精品解析：山东菏泽市单县2025-2026学年第一学期期末质量检测九年级数学试题

2025—2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，共23道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 函数中的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围，根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴且 故选：D． 2. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 3. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，先根据最长边之比得出相似比，再结合周长之和求解较小三角形的周长即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别为和， ∴它们的相似比为 ∴它们的周长比为， 设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， ∵它们的周长之和为， ∴， 解得， ∴较小三角形的周长为， 故选：A． 4. 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 【详解】∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为，， 故选：B． 5. 如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再由，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 6. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断；根据，可以判断；根据题意，得可以判断；根据，得，进而得，从而得，可判断．本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴正确； ∵ ∴， ∴正确； ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故错误． 故选：． 7. 对于反比例函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．先求出时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】当时，， 反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ， 当时，； 当时，， 综上所述：y的取值范围是或， 故选：C． 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故选C． 9. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，先利用方程的解得到，再结合根与系数关系得到，将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴ ∴ ∵a和b是方程的两个解 ∴， ∴ ， 故选：D． 10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次函数图象与系数的关系判断①；根据对称轴为直线判断②；根据函数的开口方向，对称性质，以及函数与轴正半轴的交点为可判断③；根据二次函数与一元二次方程的关系进而得，可判断④；根据时，取最小值判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上，与轴的交点位于轴的负半轴， ，， 对称轴为直线， ，即， ，故①正确； ， ，故②错误； 抛物线的对称轴为，，与轴正半轴的交点为， ∴由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为 当时，， ，故③错误； 把点A的坐标代入抛物线解析式得， ∴， ∴， ∴方程的判别式为 ， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，取最小值， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有①④⑤，共3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，的顶点坐标为，根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k≤3且k≠1##k≠1且k≤3 【解析】 【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ=b2-4ac≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+2=0有实数根， ∴k-10且Δ=42-4（k-1）×2≥0， 解得：k≤3且k≠1． 故答案为：k≤3且k≠1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ=b2-4ac≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 13. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长计算公式，根据“莱洛三角形”定义，其周长就是三条圆心角为，半径为2的弧的和，据此即可求解． 【详解】解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是． 故答案为： 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，直线交轴于点，若，的面积为12，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，平行线分线段成比例定理． 过点A作轴于点D，证明得到，则可得到，据此求出的面积，再根据反比例函数的比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，则， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴的面积为4， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为___________时，猪舍面积最大（为整数） 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设，猪舍的面积为，则，根据矩形面积计算公式可得，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，猪舍的面积为，则， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当时，y有最大值， ∴当时，猪舍面积最大， 故答案为：9． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答要把必要的文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应区域内） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求特殊角三角函数值，实数的运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和计算零指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， 解得，． 17. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 18. 曲阜尼山圣境孔子像，背山面湖，面南而立，为世界最高最大的孔子像，成为儒客和游人朝拜、瞻仰必到之处．一游客想知道孔子像的高度．如图，与水平面垂直，在点D处测得顶部A的仰角是，向前走了24米至点E处，测得此时顶部A的仰角是，请聪明的你帮他求出孔子像的高度．（参考数据：） 【答案】孔子像的高度为72米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用--仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据三角函数解答即可． 【详解】解：由题意得米， 在中，， ， ， 设米， 在中，， ， ， 解得， 经检验是原方程的解， 米． 答：孔子像的高度为72米． 19. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1）①；； ②补全条形统计图如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以类所占的比例即可得出圆心角度数；②求出类的人数，再补全条形统计图即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； ②类的人数为（人）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有， ∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 20. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 21. 如图，四边形在直角坐标系中，点，，且，以点O为圆心，长为半径画弧交y轴于点D，交于点E，点M为y轴上一点，，连接． （1）求证：是弧所在圆的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接 ， 四边形为矩形 ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵， ， 由题意知 在中 在中 在中 为弧所在圆的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为矩形，求出，在中求出，在中求出，在中求出，进而可证是弧所在圆的切线； （2）根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，矩形的判定与性质，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，扇形面积公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值的和． 【答案】（1） （2）二次函数的最大值与最小值的和为19 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求解，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）先将点P代入函数解析式，得到，再根据二次函数的对称轴公式，求出即可； （2）先用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式，根据，求出最大值与最小值即可得出最后结果． 【小问1详解】 解：由条件可得：，解得， 二次函数的解析式为， 对称轴为直线， ； 【小问2详解】 ， 点即为点， ，解得， ， 抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，y随着x的增大而增大， ， 当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， 二次函数的最大值为22，最小值为， ， 二次函数的最大值与最小值的和为19． 23. 感知∶ （1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶ （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）． 拓展∶ （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 【答案】（1）； （2）CE=a-b； （3）∵∠DEF=∠B ∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC ∴∠BFE=∠DEC． 作CG//FE交DE于点G，如图3． ∴∠DEF=∠EGC ∴∠B=∠EGC ∴△FBE∽△EGC ∴= ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B+∠BCD=180° ∵∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC ∴∠DGC=∠BCD 又∵∠EDC=∠CDG ∴△DGC∽△DCE ∴= ∴= ∴DC·FE=BE·DE 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC ∴AB·FE=BE·DE 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由已知易证△ADB≌△DEC，从而由全等三角形的性质即可求得CE的长度； （3）作CG//FE交DE于点G，易证得△FBE∽△EGC，从而可得=；可证得△DGC∽△DCE，可得=，即有=，再由AB=CD即可得要证的结论． 【详解】（1）∵△ABC∽△DAE ∴ 故答案为：； （2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠EDC=∠BAD 又∵DA=DE ∴△ADB≌△DEC ∴EC=BD，AB=DC=b ∴BD=BC-DC=a-b． 即：CE=a-b． （3） 略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，（3）问中作辅助线是难点，灵活运用这些知识是重点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，共23道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 函数中的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 3. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于反比例函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 12. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是______． 13. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，直线交轴于点，若，的面积为12，则的值为________． 15. 如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为___________时，猪舍面积最大（为整数） 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答要把必要的文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应区域内） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 18. 曲阜尼山圣境孔子像，背山面湖，面南而立，为世界最高最大的孔子像，成为儒客和游人朝拜、瞻仰必到之处．一游客想知道孔子像的高度．如图，与水平面垂直，在点D处测得顶部A的仰角是，向前走了24米至点E处，测得此时顶部A的仰角是，请聪明的你帮他求出孔子像的高度．（参考数据：） 19. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 20. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 21. 如图，四边形在直角坐标系中，点，，且，以点O为圆心，长为半径画弧交y轴于点D，交于点E，点M为y轴上一点，，连接． （1）求证：是弧所在圆的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 22. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值的和． 23. 感知∶ （1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶ （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）． 拓展∶ （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $