次函数的图象得到最大值和最小值，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时， 解得： 列表 如图： （2）解：①函数的对称轴是，②图像的顶点，③图像与x轴有两个交点，分别是、； （3）解：抛物线开口向上，对称轴在内， 最大值当时，取得最大值为5， 最小值当时，取得最小值， 综上所述，最大值为5，最小值为． （4）解：，对称轴为直线， 当时，当时，；当时，； 当时，当时，；当时，； 当时，当时，；当时，； 当时，当时，；当时，； 22. 综合与探究 问题情境： 如图1，正方形和正方形的点重合，点在边上，点在边上．如图2，将正方形绕点顺时针旋转（），射线与射线交于点，连接． 问题解决： （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）写出线段，和之间的数量关系，并说明理由． 延伸探究： 如图3，在矩形中和矩形的点重合，点为边的中点，点为边的中点，以，为边作矩形．如图4，将矩形绕点顺时针旋转（），射线与射线交于点，连接． （3）直接写出与的位置关系______． （4）若，写出线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）．理由见解析；（2）．理由见解析；（3）；（4）．理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，得出，设与交于点，则，根据三角形内角和定理可得，即可求解； （2）过点作交于点，证明得出，勾股定理可得，即可得出结论． （3）证明，得出，同（1）即可求解； （4）过点作交于点，证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解： ．理由如下， ∵四边形和是正方形， ∴， ∴即， ∴， ∴， 如图，设与交于点，则， ∴， ∴， （2）．理由如下， 如图，过点作交于点， 则， ∴，即， 又，， ∴， ∴， 在中，， ； （3）∵点为边的中点，点为边的中点， ∴ 又∵ ∴ 即， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， （4）．理由如下， 如图，过点作交于点， 则， ∴，即， 又∵， ∴， ∴ ∴， 中，， ∵， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，矩形的性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $