精品解析：山东省临沂市蒙阴县2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2024－2025学年度上学期期末教学质量调研 九年级数学试题2025.1 说明： 1.本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须将答案全部填涂或书写在答题卡的相应位置上，写在试题上一律无效． 2.试题4页，答题卡2页，共6页，总分120分，考试时间120分钟． 3.答卷前请正确填涂答题卡前端的考生信息并仔细阅读注意事项． 4.考试结束，请将答题卡交回． 第I卷（选择题 共30分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将唯一正确答案的代号涂在答题卡上） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的，其中一个几何体的三种视图如图所示．这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 3. 下列说法正确的是（ ） A. “煮熟的鸭子飞了”是随机事件 B. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件 C. 射击运动员射击一次，命中10环是必然事件 D. “掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件 4. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ） A B. C. D. 6. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C D. 7. 九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. “圆”是中国文化的重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是（ ）． A. 1.3 B. 1.4 C. 1.5 D. 1.6 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（ ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A. 当时，随增大而增大 B. 抛物线的开口向下 C. D. 当时，的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡上） 11. 已知方程有两个相等的实数根，则的值为______________． 12. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为_____________． 13. 如图，在矩形中，若，，，则的长为________． 14. 如图，在中，，，则的长是____________． 15. 在今年春节期间，小平和小明两家准备从天安门、西湖、云台山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是_____________． 16. 如图是一个三角形点阵图,从上向下有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…第n行有n个点,容易看出,10是三角形点阵中前4行的点数和,则300个点是前______行的点数和.  三．解答题（本大题共7小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米．（杠杆定律：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，即：动力×动力臂=阻力×阻力臂） （1）动力F与动力臂有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过题（1）中所用力一半，则动力臂至少要加长多少？ 19. 如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 20. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．电力部门在试验点安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，如图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，），已知斜坡长为30米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，） 21. 如图，点A，，是半径为6的上三个点，的平分线交圆于点，过点作的垂线交的延长线于点．延长交的延长线于． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）若，求的值． 22. 已知正方形中，，点是正方形内动点，且始终保持． （1）如图1，绕顺时针旋转得，请在图中画出并求长； （2）在（1）的条件下，如图2，当、、三点共线时，求的度数及的长； （3）在（1）的条件下，是否存在某时刻使得，请求出的长；若不存在，请说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度上学期期末教学质量调研 九年级数学试题2025.1 说明： 1.本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须将答案全部填涂或书写在答题卡的相应位置上，写在试题上一律无效． 2.试题4页，答题卡2页，共6页，总分120分，考试时间120分钟． 3.答卷前请正确填涂答题卡前端的考生信息并仔细阅读注意事项． 4.考试结束，请将答题卡交回． 第I卷（选择题 共30分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将唯一正确答案的代号涂在答题卡上） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的，其中一个几何体的三种视图如图所示．这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据常见几何体的三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，三视图都是长方形， ∴几何体为长方体； 故选B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “煮熟的鸭子飞了”是随机事件 B. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件 C. 射击运动员射击一次，命中10环是必然事件 D. “掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件，说法正确，符合题意； 故选：． 4. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 6. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 7. 九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：降价后每件商品获得的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 故选：D． 8. “圆”是中国文化的重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是（ ）． A. 1.3 B. 1.4 C. 1.5 D. 1.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆半径为， 由题意可知， 在中， 所以， 解得， 即该门洞的半径是． 故选：A． 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 10. 已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（ ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A. 当时，随增大而增大 B. 抛物线的开口向下 C. D. 当时，的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和对应的函数值相等，可得对称轴对直线；根据对称轴两侧数据的变化，可得抛物线的开口方向；根据对称性可得和对应的函数值相等，进而可得m的值；根据抛物线与x轴的交点情况及开口方向，可得时，的取值范围． 【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∴，故选项C错误，不符合题意； 时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的开口向上，故选项B错误，不符合题意； 对称轴为直线，开口向上， ∴时，y随x的增大而增大，故选项A错误，不符合题意； 当时，的取值范围是，故选项D正确，符合题意； 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡上） 11. 已知方程有两个相等的实数根，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，当时，方程有两个相等的实数根，由此可解． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 12. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为_____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线性质定理，直角三角形两锐角互余，由圆周角定理可得出，根据圆的切线性质定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，若，，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据矩形的性质得，，即可得出，并根据勾股定理求出，再根据，得出，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，代入数值得出答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 14. 如图，在中，，，则的长是____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正弦，勾股定理等知识．作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：12． 15. 在今年春节期间，小平和小明两家准备从天安门、西湖、云台山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 利用列表法进行计算即可． 【详解】解：设表示天安门、表示西湖、表示云台山，列表如下： 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况， ∴， 故答案为：． 16. 如图是一个三角形点阵图,从上向下有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…第n行有n个点,容易看出,10是三角形点阵中前4行的点数和,则300个点是前______行的点数和.  【答案】24 【解析】 【详解】试题分析：由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们和，前n行共有个点，则=300，整理这个方程，得：n2+n﹣600=0,解方程得：n1=24，n2=﹣25 根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300． 故答案为24． 【考点】规律型：图形的变化类． 三．解答题（本大题共7小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂和解一元二次方程． （1）先根据特殊角的三角函数值，有理数的乘方，负整数指数幂进行计算，最后算加减即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 因式分解，得， 或， ∴，． 18. 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米．（杠杆定律：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，即：动力×动力臂=阻力×阻力臂） （1）动力F与动力臂有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【答案】（1），撬动石头至少需要400牛顿的力 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键． （1）直接利用：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出F与l之间的关系； （2）直接利用动力F不超过题（1）中所用力的一半，进而得出l的值． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 当动力臂为1.5米时， 则撬动石头至少需要：（牛顿）， 答：动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要400牛顿的力； 【小问2详解】 当动力不超过题（1）中所用力的一半，即， 则， 解得：， 即动力臂至少要加长， 答：动力臂至少要加长 19. 如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到，并写出点的坐标． （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 【答案】（1）见解析， （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称和旋转，求弧长： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）利用勾股定理和弧长公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，由图可知：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，由图可知：； 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， ∴的长为． 即旋转到点的过程中所经过的路径长为． 20. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．电力部门在试验点安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，如图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，），已知斜坡长为30米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，） 【答案】46米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作于，过作于，由三角函数得，，，，即可求解；能熟练利用三角形函数解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过作于，过作于， 在中 （米）， （米）， ， ∴四边形为矩形， ∴ （米）， 在中 （米）， ∴ （米）， 答：风力发电机塔杆的高度为46米． 21. 如图，点A，，是半径为6的上三个点，的平分线交圆于点，过点作的垂线交的延长线于点．延长交的延长线于． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）若，求的值． 【答案】（1）相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等边对等角和角平分线的定义进行角的转化求出，进一步得到，即可求证． （2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质求出和，最后利用正切的定义求解． 【小问1详解】 解：直线与相切． 证明：如图，连接． ， ， 平分， ， ， ， ， ． ∵是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴ ， ， ∴， ， ， ，， 在中， ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系——切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求角的正切函数，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，解题关键是能作出辅助线构造相似三角形． 22. 已知正方形中，，点是正方形内动点，且始终保持． （1）如图1，绕顺时针旋转得，请在图中画出并求的长； （2）在（1）的条件下，如图2，当、、三点共线时，求的度数及的长； （3）在（1）的条件下，是否存在某时刻使得，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）图见解析， （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画出图形，然后根据勾股定理求解即可； （2）首先得出，即可求出的度数；过作于，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （3）作，交延长线于，解直角三角形求出，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【小问1详解】 如图： 由题意得：， ∴由勾股定理得； 【小问2详解】 如图，过作于 ， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， 在中， ； 【小问3详解】 存在． 如图，作，交延长线于， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ． 【点睛】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次根式的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入解析式，再将解析式变形为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据平移方式求出平移后的解析式，求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值； （3）先求出对称轴为：直线，再分和两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点为； 【小问2详解】 解：由题意知，抛物线的解析式， 当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为， 即， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时， 时，二次函数有最大值，最大值为：， 时二次函数有最小值，最大值为：； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为：直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， 若对于，，都有， 则， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小， 对称轴为：直线， ∴在抛物线上的对称点为， 若对于，，都有， 则， 的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$