精品解析：山东泰安市肥城市2025-2026学年上学期期末考试七年级数学试题

2025－2026学年度上学期期末考试七年级数学试题 注意事项： 1.答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2.本试卷共6页，考试时间120分钟． 3.考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．如图，这是四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列结论中，正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 0没有平方根 C. 1的算术平方根是1 D. 的平方根是 3. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 5. 如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C D. 6. 已知点和点，如果直线轴，那么的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4 7. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 15 8. 如图，已知，点在边上，且，则图中与相等的角有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，平分，，若，，则长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果） 11. 如图，是的边上一点，交于，，，若，则________． 12. 对于任意不相等的两个正数a，b，定义一种运算※，如下：a※b=，如3※2=，那么12※4=_________ ． 13. 若点在轴上，则的值为________． 14. “赵爽弦图”中，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则___________． 15. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车以相同的速度按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）若，求的值； （2）计算． 17. 如图，已知，点A，B，C，F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上求作点，使得最小，并求出该最小值． 19. 综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 （1）求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） （2）如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） （3）有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 20. 定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． （1）试判断，，，2中哪些属于“族”的数； （2）若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 21. 如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： （1）； （2）； （3）． 22. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线平行，且经过点． （1）求点A、B的坐标及直线的解析式； （2）若点P是直线上的一个动点，其横坐标为n，且点P到x轴的距离为9，求n的值； （3）设点Q为直线上的动点，且点Q的纵坐标为3，在x轴上是否存在点D，使的面积为12．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 23. “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期期末考试七年级数学试题 注意事项： 1.答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2.本试卷共6页，考试时间120分钟． 3.考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．如图，这是四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列结论中，正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 0没有平方根 C. 1的算术平方根是1 D. 的平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的概念． 根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，而是负数，所以没有平方根，故A错误； B、因为0的平方根是0，故B错误； C、因为若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，，所以1的算术平方根是1，故C正确； D、先计算，因为4的平方根是，所以的平方根是，故D错误． 故选：C． 3. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“馬”和“車”的坐标建立坐标系，进而得到“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系， ∴炮”的坐标为， 故选：C． 4. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错； 当时，， ∴图象与y轴交于点，故B正确； 当时，， ∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当时，，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 5. 如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴， 故选项B正确，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴， 故选项C正确，不符合题意； D．∵，， ∴； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 6. 已知点和点，如果直线轴，那么的值为（ ） A 1 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，据此列式求解即可． 【详解】解：点和点，且直线轴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是关键．连接，根据勾股定理可得，即得，即可求得答案． 【详解】解：连接， 由题意，，，，， ， ，， ， 即， ， ． 故选：B． 8. 如图，已知，点在边上，且，则图中与相等的角有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的判定与性质、角的和差等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，；再根据角的和差可得；再证明，然后利用平行线的性质以及等量代换可得、、，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角有4个． 故选：A． 9. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 根据正比例函数的增减性可知，进一步可知一次函数的图像经过的象限，即可确定． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 一次函数图像经过第一、二、四象限， 故选：B． 10. 如图，在中，，平分，，若，，则的长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，则，，求出，由等腰三角形的性质可得，，结合含角的直角三角形的性质得出，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵在中，，平分， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果） 11. 如图，是的边上一点，交于，，，若，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证三角形全等是解题的关键．先证，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：10. 12. 对于任意不相等的两个正数a，b，定义一种运算※，如下：a※b=，如3※2=，那么12※4=_________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意中的新定义运算，进行计算即可得出结论． 【详解】∵a※b=， ∴12※4＝． 故答案为：4 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解本题的关键在理解题中新定义的运算法则． 13. 若点在轴上，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的特征．根据题意，在轴上的点的纵坐标为0即可． 【详解】解：点在轴上 ． 故答案为：3． 14. “赵爽弦图”中，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，解题关键是注意运用隐含的已知条件来解答此类题． 根据风车外围的周长可求出“数学风车”的斜边，再通过勾股定理可将“数学风车”的直角边求出． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ， ，即， ， 故答案为：5． 15. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车以相同的速度按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，解题关键是读懂函数图象．根据函数图象求解即可． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶米所需时间为， 所以快递车行驶的总时间为， 所以快递车在每个快递点卸包裹的时间为：， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）若，求的值； （2）计算． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是求解算术平方根，立方根，利用平方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键； （1）利用平方根解方程即可； （2）利用乘方、算术平方根、绝对值和立方根先化简各数，再进行加减法运算即可． 小问1详解】 解： 解得或； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，已知，点A，B，C，F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，可得，最后根据平行线的判定，即可证明结论； （2）根据线段的和差，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上求作点，使得最小，并求出该最小值． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出点，再依次连接，得出，并写出点的坐标，即可作答． （2）先理解题意，找出点B关于轴对称的点，再连接，与轴交于点，然后运用勾股定理列式计算，得出的最小值，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求， ∴． 19. 综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 （1）求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） （2）如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） （3）有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】（1） （2） （3）该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面最短长度，然后比较即可． 【小问1详解】 解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； 【小问2详解】 解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． 【小问3详解】 解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 20. 定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． （1）试判断，，，2中哪些属于“族”的数； （2）若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】（1），属于“族”的数 （2）；为“族”的数． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【小问1详解】 解：，属于“族”的数； 【小问2详解】 解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 21. 如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （2）由全等得到．再根据互余关系得到，则，则； （3）由平行得到，再由即可证明全等． 【小问1详解】 证明：平分， ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 证明：∵ ． ，， ，， ， ． ； 【小问3详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线平行，且经过点． （1）求点A、B的坐标及直线的解析式； （2）若点P是直线上的一个动点，其横坐标为n，且点P到x轴的距离为9，求n的值； （3）设点Q为直线上动点，且点Q的纵坐标为3，在x轴上是否存在点D，使的面积为12．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）点坐标为，点坐标为， （2）或 （3）存在，D的坐标为或． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积等知识，解题的关键是正确求出直线的解析式． （1）首先分别令和求出点坐标为，点坐标为，然后根据直线与直线平行，设直线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点P的纵坐标为9或，然后分别将和代入求解即可； （3）首先求出点的坐标为，然后根据题意得到，求出，然后分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时， ∴点坐标为， 当时， ∴ ∴点坐标为， ∵直线与直线平行， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴设直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点到轴的距离为9， ∴点P的纵坐标为9或 ∴当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：∵点为直线上的动点，且点的纵坐标为3， ∴ 解得 ∴点的坐标为 ∵点D在x轴上，的面积为12， ∴ ∴ ∴点D的横坐标为或 ∴点D的坐标为或． 23. “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 【答案】模型呈现：说明见解析；模型应用：；；深入探究： 【解析】 【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论； 深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可； 深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案． 【详解】模型呈现： 证明：在中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中，， ； 模型应用： 解：令，则， 令，则， 则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 则点， 设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故直线的表达式为； 深入探究： 解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图： 把代入得， 解得， 把代入得， ，， ，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，求一次函数的解析式，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $